|
1.Понятие дифференциала. 2.Свойства дифференциала. 3.Дифференциал сложной функции. 4.Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
|
||||
9 10 11 12 13 14 15 16 17 | ||||
![]() |
||||
1.Понятие дифференциала.Допустим функция y=f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окресности точки xϵX, т.е. существует производная y'. Согласно теореме о связи бесконечно малых величин с пределами функции запишем: ![]() |
||||
из рисунка 1 видно, что угол β равен сумме двух углов: ϕ и γ.
из формулы можно увидеть, что приращение функции ∆y состоит из двух слагаемых: линейного относительно ∆x и нелинейного. Таким образом, дифференциалом функции называется главная, линейная часть приращения функции относительно ∆x, равная произведению производной на приращение независимой переменной. dy =f'(x) ∆x или dy = f'(x) dx |
||||
2. Геометрический смысл дифференциала.
|
![]() Рис 1. Геометрический смысл дифференциала. |
|||
3.Свойства дифференциала.Дифференциал имеет следующие свойства. 1. dc=0 |
||||
3.Дифференциал сложной функции.Дифференциал функции dy = f'(x) dx. Рассмотрим функцию y = f(u), где f(u) является сложной функцией, т.е. y = f(g(x)). Если функции y = f(u) и u = g(x) - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна: dy = f'(x) dx = f'(u) · u'dx = f'(u) du. |
||||
4.Приближенные вычисления с помощью дифференциала. |
||||
Из формулы ∆y = f'(x)∆x + а(∆x)∆x можно увидеть, что приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу, т.к. величина а(∆x)∆x бесконечно малая. Именно поэтому, при достаточно малых значениях ∆x можно считать, что ∆y≈ dy т.е. f(x+∆x)≈f(x)+f '(x)∆x. Данная формула тем точнее, чем меньше значение ∆x. Это приближенное равенство можно применить в приближенных вычислениях. |
||||
Пример: |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
9 10 11 12 13 14 15 16 17 | ||||
|
||
www.mathtask.ru | ||