|
1.Основные фигуры планиметрии.
|
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
![]() |
||||
1.Основные фигуры планиметрииПланиметрия - раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства на плоскости. Основными фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки обычно обозначаются заглавными буквами - А, В, С, D. Прямые обозначаются строчными буквами - a, b, c, d. (Рис.1) |
||||
а, b, c - прямые. A, B, C, D, E - точки. Прямые a и b параллельны, Точка А не принадлежит ни одной прямой. |
Рис.1 Пример обозначения точек и прямых на плоскости. |
|||
2.Аксиомы планиметрии | ||||
1. Для любой прямой на плоскости существуют точки принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести только одну прямую. |
![]() |
|||
2. Из трех точек, лежащих на прямой, только одна лежит между двумя другими. |
![]() |
|||
3. Любой отрезок имеет длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке. |
![]() |
|||
4. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. |
![]() |
|||
5. Любой угол имеет определенную градусную меру. Градусная мера любого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучем, проходящим между его сторонами. Развернутый угол =180˚. |
![]() |
|||
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины. |
![]() |
|||
7. От любой полупрямой от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры, меньше 180˚. |
![]() |
|||
8. Для любого треугольника, существует треугольник равный данному, относительно заданной полупрямой в заданном расположении. |
![]() |
|||
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Рис.2 |
Рис.2 |
|||
Пример | ||||
Даны три прямые: а,b,c. Прямая a не параллельна b, а не параллельна с, прямая b не параллельна c. Доказать, что либо 3 прямые пересекаются в одной точке либо в 3-х точках. |
||||
Доказательство Допустим 3 прямые имеют две точки пересесения. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Рис.3
|
||||
Отсюда следует, что прямая с может пересекать прямую а в третьей точке, так что: |
||||
3.Смежные углы |
||||
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. (Рис.4) Сумма смежных углов равна 180°. |
Рис.4 |
|||
Угол равный 90° называется прямым. Меньше 90° - острым. Больше 90° - тупым. (Рис.5) Рис.5 |
||||
4.Вертикальные углы |
||||
Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными. (Рис.6) Теорема: Вертикальные углы равны. Доказательство. Пусть α1 β1 и α2 β2 - данные вертикальные углы. Угол α1 является смежным с углом β1. Угол β1 является смежным с углом α2. Тогда:
|
Рис.6 Вертикальные углы. |
|||
5.Перпендикулярные прямые |
||||
Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикурярными. (Рис.7) Теорема: Через каждую точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. |
Рис.7 Перпендикулярные прямые. |
|||
6.Признаки равенства треугольников |
||||
Первый признак равенства треугольников |
Рис.8 Первый признак равенства треугольников. |
|||
Второй признак равенства треугольников |
Рис.9 Второй признак равенства треугольников. |
|||
Так как угол В1A1С2 равен углу В1A1С1 и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то сторона A1С2 совпадает со стороной A1С1. А сторона В1С2 совпадает со стороной В1С1. Т.е. вершины С1 и С2 совпадают. Следовательно треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А1В2С2, а следовательно равен треугольнику АВС. |
||||
Третий признак равенства треугольников |
Рис.10 Третий признак равенства треугольников. |
|||
![]() |
||||
Пример 1 |
||||
Даны три луча a,b,c. Точка О их общая начальная точка. Углы ab, ac, bc = 120°. Может ли прямая пересекать все три луча? |
||||
Доказательство: |
Рис.11 Задача. Даны три луча a,b,c. |
|||
Пример 2 |
||||
Через точку О середину отрезка АВ проведена прямая а, перпендикулярная прямой АВ (рис.12). Доказать, что каждая точка Х на этой прямой удалена от точек А и В на равное расстояние. |
||||
Доказательство: |
Рис.12 Задача на признак равенства треугольников. |
|||
Пример 3 |
||||
Периметр равнобедренного треугольника равен 2 метра, а основание равно 0,6 метра. Найдите длину боковой стороны. |
||||
Решение: |
Рис.13 Задача. Нахождение боковой стороны. |
|||
Пример 4 |
||||
Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 40 метров, Найдите длину медианы ВD, если периметр треугольника АВD составляет 30 метров. |
||||
Решение: |
Рис.14 Задача. Нахождение медианы BD. |
|||
Пример 5 |
||||
Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Треугольники ABU1 и ABU2 равны. Докажите, что треугольники CDU1 и CDU2 тоже равны. |
||||
Доказательство: |
Рис.15 Задача. На признаки равенства треугольников. |
|||
![]() |
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
Содержание |
||||
Страница 1 | Страница 7 | |||
1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии. 3.Смежные углы. 4.Вертикальные углы. 5.Перпендикулярные прямые. 6.Признаки равенства треугольников. |
1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки. 3.Симметрия относительно прямой. 4.Параллельный перенос и его свойства. |
|||
Страница 2 | Страница 8 | |||
1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых. 4.Сумма углов треугольника. 5.Единственность перпендикуляра к прямой. 6.Высота, биссектриса и медиана треугольника. 7.Свойство медианы равнобедренного треугольника. |
1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число. 4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. 5.Скалярное произведение векторов. |
|||
Страница 3 | Страница 9 | |||
1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника. 3.Окружность вписанная в треугольник. 4.Геометрическое место точек. |
1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам. 3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. 4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам. 5.Подобие прямоугольных треугольников. |
|||
Страница 4 | Страница 10 | |||
1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма. 3.Ромб. 4.Теорема Фалеса. 5.Средняя линия треугольника. 6.Трапеция. 7.Теорема о пропорциональных отрезках. |
1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности. 3.Теорема косинусов. 4.Теорема синусов. 5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике. |
|||
Страница 5 | Страница 11 | |||
1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник. 3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. 4.Основные тригонометрические тождества. |
1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников. 3.Подобие многоугольников. 4.Длина окружности. |
|||
Страница 6 | Страница 12 | |||
1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками. 3.Уравнение окружности. 4.Уравнение прямой. 5.Координаты точки пересечения. |
1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма. 3.Площадь треугольника. 4.Площадь круга. 5.Площадь подобных фигур. 6.Площадь трапеции. |
|||
|
||
www.mathtask.ru | ||