Math Task
 

 

Исследование функций

       
 
1.Возрастание и убывание функции.
2.Экстремум функции.
3.Выпуклость графика функции.
4.Точки перегиба.
5.Асимптоты графика функции.

 

   
     
  10 11 12 13 14 15 16 17 18  
     
  line  

1. Возрастание и убывание функции

 
   Пусть задана функция f(x). Возьмем две точки на промежутке [a,b] х1 и х2 при условии, что х2 > x1. Тогда функция называется возрастающей на промежутке [a,b], если f(x2) > f(x1). Функция называется убывающей на промежутке [a,b], если f(x2) < f(x1).
 
 

   Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с положительна, то на этом промежутке она возрастает.
   Действительно, согласно теореме Лагранжа, если х2 > x1 и f '(c) > 0, то функция возрастает.

Условие возрастания функции

   т.е. если левая часть равенства положительна,
где х1 <c< x2 и f '(c)>0, то f(x2)>f(x1)

 

Возрастание функции

Возрастающая функция.

 
 

   При убывании функции можно сделать аналогичный вывод.

   Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с отрицательна, то на этом промежутке она убывает.
   Опять же, согласно теореме Лагранжа, если х1 <c< x2 и f '(c) < 0, то функция убывает.

Условие убывания функции

 

Убывание функции

Убывающая функция.

 

2.Экстремум функции.

 
 

   Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка А на этом промежутке, что f(x) < f(A) во всех точках окрестности точки А, то данная точка называется точкой максимума.

   Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка В на этом промежутке, что f(x) > f(В) во всех точках окрестности точки B, то данная точка называется точкой минимума.

   Точки максимума и минимума называются критическими точками и производная функции в этих точках или не существует, или равна нулю
f '(A) = 0
f '(B) = 0.

   Касательная к графику функции в данных точках параллельна оси ОХ.

   Здесь нужно отметить, что не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например функция y = x3 не имеет экстремума, т.к. не выполняется условие f(x) <(>) f(x0), т.е. в окрестности точки х0 значение функции должно быть больше (меньше) значения функции в точке х0. Таким образом, функция y = x3 имеет критическую точку при х=0
(т.к. f '(0)=0), но экстремума в этой точке нет.

 

Экстремум функции

Экстремум функции.

 
 

3.Выпуклость графика функции.

   
 

   Пусть задана функция y = f(x). Предположим, что функция f(x) дифференцируема на определенном промежутке [x1;x3].

   Возьмем промежуток [x1;x2]. Тогда, если при любом значении х таком, что x1<x<x2, значение функции меньше значения касательной в точке х,
т.е. fф(x) ≤ fк(x), то функция выпукла вверх.

   Возьмем промежуток [x2;x3]. Тогда, если при любом значении х таком, что x2<x<x3, значение функции больше значения касательной в точке х,
т.е. fф(x) ≥ fк(x), то функция выпукла вниз.

   Если функция выпукла вверх, то вторая производная функции меньше нуля, т.е. f ''(x) < 0.

   Если функция выпукла вниз, то вторая производная функции больше нуля, т.е. f ''(x) > 0.

 

 

 

Выпуклость графика функцииВыпуклость графика функции.

 

4.Точки перегиба.

   
 

   Если график функции слева и справа от точки А имеет разную выпуклость, то эта точка называется точкой перегиба.

   В точке перегиба вторая производная функции f''(x)=0. Если второй производной в точке А не существует, тогда вторая производная для функции f(x) слева и справа от точки А будет иметь разные знаки.

Условие существования точек перегиба функции

 

Точка перегиба. График.

Точка перегиба.

 
 
         
   

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

 
  Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович
 

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

Форма обучения   2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.

 
     
 
 

5. Асимптоты графика функции.

   
 

   Асимптотой графика функции f(x) называется прямая, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю при стремлении х к бесконечности. Т.е. fпр(х) - f(x) → 0 или fпр(x) → f(x)

   Допустим функция определена в окрестности точки x0. Тогда если хотя бы один из пределов функции справа или слева равен бесконечности при стремлении x→x0, то пряма x=x0 называется вертикальной асимптотой.

Условие существования вертикальной асимптоты

 

Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота.

 
 

   Если существует конечный предел функции равный b при стремлении х→∞, то прямая y = b есть горизонтальная асимптота.

Условие существования горизонтальной асимптоты

   Если существует только один конечный предел при стремлении х→∞       справа или слева, то функция имеет левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

Условие существования горизонтальной асимптоты (левой, правой)

 

Горизонтальная асимптота

Горизонтальная асимптота.

 
 

   Если существуют конечные пределы такие, что

Условие существования наклонной асимптоты

то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой.

   Бавают правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты.

 

Наклонная асимптота

Наклонная асимптота.

 
 
 

Пример.

   
  Пример исследования функции  
  Пример исследования функции  

Исследование функции. График

Исследование функции

 
  Пример исследования функции  
  Экстремумы функции  
 

   Получим:

   точка х = -2,791 минимум,

   точка х = 0 максимум,

   в точке х = 1 функция не определена,

   точка х = 1,791 минимум.

   
 

   6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

 
  Пример исследования функции  
  Пример исследования функции  
  Точки перегиба  
         
  line  
     
  10 11 12 13 14 15 16 17 18  
 
 
     
 


 
     
     
  www.mathtask.ru