|
|
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 | ||||
![]() |
||||
1. Основные фигуры стереометрииСтереометрия - это раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства в пространстве. Основные фигуры в пространстве - это точка, прямая, плоскость. Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ. Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением "на" или "в заданной плоскости" и 3-х дополнительных аксиом.
|
||||
2. Группа дополнительных аксиом стереометрии1. Для любой плоскости в пространстве, существуют точки принадлежащие данной плоскости и точки не принадлежащие ей. |
![]() |
|||
2. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. |
![]() |
|||
3. Через две различные прямые, имеющие общую точку, можно провести только одну плоскость.
(Рис.1) |
Рис. 1. Аксиомы стереометрии. |
|||
ПримерДаны три попарно пересекающиеся плоскости. Две прямые пересечения из них пересекаются. Доказать, что три прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в одной точке. |
||||
Доказательство. Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости α, β и γ. Плоскость α пересекает плоскость β по прямой а. А плоскость β пересекает плоскость γ по прямой с (Рис. 2 а).
Если они параллельны, то у них нет общих точек, а следовательно, плоскости α и β пересекаются по прямой а, параллельной b и с (Рис. 2 б). А это противоречит условию задачи. Следовательно, прямые b и с пересекаются в какой-то точке Е1. т.Е1 ∈ b,с Отсюда можно сделать вывод, что точка Е1 принадлежит трем плоскостям α,β,γ и, следовательно, она лежит одновременно на трех прямых а, b и с. А это возможно только, если три прямые пересекаются в одной точке. И, следовательно, прямая b пересекает прямую с в точке Е1, которая является точкой пересечения прямых а и с. Таким образом, точки Е и Е1 совпадают.
|
Рис.2. Даны три попарно пересекающиеся плоскости... |
|||
3. Плоскость, проходящая через данную прямую и точкуТеорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость. Доказательство. |
||||
Пусть АВ данная прямая и Е не принадлежащая ей точка. (Рис.3) Проведем через точки А и Е прямую. Тогда прямые АВ и АЕ пересекаются в точке А. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость α, проведенная через эти прямые, единственная. Т.к. точка Е принадлежит прямой АЕ, то она принадлежит плоскости α. Если допустить, что существует еще одна плоскость α', проходящая через прямую АВ и точку Е, то эта плоскость пересекает плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В, и Е согласно аксиоме 2. А это противоречит условию, т.к. точки А, В, и Е не лежат на одной прямой. Следовательно, плоскость α единственная. |
Рис. 3 Плоскость, проходящая через данную прямую и точку. |
|||
4. Пересечение прямой с плоскостьюТеорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит данной плоскости. Доказательство. |
||||
Пусть а - данная прямая, А и В принадлежащие этой прямой точки, α - данная плоскость. Точки А и В принадлежат плоскости α. Согласно аксиоме 1, существует точка С, не лежащая на прямой а. (Рис.4) Проведем через прямую а и точку С плоскость β. Тогда, если плоскости α и β совпадают, то прямая а принадлежит плоскости α, что и утверждает данная теорема. Если плоскости α и β не совпадают, то они пересекаются по прямой а'. Таким образом, имеем: точки А и В ∈ а, α Отсюда следует, что две точки А и В принадлежат двум плоскостям: α и β. И, согласно аксиоме, они могут лежать только на прямой а', которая является прямой пересечения этих плоскостей. Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, и по условию теоремы эта прямая есть а, то следовательно, она и является прямой пересечения двух плоскостей. Т.е. прямые а и а' совпадают. А следовательно, прямая а принадлежит плоскости α. Из данной теоремы следует, что плоскость и не принадлежащая ей прямая, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
|
Рис. 4 Пересечение прямой с плоскостью. |
|||
5. Существование плоскости, проходящей через три данные точкиТеорема. Через три точки, не лежащие на данной прямой, можно провести только одну плоскость. Рис.5 |
||||
Доказательство. Пусть А, В, С три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем через точки А,С и В,С прямые. Тогда они пересекаются в точке С. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость, проведенная через эти прямые, единственная. По теореме о пересечении прямой с плоскостью, обе прямые целиком принадлежат данной плоскости. |
Рис. 5 Существование плоскости, проходящей через три данные точки. |
|||
![]() |
||||
6.Пример 1 |
||||
Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости. |
||||
Доказательство: |
Рис.6 Задача. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую... |
|||
Пример 2 |
||||
Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую. |
||||
Доказательство: |
Рис.7 Задача. Даны две непересекающиеся плоскости... |
|||
Пример 3 |
||||
Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. И прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются. |
||||
Доказательство: |
Рис.8 Задача. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а... |
|||
Пример 4 |
||||
Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой. |
||||
Доказательство: |
Рис.9 Задача. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей... |
|||
Пример 5 |
||||
Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости. |
||||
Доказательство: |
Рис.10 Задача. Даны четыре точки. Известно, что прямая... |
|||
![]() |
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 | ||||
Содержание |
||||
Страница 1 | Страница 5 | |||
1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии. 3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку. 4.Пересечение прямой с плоскостью. 5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки. |
1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений. 3.Параллелепипед. 4.Прямоугольный параллелепипед. 5.Пирамида. 6.Усеченная пирамида. 7.Правильные многогранники. |
|||
Страница 2 | Страница 6 | |||
1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых. 3.Признак параллельности плоскостей. 4.Свойства параллельных плоскостей. |
1.Цилиндр.
2.Конус. 3.Вписанная и описанная призма. 4.Вписанная и описанная пирамида. 5.Шар. 6.Симметрия шара. |
|||
Страница 3 | Страница 7 | |||
1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 3.Теорема о трех перпендикулярах. 4.Признак перпендикулярности плоскостей. 5.Расстояние между скрещивающимися прямыми. |
1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед. 3.Объем пирамиды. 4.Объем призмы. 5.Равновеликие тела. 6.Объемы подобных тел. |
|||
Страница 4 | Страница 8 | |||
1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками. 3.Преобразование симметрии в пространстве. 4.Движение в пространстве. 5.Угол между прямой и плоскостью. 6.Угол между плоскостями. 7.Векторы в пространстве. 8.Площадь ортогональной проекции многоугольника. |
1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра. 3.Площадь боковой поверхности конуса. 4.Объем конуса. 5.Объем тел вращения. 6.Объем шара. 7.Объем шарового сегмента и сектора. 8.Площадь сферы. |
|||
|
||
www.mathtask.ru | ||