Функции нескольких переменных
Math Task сайт репетиторов

Функции нескольких переменных

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Функции нескольких переменных  
  line  
 

 
 

1.Основные пониятия.

 

   
     
  11 12 13 14 15 16 17 18 19  
     
  line  

1.Основные понятия.

   Многие явления и процессы в экономике, физике и других областях науки сложно изучить и объяснить с помощью функции от одной переменной. Поэтому в математике введен раздел и понятие функции нескольких переменных.

   Например, площадь боковой поверхности конуса можно выразить в виде функции от двух переменных S = π R l.

   где
   R - радиус основания конуса
   l - длина образующей конуса.

 
 

   Т.е. площадь есть функция от двух переменных S (R,l). Путь, пройденный за определенный промежуток времени с определенной скоростью, также можно выразить в виде функции от двух переменных S = vt т.е. S (v,t).

   где
   v - скорость
   t - время.

 
     

   Исходя из этого можно дать такое определение: однозначное соответствие n независимых переменных величин (x1,x2,x3,...xn) и зависимой переменной y на множестве действительных чисел R называется функцией нескольких переменных y = f (x1,x2,x3,...xn).

   Х - называется областью определения функции, y - область значений функции.

   Если n = 2, то независимых переменных две и областью определения Х есть подмножество точек на координатной плоскости Оxy. Графиком функции от двух переменных называется совокупность точек в трехмерной системе координат с осями ОХ ОY и OZ.

 
 
  Репетиторы на www.mathtask.ru  
 
 

Пример 1

   Построить график функции z (x,y) = (5x)² + y².

   Как видно из графика, в сечении поверхности z (x,y) = (5x)² + y² плоскостями Оzx, Ozy будут параболы. Например, если присвоить переменной x или y какое-либо фиксированное значение, то получим уравнения параболы.
   При x=1 функция z = 25 + y². При y = 1, z = 25x² + 1.

   Если отсечь поверхность плоскостью Оxy, то получим эллипс.

Пример функции нескольких переменных

 

График функции z (x,y) = (5x)² + y²

 
 

Пример 2

Функция нескольких переменных

   Если отсечь данную поверхность плоскостями Оzx, Ozy, то получим гиперболу, две части которой будут иметь общий максимум в точке х = 0 или y = 0. Т.е. если x или y примет какое-либо фиксированное значение, то функция примет вид:

Функция нескольких переменных

График функции двух переменных  
 

   Если отсечь поверхность плоскостью Оxy, то в зависимости от того чему равно z, сечение может принять разный график. Если z ≤ 1, то ветви гиперболы не соединяются на осях, если z > 1 - ветви соединяются на пересечении с осями x или y.

 
  Функция нескольких переменныхФункция нескольких переменных  
 

   Это объясняется тем, что левая часть равенства определена при любом значении х, если z > 1. И может быть не определена при определенном значении х, если z ≤ 1.

Функция нескольких переменных

   Построение графика функции от двух переменных является довольно сложной задачей. Поэтому для построения такого графика функции используют сечения в плоскостях Ozx, Ozy и Oxy.

 
         
  line  
     
  11 12 13 14 15 16 17 18 19  
 
     
 
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
 Всего комментариев: 0      
line
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
line
         
         
 
line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru