| |
|
|
|
|
| |
Главная > Учебные материалы > Математика: Тригонометрия |
|
| |
 |
|
| |
|
|
| |
1.Тригонометрия.
2.Тригонометрические функции.
|
|
|
|
| |
|
|
| |
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|
|
| |
|
|
|
|
1. Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости между углами и сторонами в треугольниках и тригонометрические функции.
Основная задача тригонометрии - вычисление неизвестных величин треугольника, если известны значения других его величин. В тригонометрии также решают задачу о вычислении углов треугольника, если известны его стороны, задачу о вычислении сторон треугольника и т.д. |
|
| |
Для измерения углов между сторонами треугольника используется такая единица измерения, как градус. Вся окружность с центром в точке О составляет 360°. Помимо градусной меры углов, также используется радианная мера. 1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.
Радианная и градусная меры связаны зависимостью 180°=π радиан. Угол в n° равен πn/ 180 радиан.
Для того, чтобы рассчитать длину дуги угла α, используется следующая формула:
l= αr
где
l – длина дуги окружности
α – угол в радианах
r – радиус окружности.
Площадь S сектора круга радиуса r, дуга которого содержит α радиан, рассчитывается так:
S = αr² / 2
где
S – площадь сектора круга радиуса r |
|
Площадь сектора круга. |
|
| |
| |
 |
|
| |
|
2. Тригонометрические функции.
Тригонометрические функции - математические функции от величины угла. Они используются при изучении геометрии, а также при исследовании переодических процессов в разных областях науки. Тригонометрические функции определяют отношения сторон прямоугольного треугольника в единичной окружности.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O и с осями OX и OY . Возьмем в этой системе координат окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OМ поворачивается на произвольный угол α вокруг центра O. Так как треугольник ОМВ прямоугольный, то тригонометрические функции угла α определяется из соотношений в прямоугольном треугольнике. Тогда: |
|
| |
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе или отношение координаты y точки М к длине отрезка OМ=R, где R - радиус окружности. Синус угла α обозначают sinα. Так как длина отрезка OМ=1, следовательно sinα = y.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе или отношение координаты х точки М к длине отрезка OМ. Косинус угла α обозначают cosα. Так как ОМ=1, то cosα = х.
Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему или координаты y точки М к x. Тангенс угла α обозначают tgα. Так как y = sin α и x = cos α, то tgα= sin α / cos α.
Котангенсом угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему или отношение координаты х точки М к y. Котангенс угла α обозначают ctgα. Так как y = sin α и x = cos α, то ctgα= cosα / sinα. Из последних двух соотношений следует: ctg α= 1 / tg α |
|
sin, cos, tg, ctg на тригонометрическом круге. |
|
| |
|
|
| |
y = sin x
Область определения функции sin x - множество всех действительных чисел. Областью значений функции синус является отрезок [-1;1].
|
|
График функции sin. |
|
| |
|
|
| |
y = cos x
Область определения функции cos x - множество всех действительных чисел. Областью значений функции синус является отрезок [-1;1].
|
|
График функции cos. |
|
| |
|
|
| |
y = tg x
Область определения функции tg x - (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)
|
|
График функции tg. |
|
| |
|
|
| |
y = ctg x
Область определения функции ctg x - (πn, π + πn) nϵZ;
область значений (-∞; ∞)
|
|
График функции сtg. |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
 |
|
| |
|
|
| |
Значения синуса и косинуса для некоторых углов. |
|
| |
 |
|
| |
 |
|
| |
Значения тангенса и котангенса для углов 30, 45 и 60 находятся аналогично. |
|
| |
Пример 1 |
|
| |
 |
|
| |
Пример 2 |
|
|
|
| |
 |
|
| |
|
| |
|
|
| |
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|
|
| |
| |
|
|
| |
