|
1.Возрастание и убывание функции. 2.Экстремум функции. 3.Выпуклость графика функции. 4.Точки перегиба. 5.Асимптоты графика функции.
|
||||
10 11 12 13 14 15 16 17 18 | ||||
![]() |
||||
1. Возрастание и убывание функции |
||||
Пусть задана функция f(x). Возьмем две точки на промежутке [a,b] х1 и х2 при условии, что х2 > x1. Тогда функция называется возрастающей на промежутке [a,b], если f(x2) > f(x1). Функция называется убывающей на промежутке [a,b], если f(x2) < f(x1). |
||||
Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с положительна, то на этом промежутке она возрастает. т.е. если левая часть равенства положительна, |
Возрастающая функция. |
|||
При убывании функции можно сделать аналогичный вывод. Если функция дифференцируема на определенном промежутке и производная функции в точке х = с отрицательна, то на этом промежутке она убывает. |
Убывающая функция. |
|||
2.Экстремум функции. |
||||
Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка А на этом промежутке, что f(x) < f(A) во всех точках окрестности точки А, то данная точка называется точкой максимума. Если функция f(x) определена на определенном промежутке и существует такая точка В на этом промежутке, что f(x) > f(В) во всех точках окрестности точки B, то данная точка называется точкой минимума. Точки максимума и минимума называются критическими точками и производная функции в этих точках или не существует, или равна нулю Касательная к графику функции в данных точках параллельна оси ОХ. Здесь нужно отметить, что не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например функция y = x3 не имеет экстремума, т.к. не выполняется условие f(x) <(>) f(x0), т.е. в окрестности точки х0 значение функции должно быть больше (меньше) значения функции в точке х0. Таким образом, функция y = x3 имеет критическую точку при х=0 |
Экстремум функции. |
|||
3.Выпуклость графика функции. |
||||
Пусть задана функция y = f(x). Предположим, что функция f(x) дифференцируема на определенном промежутке [x1;x3]. Возьмем промежуток [x1;x2]. Тогда, если при любом значении х таком, что x1<x<x2, значение функции меньше значения касательной в точке х, Возьмем промежуток [x2;x3]. Тогда, если при любом значении х таком, что x2<x<x3, значение функции больше значения касательной в точке х, Если функция выпукла вверх, то вторая производная функции меньше нуля, т.е. f ''(x) < 0. Если функция выпукла вниз, то вторая производная функции больше нуля, т.е. f ''(x) > 0.
|
|
|||
4.Точки перегиба. |
||||
Если график функции слева и справа от точки А имеет разную выпуклость, то эта точка называется точкой перегиба. В точке перегиба вторая производная функции f''(x)=0. Если второй производной в точке А не существует, тогда вторая производная для функции f(x) слева и справа от точки А будет иметь разные знаки. |
Точка перегиба. |
|||
5. Асимптоты графика функции. |
||||
Асимптотой графика функции f(x) называется прямая, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю при стремлении х к бесконечности. Т.е. fпр(х) - f(x) → 0 или fпр(x) → f(x) Допустим функция определена в окрестности точки x0. Тогда если хотя бы один из пределов функции справа или слева равен бесконечности при стремлении x→x0, то пряма x=x0 называется вертикальной асимптотой. |
Вертикальная асимптота. |
|||
Если существует конечный предел функции равный b при стремлении х→∞, то прямая y = b есть горизонтальная асимптота. Если существует только один конечный предел при стремлении х→∞ справа или слева, то функция имеет левостороннюю или правостороннюю асимптоту. |
Горизонтальная асимптота. |
|||
Если существуют конечные пределы такие, что то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой. Бавают правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты. |
Наклонная асимптота. |
|||
Пример. |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
Получим: точка х = -2,791 минимум, точка х = 0 максимум, в точке х = 1 функция не определена, точка х = 1,791 минимум. |
||||
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
10 11 12 13 14 15 16 17 18 | ||||
|
||
www.mathtask.ru | ||