Функции нескольких переменных

1.Основные пониятия.

1.Основные понятия.

   Многие явления и процессы в экономике, физике и других областях науки сложно изучить и объяснить с помощью функции от одной переменной. Поэтому в математике введен раздел и понятие функции нескольких переменных.

   Например, площадь боковой поверхности конуса можно выразить в виде функции от двух переменных S = π R l.

   где
   R - радиус основания конуса
   l - длина образующей конуса.

   Т.е. площадь есть функция от двух переменных S (R,l). Путь, пройденный за определенный промежуток времени с определенной скоростью, также можно выразить в виде функции от двух переменных S = vt т.е. S (v,t).

   где
   v - скорость
   t - время.

   Исходя из этого можно дать такое определение: однозначное соответствие n независимых переменных величин (x1,x2,x3,...xn) и зависимой переменной y на множестве действительных чисел R называется функцией нескольких переменных y = f (x1,x2,x3,...xn).

   Х - называется областью определения функции, y - область значений функции.

   Если n = 2, то независимых переменных две и областью определения Х есть подмножество точек на координатной плоскости Оxy. Графиком функции от двух переменных называется совокупность точек в трехмерной системе координат с осями ОХ ОY и OZ.

Пример 1

   Построить график функции z (x,y) = (5x)² + y².

   Как видно из графика, в сечении поверхности z (x,y) = (5x)² + y² плоскостями Оzx, Ozy будут параболы. Например, если присвоить переменной x или y какое-либо фиксированное значение, то получим уравнения параболы.
   При x=1 функция z = 25 + y². При y = 1, z = 25x² + 1.

   Если отсечь поверхность плоскостью Оxy, то получим эллипс.

Пример 2

   Если отсечь данную поверхность плоскостями Оzx, Ozy, то получим гиперболу, две части которой будут иметь общий максимум в точке х = 0 или y = 0. Т.е. если x или y примет какое-либо фиксированное значение, то функция примет вид:

   Если отсечь поверхность плоскостью Оxy, то в зависимости от того чему равно z, сечение может принять разный график. Если z ≤ 1, то ветви гиперболы не соединяются на осях, если z > 1 - ветви соединяются на пересечении с осями x или y.

   Это объясняется тем, что левая часть равенства определена при любом значении х, если z > 1. И может быть не определена при определенном значении х, если z ≤ 1.

   Построение графика функции от двух переменных является довольно сложной задачей. Поэтому для построения такого графика функции используют сечения в плоскостях Ozx, Ozy и Oxy.