Math Task сайт репетиторов

Комплексные числа

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Комплексные числа  
  line  
 

 
 
1.Понятие комплексного числа.
2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

 

   
     
  19 20 21 22 23 24 25 26 27  
     
  line  

1.Понятие комплексного числа.

   Выражение вида z = x + iy называется комплексным числом.

   Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Re(z), число y - мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im(z). Числа z = x + iy и z1 = x - iy называются сопряженными. Если равны действительные и мнимые части комплексного числа, то они называются равными т.е. z1 = z2 или x1 + iy1 = x2 + iy2.

Операции над комплексными числами.

 
 

   1. Сумма (разность) комплексных чисел.

z1+z2 = x1+x2+i(y1+y2).

   2. Произведение комплексных чисел.

z1z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

отсюда

i² = (0 + i1)(0 + i1) = (0 -1) + i(0 + 0) = -1.

3. Деление двух комплексных чисел.

Деление двух комплексных чисел

Комплексное число  
 

   Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат Oxy.

   Каждому комплексному числу Z = x + iy ставится в соответствие единственная точка плоскости z(xy). Плоскость Oxy, где каждая точка отождествлена с комплексным числом, называется комплексной.

   Координатные оси Ox и Oy, на которых расположены действительные и мнимые числа, называются действительной и мнимой осями.

Геометрическое отображение комплексного числа  

2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

   До любой точки комплексной плоскости из начала координат можно провести вектор определенной длины r. Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается |z|.

 
  Модуль комплексного числа  
 

     Угол ϕ, образованный между вектором и осью Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Из значения ϕ = Arg z выделяется главное значение arg z, которое кратно 2π.

             ϕ = Arg z = arg z + 2kπ              где 0≤ argz < 2π

   Таким образом: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.

Следовательно, комплексное число z = x + iy можно представить как:

 
  Тригонометрическая форма комплексного числа  
 

   Представление комплексного числа в такой форме, где r = |z| ≥ 0, ϕ = Arg z, называется тригонометрической формой комплексного числа.

 
 
  Репетиторы на www.mathtask.ru  
 
  Пример.  
  Пример представления комплексных чисел в тригонометрической форме  
         
         
  line  
     
  19 20 21 22 23 24 25 26 27  
 
     
 
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
 Всего комментариев: 0      
line
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
line
         
         
 
line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru