Степенные ряды

1.Степенные ряды.

   Степенной ряд представляет собой ряд, членами которого являются функции вида - сnxⁿ. с0 + с1х + с2х² + … + сnxⁿ + … где числа с0, с1, с2, … , сn - коэффициенты степенного ряда.
   Областью сходимости степенного ряда называется совокупность всех значений х, при которых данный ряд сходится. Согласно теореме Абеля, если степенной ряд сходится при значении х = х0 ≠ 0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях |x| < |x0|. И если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях |x| > |x1|.
   Отсюда: если ряд сходится при |x| < |x0| ≠ 0, то выполняется необходимый признак сходимости:

      lim un = 0
     n→∞

Следовательно существует такое число R≥0, что при |x| < R ряд сходится, а при |x| > R ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости, а интервал (-R,R) - интервал сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимость ряда однозначно неопределена. Т.е. при x = -R и x = R, ряд может сходиться или расходиться.

2.Свойства степенных рядов.

Если на отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R;R), функция f(x) является непрерывной, то степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке

   в интервале сходимости степенной ряд можно также почленно дифференцировать.