Планиметрия. Страница 1

1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
7.Примеры.

1.Основные фигуры планиметрии

   Планиметрия - раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства на плоскости.

   Основными фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки обычно обозначаются заглавными буквами - А, В, С, D. Прямые обозначаются строчными буквами - a, b, c, d. (Рис.1)

а, b, c - прямые.

A, B, C, D, E - точки.

Прямые a и b параллельны,
прямые а и с пересекаются в точке С,
прямые b и с пересекаются в точке Е.

Точка А не принадлежит ни одной прямой.
Точка В принадлежит прямой а,
точка D - прямой b,
точка C - прямой а и с,
точка Е - прямой b и c.

Углы обозначаются так:

∠SOP или ∠О или ∠(hk) или ∠α

где h,k - полупрямые или лучи с начальной точкой О.

Рис.1 Пример обозначения точек и прямых на плоскости.

1. Для любой прямой на плоскости существуют точки принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести только одну прямую.

2. Из трех точек, лежащих на прямой, только одна лежит между двумя другими.

3. Любой отрезок имеет длину больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, лежащей на этом отрезке.

4. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Любой угол имеет определенную градусную меру. Градусная мера любого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучем, проходящим между его сторонами. Развернутый угол =180˚.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины.

7. От любой полупрямой от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры, меньше 180˚.

8. Для любого треугольника, существует треугольник равный данному, относительно заданной полупрямой в заданном расположении.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Рис.2

Рис.2

   Даны три прямые: а,b,c. Прямая a не параллельна b, а не параллельна с, прямая b не параллельна c. Доказать, что либо 3 прямые пересекаются в одной точке либо в 3-х точках.

   Допустим 3 прямые имеют две точки пересесения. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Рис.3

точка А ∈а,b

   А прямая с пересекает прямую b в точке В.

т. В ∈b,c => т. А,В ∈b

   Тогда прямая с пересекает прямую а либо в точке А, либо в точке В.    Если прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда точки А,В ∈с и прямая с совпадет с b. Т.е. две точки принадлежат одновременно двум прямым b и с. Согласно аксиоме 1 это невозможно, т.к. через две точки можно провести только одну прямую.    Если прямая с пересекает прямую а в точке В, тогда т.А,В ∈а и прямая а совпадет с b. Следовательно через две точки проходят две прямые а и b, что тоже невозможно согласно аксиоме 1.

   Отсюда следует, что прямая с может пересекать прямую а в третьей точке, так что:

А,В ∈b
А,С ∈а
В,С ∈c

или прямая с пересекает прямую а в точке А, тогда т. А ∈а,b,с и т. В ∈b,c но две прямые b и с могут иметь только одну точку пересечения; следовательно точки А и В совпадают. И следовательно три прямые а,b,с пересекаются в одной точке - в точке А. Вывод: Следовательно, наше утверждение неверно, и три прямые не могут пересекаться в двух точках. Три прямые пересекаются либо в одной, либо в трех точках.

3.Смежные углы

   Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие их стороны являются дополнительными полупрямыми. (Рис.4)

Рис.4

Угол равный 90° называется прямым. Меньше 90° - острым. Больше 90° - тупым. (Рис.5)

Рис.5

4.Вертикальные углы

   Если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла, то такие углы называются вертикальными. (Рис.6)

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство. Пусть α₁ β₁ и α₂ β₂ - данные вертикальные углы. Угол α₁ является смежным с углом β₁. Угол β₁ является смежным с углом α₂. Тогда:

    α₁ + β₁ = 180°

    β₁ + α₂ = 180°

    α₁ + β₁ = β₁ + α₂

   Следовательно, α₁ = α₂

   Точно так же можно доказать, что β₁ = β₂.

Рис.6 Вертикальные углы.

5.Перпендикулярные прямые

   Если две прямые пересекаются под прямым углом, то такие прямые называются перпендикурярными. (Рис.7)

   Теорема: Через каждую точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.

   Доказательство.

   Пусть а данная прямая и точка А данная точка, принадлежащая прямой а. Обозначим на прямой а полупрямую а1. И отложим от полупрямой а1 угол 90° - а1b1. Тогда прямые а и b, на которых лежат полупрямые а1 и b1 перпендикулярны.

