Планиметрия. Страница 1
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 1

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 1  
  line  
 

 
 

1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
7.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line

1.Основные фигуры планиметрии

   Планиметрия - раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства на плоскости.

   Основными фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки обычно обозначаются заглавными буквами - А, В, С, D. Прямые обозначаются строчными буквами - a, b, c, d. (Рис.1)

 
 

а, b, c - прямые.

A, B, C, D, E - точки.

Прямые a и b параллельны,
прямые а и с пересекаются в точке С,
прямые b и с пересекаются в точке Е.

Точка А не принадлежит ни одной прямой.
Точка В принадлежит прямой а,
точка D - прямой b,
точка C - прямой а и с,
точка Е - прямой b и c.

Углы обозначаются так:

∠SOP или ∠О или ∠(hk) или ∠α

где h,k - полупрямые или лучи с начальной точкой О.

 

Обозначение точек и прямых на плоскости

Рис.1 Пример обозначения точек и прямых на плоскости.

 
         
2.Аксиомы планиметрии    
 

1. Для любой прямой на плоскости существуют точки принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести только одну прямую.

  Аксиома 1  
 

2. Из трех точек, лежащих на прямой, только одна лежит между двумя другими.

  Аксиома 2  
 

3. Любой отрезок имеет длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.

  Аксиома 3  
 

4. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

  Аксиома 4  
 

5. Любой угол имеет определенную градусную меру. Градусная мера любого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучем, проходящим между его сторонами. Развернутый угол =180˚.

  Аксиома 5  
 

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины.

  Аксиома 6  
 

7. От любой полупрямой от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры, меньше 180˚.

  Аксиома 7  
 

8. Для любого треугольника, существует треугольник равный данному, относительно заданной полупрямой в заданном расположении.

  Аксиома 8  
 

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Рис.2

 

Аксиома 9

Рис.2

 
  Пример    
 

   Даны три прямые: а,b,c. Прямая a не параллельна b, а не параллельна с, прямая b не параллельна c. Доказать, что либо 3 прямые пересекаются в одной точке либо в 3-х точках.

 
  Доказательство

   Допустим 3 прямые имеют две точки пересесения. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Рис.3

точка А ∈а,b

   А прямая с пересекает прямую b в точке В.

т. В ∈b,c => т. А,В ∈b

   Тогда прямая с пересекает прямую а либо в точке А, либо в точке В.    Если прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда точки А,В ∈с и прямая с совпадет с b. Т.е. две точки принадлежат одновременно двум прямым b и с. Согласно аксиоме 1 это невозможно, т.к. через две точки можно провести только одну прямую.    Если прямая с пересекает прямую а в точке В, тогда т.А,В ∈а и прямая а совпадет с b. Следовательно через две точки проходят две прямые а и b, что тоже невозможно согласно аксиоме 1.

 

Пересечение 3-х прямых

Рис.3 Пересечение 3-х прямых.
 
 

   Отсюда следует, что прямая с может пересекать прямую а в третьей точке, так что:

А,В ∈b
А,С ∈а
В,С ∈c

или прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда т. А ∈а,b,с и т. В ∈b,c но две прямые b и с могут иметь только одну точку пересечения; следовательно точки А и В совпадают. И следовательно три прямые а,b,с пересекаются в одной точке - в точке А. Вывод: Следовательно, наше утверждение неверно, и три прямые не могут пересекаться в двух точках. Три прямые пересекаются либо в одной, либо в трех точках.

 
 
  Репетиторы на www.mathtask.ru  
 

3.Смежные углы

 

   Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. (Рис.4)

Сумма смежных углов равна 180°.
 

Смежные углы

Рис.4

 
         
         
 

Угол равный 90° называется прямым. Меньше 90° - острым. Больше 90° - тупым. (Рис.5)

Углы в планиметрии

Рис.5

 
         

4.Вертикальные углы

 
 

   Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными. (Рис.6)

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство. Пусть α1 β1 и α2 β2 - данные вертикальные углы. Угол α1 является смежным с углом β1. Угол β1 является смежным с углом α2. Тогда:

    α1 + β1 = 180°

    β1 + α2 = 180°

    α1 + β1 = β1 + α2

   Следовательно, α1 = α2

   Точно так же можно доказать, что β1 = β2.

 

Вертикальные углы

Рис.6 Вертикальные углы.

 

5.Перпендикулярные прямые

 
 

   Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикурярными. (Рис.7)

   Теорема: Через каждую точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.

   Доказательство.

