Исследование функций

1. Возрастание и убывание функции

   Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с положительна, то на этом промежутке она возрастает.
   Действительно, согласно теореме Лагранжа, если х2 > x1 и f '(c) > 0, то функция возрастает.

   т.е. если левая часть равенства положительна,
где х1 <c< x2 и f '(c)>0, то f(x2)>f(x1)

Возрастающая функция.

   При убывании функции можно сделать аналогичный вывод.

   Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с отрицательна, то на этом промежутке она убывает.
   Опять же, согласно теореме Лагранжа, если х1 <c< x2 и f '(c) < 0, то функция убывает.

Убывающая функция.

2.Экстремум функции.

   Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка А на этом промежутке, что f(x) < f(A) во всех точках окрестности точки А, то данная точка называется точкой максимума.

   Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка В на этом промежутке, что f(x) > f(В) во всех точках окрестности точки B, то данная точка называется точкой минимума.

   Точки максимума и минимума называются критическими точками и производная функции в этих точках или не существует, или равна нулю
f '(A) = 0
f '(B) = 0.

   Касательная к графику функции в данных точках параллельна оси ОХ.

   Здесь нужно отметить, что не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например функция y = x³ не имеет экстремума, т.к. не выполняется условие f(x) <(>) f(x0), т.е. в окрестности точки х0 значение функции должно быть больше (меньше) значения функции в точке х0. Таким образом, функция y = x³ имеет критическую точку при х=0
(т.к. f '(0)=0), но экстремума в этой точке нет.

Экстремум функции.

3.Выпуклость графика функции.

   Пусть задана функция y = f(x). Предположим, что функция f(x) дифференцируема на определенном промежутке [x1;x3].

   Возьмем промежуток [x1;x2]. Тогда, если при любом значении х таком, что x1<x<x2, значение функции меньше значения касательной в точке х,
т.е. f_ф(x) ≤ f_к(x), то функция выпукла вверх.

   Возьмем промежуток [x2;x3]. Тогда, если при любом значении х таком, что x2<x<x3, значение функции больше значения касательной в точке х,
т.е. f_ф(x) ≥ f_к(x), то функция выпукла вниз.

   Если функция выпукла вверх, то вторая производная функции меньше нуля, т.е. f ''(x) < 0.

   Если функция выпукла вниз, то вторая производная функции больше нуля, т.е. f ''(x) > 0.

Выпуклость графика функции.

4.Точки перегиба.

   Если график функции слева и справа от точки А имеет разную выпуклость, то эта точка называется точкой перегиба.

   В точке перегиба вторая производная функции f''(x)=0. Если второй производной в точке А не существует, тогда вторая производная для функции f(x) слева и справа от точки А будет иметь разные знаки.

Точка перегиба.

5. Асимптоты графика функции.

   Асимптотой графика функции f(x) называется прямая, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю при стремлении х к бесконечности. Т.е. fпр(х) - f(x) → 0 или fпр(x) → f(x)

   Допустим функция определена в окрестности точки x0. Тогда если хотя бы один из пределов функции справа или слева равен бесконечности при стремлении x→x0, то пряма x=x0 называется вертикальной асимптотой.

Вертикальная асимптота.

   Если существует конечный предел функции равный b при стремлении х→∞, то прямая y = b есть горизонтальная асимптота.

   Если существует только один конечный предел при стремлении х→∞       справа или слева, то функция имеет левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

Горизонтальная асимптота.

   Если существуют конечные пределы такие, что

то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой.

   Бавают правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты.

Наклонная асимптота.

Пример.

   Получим:

   точка х = -2,791 минимум,

   точка х = 0 максимум,

   в точке х = 1 функция не определена,

   точка х = 1,791 минимум.

   6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.