   Допустим, что существует еще одна прямая, перпендикулярная прямой а, и проходящая через точку А - прямая с. Отложим от полупрямой а1 угол 90° - а1с1. Получается, что от полупрямой, от ее начальной точки (точка А) в заданную полуплоскость можно отложить еще один угол, равный 90°. А это невозможно, так как согласно аксиоме 7, от любой полупрямой, от ее начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Поэтому не может существовать два угла в 90° с одной и той же полупрямой в заданной полуплоскости. Теорема доказана.

Рис.7 Перпендикулярные прямые.

6.Признаки равенства треугольников

   Первый признак равенства треугольников

   Теорема: Если две стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между этими сторонами другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.8)

   Доказательство.

   Пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1. Угол А = А1, стороны AB = A1B1 AC = A1C1 (рис 8а).

   Возьмем третий треугольник А1В2С2 = АВС. Треугольники А1В1С1 и А1В2С2 расположим таким образом, что стороны А1В1 и А1В2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В2 лежит на полупрямой А1В1, а вершина С2 лежит в той же полуплоскости, где и С1. (рис 8б). Согласно аксиоме 6: на любой полупрямой, от ее начальной точки можно отложить только один отрезок определенной длины. Следовательно сторона А1В2 = А1В1, т.е. точки В1 и В2 совпадают.

   Согласно аксиоме 7: от любой полупрямой, от ее начальной точки, в заданную полуплоскость можно отложить только один угол определенной градусной меры. Следовательно углы С1А1В1 и С2А1В2 равны, т.е. точки С1 и С2 совпадают. Таким образом, треугольники A1B1C1 и A1B2C2 совпадают. Отсюда равны и треугольники ABC и A1B1C1.

Рис.8 Первый признак равенства треугольников.

   Второй признак равенства треугольников

   Теорема: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.9)

   Доказательство.

   Пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1. Углы А = А1, В = В1 сторона AB = A1B1 (рис 9).

   Возьмем третий треугольник А1В2С2 = АВС. Треугольники А1В1С1 и А1В2С2 расположим таким образом, что стороны А1В1 и А1В2 лежат на одной полупрямой, а точка А1 является начальной точкой нашей полупрямой. Вершина В2 лежит на полупрямой А1В1, а вершина С2 лежит в той же полуплоскости, где и С1. (рис 9). Т.к по условию AB = A1B1 и AB = A1B2 по построению, следовательно A1B1 = A1B2, т.е. точки В1 и В2 совпадают.

Рис.9 Второй признак равенства треугольников.

   Так как угол В1A1С2 равен углу В1A1С1 и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то сторона A1С2 совпадает со стороной A1С1. А сторона В1С2 совпадает со стороной В1С1. Т.е. вершины С1 и С2 совпадают. Следовательно треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А1В2С2, а следовательно равен треугольнику АВС.

   Третий признак равенства треугольников

   Теорема: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Рис.10)

   Доказательство.

   Пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1. Стороны AB = A1B1, BС = В1С1, AС = A1С1 (рис. 10).

   Возьмем третий треугольник А1В1С2 = АВС. Треугольники А1В1С1 и А1В1С2 расположим таким образом, что вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1. (рис 10). Пусть D середина отрезка C1C2. Таким образом, треугольники C1А1C2 и C1В1C2 - равнобедренные. А1D и B1D - медианы, а следовательно и высоты данных треугольников. Но через точку D можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой C1C2. Следовательно мы пришли к противоречию. Треугольники АВС и А1В1С1 - равны.

Рис.10 Третий признак равенства треугольников.

Пример 1

   Даны три луча a,b,c. Точка О их общая начальная точка. Углы ab, ac, bc = 120°. Может ли прямая пересекать все три луча?

