Math Task сайт репетиторов

Стереометрия. Страница 1

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Стереометрия. Страница 1  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.

 

   
1 2 3 4 5 6 7 8
         
line

1. Основные фигуры стереометрии

   Стереометрия - это раздел геометрии, изучающий свойства геометрических фигур в пространстве.
Основные фигуры в пространстве - это точка, прямая, плоскость.

   Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением "на" или "в заданной плоскости" и 3-х дополнительных аксиом. Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ.  

 

 

2. Группа дополнительных аксиом стереометрии

   

   1. Для любой плоскости в пространстве, существуют точки принадлежащие данной плоскости и точки не принадлежащие данной плоскости.

  Аксиома стереометрии 1  
 

   2. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

  Аксиома стереометрии 2  
 

   3. Через две различные прямые, имеющие общую точку, можно провести только одну плоскость.

 

Рис.1

 

Аксиома стереометрии 3

Рис. 1 Аксиомы стереометрии.

 
         
 

Пример

   Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две прямые пересечения из них пересекаются. Доказать, что три прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в одной точке. Рис.2

 
 

Доказательство.

   Плоскость α пересекает плоскость β по прямой а. А плоскость β пересекает плоскость γ по прямой с.

а ∈ α,β
c ∈ β,γ

т.Е ∈ а,с (прямые пересекаются в точке Е по условию задачи)

   Плоскости α и γ пересекаются по прямой b.

b ∈ α,γ

т.к. прямые b,с ∈ γ, то они либо параллельны, либо пересекаются в какой-то точке Е1.

   Если они параллельны, то т.к. b∈ α и с∈ β, следовательно α и β пересекаются по какой-то прямой х, которая должна пересекать прямую с. Но такая прямая уже есть, это прямая а. И согласно аксиоме она единственная. Следовательно прямые b и с пересекаются в какой-то точке Е1

т.Е1 ∈ b,с
=> т.Е1 ∈ α,β,γ

   Следовательно точка Е1 принадлежит трем плоскостям α,β,γ и следовательно она лежит одновременно на трех прямых а,b, с. А это возможно только если три прямые пересекаются в одной точке. И следовательно прямая b пересекает прямую с в точке Е1, которая является точкой пересечения прямых а и с т.Е. Т.е. точки Е и Е1 совпадают.

 

 

Задача о трех попарно пересекающихся плоскостях

Рис.2

 
         

3. Плоскость, проходящая через данную прямую и точку

   Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость.

Доказательство.

 
 

   Пусть АВ данная прямая и Е не принадлежащая ей точка. (Рис.3) Проведем через точки А и Е прямую. Тогда прямые АВ и АЕ пересекаются в точке А. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость α, проведенная через эти прямые единственная. Т.к. точка Е принадлежит прямой АЕ, то она принадлежит плоскости α.

   Если допустить, что существует еще одна плоскость α', проходящая через прямую АВ и точку Е, то эта плоскость пересекает плоскость α по прямой, на которой лежат точки А В и Е согласно аксиоме 2. А это противоречит условию, т.к. точки А В и Е не лежат на одной прямой. Следовательно плоскость α единственная.

 

Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.

Рис. 3 Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.

 
         

4. Пересечение прямой с плоскостью

   Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит данной плоскости.

Доказательство.

 
 

   Пусть а - данная прямая, А и В принадлежащие этой прямой точки, α - данная плоскость. Точки А и В принадлежат плоскости α. Согласно аксиоме 1 существует точка С, не лежащая на прямой а. (Рис.4)

   Проведем через прямую а и точку С плоскость β. Тогда если плоскости α и β совпадают, то прямая а принадлежит плоскости α, что и утверждает данная теорема. Если плоскости α и β не совпадают, то они пересекаются по прямой а'. Таким образом, имеем:

точки А и В ∈ а, α
а ∈ β
=> точки А и В ∈β

   Отсюда следует, что две точки А и В принадлежат двум плоскостям: α и β. И согласно аксиоме они могут лежать только на прямой, которая является прямой пересечения этих плоскостей а'. Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, и по условию эта прямая есть а, то следовательно она и является прямой пересечения двух плоскостей. Т.е. прямые а и а' совпадают. А следовательно, прямая а принадлежит плоскости α.

   Из данной теоремы следует, что плоскость и не принадлежащая ей прямая, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

 

Пересечение прямой с плоскостью.

 

Пересечение прямой с плоскостью.

Рис. 4 Пересечение прямой с плоскостью.

 
         

5. Существование плоскости, проходящей через три данные точки

   Теорема. Через три точки, не лежащие на данной прямой, можно провести только одну плоскость. Рис.5

 
 

   Доказательство. Пусть А В С три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем через точки АС и ВС прямые. Тогда они пересекаются в точке С. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость, проведенная через эти прямые, единственная. По теореме о пересечении прямой с плоскостью обе прямые целиком принадлежат данной плоскости.

 

Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Рис. 5 Существование плоскости, проходящей через три данные точки.

 
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8
         
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 5  
  1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
  1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
 
         
  Страница 2   Страница 6  
  1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
  1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
 
         
  Страница 3   Страница 7  
  1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
  1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
 
         
  Страница 4   Страница 8  
  1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
  1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.
 
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru