Определенный интеграл

1.Понятие определенного интеграла.

   Пусть на интервале [с0;сn] задана функция f(х). Разобьем данный интервал на отрезки равные δ. Величина разбиения интервала равна приращению аргумента δ = Δx. Тогда сn = с0 + nΔx или сn = с0 + nδ где n натуральные числа (1,2,3,4 ... n). В каждой точке разбиения интервала функция примет значение f (с1), f (с2), f (с3), f (с4), f (с5), ... f (сn).

   При стремлении δ к нулю, т.е. если δ будет величиной бесконечно малой (при достаточно больших значениях n), фигуры с вершинами с0, с1, f(c0), f(c1); с1, с2, f(c1), f(c2); ... будут представлять собой трапеции. Площадь этих трапеций приблизительно можно рассчитать с помощью следующих приближенных равенств.

   Тогда площадь фигуры расположенной под функцией на интервале [с0;сn] и ограниченной осью Ох, будет равна сумме площадей n трапеций (рис.1). Следовательно можно записать следующее приближенное равенство.

Рис.1

   Из последнего выражения можно дать следующие определение определенного интеграла: Определенным интегралом называется предел алгебраической суммы произведений значения функции на приращение аргумента на интервале [с0;сn] при стремлении последнего к нулю и при условии, что функция определена на данном интервале.

Определенный интеграл обозначается:

где

а - нижний предел интегрирования,
b - верхний предел интегрирования,
f(x) - подинтегральная функция.

2.Свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2. Интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций.

Пример 1.

Пример 2.