Дифференциал
Math Task сайт репетиторов

Дифференциал

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Дифференциал  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Понятие дифференциала.
2.Свойства дифференциала.
3.Дифференциал сложной функции.
4.Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

 

 
     
  9 10 11 12 13 14 15 16 17  
     
  line  

1.Понятие дифференциала.

   Допустим функция y=f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окресности точки xϵX, т.е. существует производная y'. Согласно теореме о связи бесконечно малых величин с пределами функции запишем:

Понятие дифференциала
 
 

из рисунка 1 видно, что угол β равен сумме двух углов: ϕ и γ.
tg ϕ = f'(x) в точке М, tg β - tg ϕ = а(∆x) представляет собой бесконечно малую величину, зависящую от ∆x.


   ∆y/∆x = f'(x) + а(∆x)


   где а(∆x) - бесконечно малая величина при ∆х →0, откуда


   ∆y = f'(x)∆x + а(∆x)∆x


из формулы можно увидеть, что приращение функции ∆y состоит из двух слагаемых: линейного относительно ∆x и нелинейного. Таким образом, дифференциалом функции называется главная, линейная часть приращения функции относительно ∆x, равная произведению производной на приращение независимой переменной.
    dy =f'(x) ∆x или dy = f'(x) dx 
 
 

2. Геометрический смысл дифференциала.


   Допустим задана функция y = f(x). Возьмем произвольную точку М(x,y). Дадим переменной x приращение ∆x. Тогда функция получит приращение ∆y = f(x+∆x) - f(x). (см.рис. 1).
Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке М, которая образует угол ϕ с положительным направлением оси Ох, т.е f'(x) = tg ϕ. Из прямоугольного треугольника МAB
AB = MB · tg ϕ = ∆x tg ϕ = f' (x)∆x
т.е. dy = AB.
Можно сказать что, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда х получает приращение ∆x.

Геометрический смысл дифференциала

Рис 1. Геометрический смысл дифференциала.

 
         

3.Свойства дифференциала.

   Дифференциал имеет следующие свойства.

   1. dc=0
   2. d(cu)= c du
   3. d(u+v)=du+dv      
   4. d(uv)=v du + u dv      
   5. d(u/v) = (v du - u dv) / v²

 
         

3.Дифференциал сложной функции.

   Дифференциал функции dy = f'(x) dx. Рассмотрим функцию y = f(u), где f(u) является сложной функцией, т.е. y = f(g(x)). Если функции y = f(u) и u = g(x) - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна:


   dy = f'(x) dx = f'(u) · u'dx = f'(u) du.
   т.е. dy = f'(u) du

 
         

4.Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

         
 

   Из формулы ∆y = f'(x)∆x + а(∆x)∆x можно увидеть, что приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу, т.к. величина а(∆x)∆x бесконечно малая. Именно поэтому, при достаточно малых значениях ∆x можно считать, что ∆y≈ dy т.е. f(x+∆x)≈f(x)+f '(x)∆x. Данная формула тем точнее, чем меньше значение ∆x. Это приближенное равенство можно применить в приближенных вычислениях.

 
 
Пример:
 
  Приближенное вычисление с помощью дифференциала  
         
  line  
     
  9 10 11 12 13 14 15 16 17  
     
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru