Дифференциал

1.Понятие дифференциала.

   Допустим функция y=f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окресности точки xϵX, т.е. существует производная y'. Согласно теореме о связи бесконечно малых величин с пределами функции запишем:

из рисунка 1 видно, что угол β равен сумме двух углов: ϕ и γ.
tg ϕ = f'(x) в точке М, tg β - tg ϕ = а(∆x) представляет собой бесконечно малую величину, зависящую от ∆x.

   ∆y/∆x = f'(x) + а(∆x)

   где а(∆x) - бесконечно малая величина при ∆х →0, откуда

   ∆y = f'(x)∆x + а(∆x)∆x

2. Геометрический смысл дифференциала.

   Допустим задана функция y = f(x). Возьмем произвольную точку М(x,y). Дадим переменной x приращение ∆x. Тогда функция получит приращение ∆y = f(x+∆x) - f(x). (см.рис. 1).
Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке М, которая образует угол ϕ с положительным направлением оси Ох, т.е f'(x) = tg ϕ. Из прямоугольного треугольника МAB
AB = MB · tg ϕ = ∆x tg ϕ = f' (x)∆x
т.е. dy = AB.
Можно сказать что, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда х получает приращение ∆x.

Рис 1. Геометрический смысл дифференциала.

3.Свойства дифференциала.

   Дифференциал имеет следующие свойства.

   1. dc=0
   2. d(cu)= c du
   3. d(u+v)=du+dv      
   4. d(uv)=v du + u dv      
   5. d(u/v) = (v du - u dv) / v²

3.Дифференциал сложной функции.

   Дифференциал функции dy = f'(x) dx. Рассмотрим функцию y = f(u), где f(u) является сложной функцией, т.е. y = f(g(x)). Если функции y = f(u) и u = g(x) - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна:

   dy = f'(x) dx = f'(u) · u'dx = f'(u) du.
   т.е. dy = f'(u) du

4.Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

   Из формулы ∆y = f'(x)∆x + а(∆x)∆x можно увидеть, что приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу, т.к. величина а(∆x)∆x бесконечно малая. Именно поэтому, при достаточно малых значениях ∆x можно считать, что ∆y≈ dy т.е. f(x+∆x)≈f(x)+f '(x)∆x. Данная формула тем точнее, чем меньше значение ∆x. Это приближенное равенство можно применить в приближенных вычислениях.