Производная

1.Производная

   Пусть задана непрерывная функция y = f(x). Дадим независимой переменной х0 приращение ∆х, тогда получим точку М1 с координатами (x0+∆х; f(x0+∆х) или (х1; f(x1)).

   Уравнение прямой 1, проходящей через точку М1 имеет следующий вид:

      y - f(x1) = k (x - x1)

   Угловой коэффициент (или тангенс угла β) при x=x0 и y=f(x0) равен k=∆y/∆x (см. рис.1).
При приближении точки М1 к точке М0, т.е. при стремлении ∆х →0, мы получим прямую, проходящую через точку М0 (прямая 2), уравнение которой имеет вид:

      y - f(x0) = k (x - x0)

   Угловой коэффициент (tg α) равен:

      k = lim ∆y/∆x 
         ∆х →0

   Прямая 2 называется касательной к функции y=f(x) в точке М0.

Рис. 1

2. Определение производной

   Допустим функция y = f(x) определена на промежутке Х. Возьмем точку х и дадим значению переменной х приращение ∆х ≠ 0, в этом случае функция получит приращение ∆y = f(x0+∆x) – f(x0). Тогда: производной функции y = f(x) будет называться предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной x при стремлении ∆x к нулю, при условии существования этого предела.

   Производная функции может иметь следующие обозначения: y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx.

3.Порядок вычисления производной

   Для того, чтобы найти производную функции f(x) необходимо:

   1.Дать аргументу х приращение ∆x.

   2.Найти приращение ∆y.

   3. Составить соотношение ∆y/∆x.

   4.Найти предел этого отношения при ∆х →0.