   Пусть а данная прямая и точка А данная точка, принадлежащая прямой а. Обозначим на прямой а полупрямую а1. И отложим от полупрямой а1 угол 90° - а1b1. Тогда прямые а и b, на которых лежат полупрямые а1 и b1 перпендикулярны.

   Допустим, что существует еще одна прямая, перпендикулярная прямой а, и проходящая через точку А - прямая с. Отложим от полупрямой а1 угол 90° - а1с1. Получается, что от полупрямой, от ее начальной точки (точка А) в заданную полуплоскость можно отложить еще один угол, равный 90°. А это невозможно, так как согласно аксиоме 7, от любой полупрямой, от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Поэтому не может существовать два угла в 90° с одной и той же полупрямой в заданной полуплоскости. Теорема доказана.

 

Перпендикулярные прямые

Рис.7 Перпендикулярные прямые.

 
         
         

6.Признаки равенства треугольников

 
 

   Первый признак равенства треугольников

   Теорема: Если две стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между этими сторонами другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.8)

   Доказательство.

   Пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1. Угол А = А1, стороны AB = A1B1 AC = A1C1 (рис 8а).

   Возьмем третий треугольник А1В2С2 = АВС. Треугольники А1В1С1 и А1В2С2 расположим таким образом, что стороны А1В1 и А1В2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В2 лежит на полупрямой А1В1, а вершина С2 лежит в той же полуплоскости, где и С1. (рис 8б). Согласно аксиоме 6: на любой полупрямой, от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины. Следовательно сторона А1В2 = А1В1, т.е. точки В1 и В2 совпадают.

   Согласно аксиоме 7: от любой полупрямой, от ее начальной точки, в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Следовательно углы С1А1В1 и С2А1В2 равны, т.е. точки С1 и С2 совпадают. Таким образом, треугольники A1B1C1 и A1B2C2 совпадают. Отсюда равны и треугольники ABC и A1B1C1.

 

Первый признак равенства треугольников.

Рис.8 Первый признак равенства треугольников.

 
         
 

   Второй признак равенства треугольников

   Теорема: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.9)

   Доказательство.

   Пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1. Углы А = А1, В = В1 сторона AB = A1B1 (рис 9).

   Возьмем третий треугольник А1В2С2 = АВС. Треугольники А1В1С1 и А1В2С2 расположим таким образом, что стороны А1В1 и А1В2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В2 лежит на полупрямой А1В1, а вершина С2 лежит в той же полуплоскости, где и С1. (рис 9). Т.к по условию AB = A1B1 и AB = A1B2 по построению, следовательно A1B1 = A1B2, т.е. точки В1 и В2 совпадают.

 

Второй признак равенства треугольников.

Рис.9 Второй признак равенства треугольников.

 
         
 

   Так как угол В1A1С2 равен углу В1A1С1 и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то сторона A1С2 совпадает со стороной A1С1. А сторона В1С2 совпадает со стороной В1С1. Т.е. вершины С1 и С2 совпадают. Следовательно треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А1В2С2, а следовательно равен треугольнику АВС.

 
         
 

   Третий признак равенства треугольников

   Теорема: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.10)

   Доказательство.

   Пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1. Стороны AB = A1B1, BС = В1С1, AС = A1С1 (рис. 10).

   Возьмем третий треугольник А1В1С2 = АВС. Треугольники А1В1С1 и А1В1С2 расположим таким образом, что вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1. (рис 10). Пусть D середина отрезка C1C2. Таким образом, треугольники C1А1C2 и C1В1C2 - равнобедренные. А1D и B1D - медианы, а следовательно и высоты данных треугольников. Но через точку D можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой C1C2. Следовательно мы пришли к противоречию. Треугольники АВС и А1В1С1 - равны.

 

Третий признак равенства треугольников.

Рис.10 Третий признак равенства треугольников.

 
         
line
         

Пример 1

 
 

   Даны три луча a,b,c. Точка О их общая начальная точка. Углы ab, ac, bc = 120°. Может ли прямая пересекать все три луча?