   Доказательство:

   Пусть даны три луча a,b,c с общей точкой О (Рис.11). Углы между ними составляют 120° (по условию задачи). И прямая е, пересекающая лучи а и b в точках А и В. Необходимо доказать, что прямая е не может пересечь все три луча а,b и с одновременно.
   Проведем прямую d через луч с. И отложим на прямой d луч с1 в противоположную сторону от луча с. Таким образом, на прямой d лежат два луча с и с1 с общей начальной точкой О, которые являются дополнительными полупрямыми, и лежащих в разных областях угла, образованного лучами a и b: внутренней области α и внешней β. Так как луч с1 проходит между сторонами угла, образованного лучами а и b, то он пересекает прямую е в точке Р. Так как любой луч, проходящий между сторонами угла из его вершины, пересекает отрезок, концы которого лежат на сторонах данного угла. Следовательно прямая d пересекает прямую е в точке Р полупрямой (лучем) с1. Но две прямые d и e могут пересекаться только в одной точке (точка Р), поэтому луч с не может пересекать прямую е, так как он лежит на прямой d. А следовательно прямая е не может перескать все три луча одновременно.

Рис.11 Задача. Даны три луча a,b,c.

Пример 2

   Через точку О середину отрезка АВ проведена прямая а, перпендикулярная прямой АВ (рис.12). Доказать, что каждая точка Х на этой прямой удалена от точек А и В на равное расстояние.

   Доказательство:

    Проведем два отрезка от точек А и В - АХ и ВХ. Рассмотрим два треугольника АОХ и ВОХ. Сторона АО треугольника АОХ равна стороне ОВ треугольника ВОХ по условию задачи. Сторона ОХ является общей стороной для двух треугольников. Отрезок АВ представляет собой развернутый угол с вершиной в точке О, градусная мера которого составляет 180°. Так как прямая а перпендикулярна отрезку АВ, то угол АОХ равен углу ВОХ, т.е. 90°. Таким образом, получается, что треугольники АОХ и ВОХ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда следует, что сторона АХ треугольника АОХ равна стороне ВХ треугольника ВОХ при любой взятой точки Х, лежащей на прямой а. Т.е. расстояние от точки Х до точек А и В равное.

Рис.12 Задача на признак равенства треугольников.

Пример 3

   Периметр равнобедренного треугольника равен 2 метра, а основание равно 0,6 метра. Найдите длину боковой стороны.

   Решение:

    Периметр треугольника равен 2 метра (Рис.13). Следовательно:

Р = АВ + ВС + АС = 2

   Но так как АВ = ВС (по условию задачи), то

Р = 2 АВ + АС

2 = 2 АВ + 0,6

1,4 = 2 АВ

АВ = 0,7

Ответ: АВ = ВС = 0,7 метра.

Рис.13 Задача. Нахождение боковой стороны.

Пример 4

   Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 40 метров, Найдите длину медианы ВD, если периметр треугольника АВD составляет 30 метров.

   Решение:

    Так как треугольник АВС с основанием АС равнобедренный, то АВ = ВС. А так как BD медиана, то AD = DC (Рис. 14). Обозначим стороны треугольников как:

AB = BC = y

AD = DC = x

BD = z

Следовательно:

Р_ABC = 2 x + 2 y = 40

x + y = 20

Р_ABD = x + y + z = 30

z = 30 - (x + y) = 30 - 20 = 10

Ответ: ВD = 10 метров.

Рис.14 Задача. Нахождение медианы BD.

Пример 5

   Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Треугольники ABU₁ и ABU₂ равны. Докажите, что треугольники CDU₁ и CDU₂ тоже равны.

   Доказательство:

   По условию задачи треугольники ABU₁ и ABU₂ равны (Рис.15). Следовательно, BU₁ = BU₂. Угол ABU₁ равен углу ABU₂. Отсюда можно сделать вывод, что угол СBU₁ равен углу СBU₂, так как эти углы являются смежными с углами ABU₁ и ABU₂.

   Таким образом, треугольники СBU₁ и СBU₂ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: BU₁ = BU₂, а сторона ВС у них общая и углы между ними равны). Следовательно, угол BСU₁ равен углу BСU₂ и СU₁ = СU₂. И следовательно, угол DСU₁ равен углу DСU₂, как смежные с углами BСU₁ и BCU₂.

    А отсюда делается заключительный вывод, что треугольники СDU₁ и СDU₂ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: СU₁ = СU₂, а сторона СD у них общая и углы между ними равны).

Рис.15 Задача. На признаки равенства треугольников.

Содержание