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть даны три луча a,b,c с общей точкой О (Рис.11). Углы между ними составляют 120° (по условию задачи). И прямая е, пересекающая лучи а и b в точках А и В. Необходимо доказать, что прямая е не может пересечь все три луча а,b и с одновременно.
   Проведем прямую d через луч с. И отложим на прямой d луч с1 в противоположную сторону от луча с. Таким образом, на прямой d лежат два луча с и с1 с общей начальной точкой О, которые являются дополнительными полупрямыми, и лежащих в разных областях угла, образованного лучами a и b: внутренней области α и внешней β. Так как луч с1 проходит между сторонами угла, образованного лучами а и b, то он пересекает прямую е в точке Р. Так как любой луч, проходящий между сторонами угла из его вершины, пересекает отрезок, концы которого лежат на сторонах данного угла. Следовательно прямая d пересекает прямую е в точке Р полупрямой (лучем) с1. Но две прямые d и e могут пересекаться только в одной точке (точка Р), поэтому луч с не может пересекать прямую е, так как он лежит на прямой d. А следовательно прямая е не может перескать все три луча одновременно.

 

Даны три луча a,b,c. Точка О их общая начальная точка.

Рис.11 Задача. Даны три луча a,b,c.

 
         
         
 

Пример 2

 
 

   Через точку О середину отрезка АВ проведена прямая а, перпендикулярная прямой АВ (рис.12). Доказать, что каждая точка Х на этой прямой удалена от точек А и В на равное расстояние.

 
         
 

   Доказательство:

    Проведем два отрезка от точек А и В - АХ и ВХ. Рассмотрим два треугольника АОХ и ВОХ. Сторона АО треугольника АОХ равна стороне ОВ треугольника ВОХ по условию задачи. Сторона ОХ является общей стороной для двух треугольников. Отрезок АВ представляет собой развернутый угол с вершиной в точке О, градусная мера которого составляет 180°. Так как прямая а перпендикулярна отрезку АВ, то угол АОХ равен углу ВОХ, т.е. 90°. Таким образом, получается, что треугольники АОХ и ВОХ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда следует, что сторона АХ треугольника АОХ равна стороне ВХ треугольника ВОХ при любой взятой точки Х, лежащей на прямой а. Т.е. расстояние от точки Х до точек А и В равное.

 

Задача на признак равенства треугольников.

Рис.12 Задача на признак равенства треугольников.

 
         
 

Пример 3

 
 

   Периметр равнобедренного треугольника равен 2 метра, а основание равно 0,6 метра. Найдите длину боковой стороны.

 
         
 

   Решение:

    Периметр треугольника равен 2 метра (Рис.13). Следовательно:

Р = АВ + ВС + АС = 2

   Но так как АВ = ВС (по условию задачи), то

Р = 2 АВ + АС

2 = 2 АВ + 0,6

1,4 = 2 АВ

АВ = 0,7

Ответ: АВ = ВС = 0,7 метра.

 

Задача. Нахождение боковой стороны.

Рис.13 Задача. Нахождение боковой стороны.

 
         
 

Пример 4

 
 

   Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 40 метров, Найдите длину медианы ВD, если периметр треугольника АВD составляет 30 метров.

 
         
 

   Решение:

    Так как треугольник АВС с основанием АС равнобедренный, то АВ = ВС. А так как BD медиана, то AD = DC (Рис. 14). Обозначим стороны треугольников как:

AB = BC = y

AD = DC = x

BD = z

Следовательно:

РABC = 2 x + 2 y = 40

x + y = 20

РABD = x + y + z = 30

z = 30 - (x + y) = 30 - 20 = 10

Ответ: ВD = 10 метров.

 

Задача. Нахождение медианы BD.

Рис.14 Задача. Нахождение медианы BD.

 
         
 

Пример 5

 
 

   Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Треугольники ABU1 и ABU2 равны. Докажите, что треугольники CDU1 и CDU2 тоже равны.

 
         
 

   Доказательство:

   По условию задачи треугольники ABU1 и ABU2 равны (Рис.15). Следовательно, BU1 = BU2. Угол ABU1 равен углу ABU2. Отсюда можно сделать вывод, что угол СBU1 равен углу СBU2, так как эти углы являются смежными с углами ABU1 и ABU2.

   Таким образом, треугольники СBU1 и СBU2 равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: BU1 = BU2, а сторона ВС у них общая и углы между ними равны). Следовательно, угол BСU1 равен углу BСU2 и СU1 = СU2. И следовательно, угол DСU1 равен углу DСU2, как смежные с углами BСU1 и BCU2.

    А отсюда делается заключительный вывод, что треугольники СDU1 и СDU2 равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: СU1 = СU2, а сторона СD у них общая и углы между ними равны).

 

Задача. На признаки равенства треугольников.

Рис.15 Задача. На признаки равенства треугольников.

 
         
         
         
 
  Репетиторы на www.mathtask.ru  
 
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника.
3.Окружность вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
 
     
 
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
 Всего комментариев: 0      
line
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
line
         
         
 
line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru