|
1.Криволинейный интеграл 1-го рода. 2.Свойства криволинейного интеграла 1-го рода. 3.Криволинейный интеграл 2-го рода. 4.Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
|
||||
15 16 17 18 19 20 21 22 23 | ||||
![]() |
||||
1.Криволинейный интеграл 1-го рода.Пусть на плоскости Оxy задана функция материальной кривой f (x) рис.1. В каждой точке кривой f (x) АВ определена линейная плотность масс этой кривой. Линейная плотность материальной кривой в каждой точке N ( N∈ab ) равна ординате точки N (x;y), т.е. ρ(N) = y. Линейной плотностью дуги кривой называется предел отношения массы к длине дуги кривой, т.е. |
||||
Если разбить кривую ab на дуги точками x0,x1,x2 ... xn, где длина каждой дуги будет равняться Δli, и взять на каждой дуге точку Ni , то массу дуги можно рассчитать по формуле:
ρ (Ni) - плотность массы дуги, равная ординате точки Ni. |
Рис.1 |
|||
Если взять предел последнего выражения, то можно рассчитать точное значение массы кривой. |
||||
![]() |
||||
Отсюда, если существует конечный предел интегральных сумм, где ρ (N) = f ( x; y ) - функция, определенная на кривой АВ: |
||||
![]() |
||||
то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f ( x; y ). Криволинейный интеграл обозначается: |
||||
![]() |
||||
Для вычисления криволинейного интеграла первого рода используется формула сведения его к определенному интегралу. |
||||
Допустим кривая АВ задана параметрически, т.е. x = ϕ (t), y = ψ (t) α ≤ t ≤ β Тогда криволинейный интеграл рассчитывается по формуле: |
||||
![]() |
||||
Если кривая АВ задана явным уравнением вида y = f (x), то формула для рассчета будет иметь следующий вид: |
||||
![]() |
||||
2.Свойства криволинейного интеграла 1-го рода. |
||||
1. Величина интеграла не зависит от направления на дуге, т.е. 2.В случае, если дуга АВ состоит из двух частей АС и СВ, то |
||||
3.Криволинейный интеграл 2-го рода. |
||||
Пусть задана гладкая кривая АВ, на которой задана функция f (x,y) рис.2. Разделим кривую АВ на отрезки точками а1, а2,... аn. На каждом из отрезков возьмем точку N. Умножим значение функции f (x,y) в точке N на величину разбиения, т.е. Δx или Δy, тогда в результате получим интегральные суммы: |
||||
Если существует конечный предел этих сумм при Δx → 0 , Δy → 0 то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода по кривой АВ. |
Рис.2 |
|||
![]() |
||||
Допустим, что на кривой АВ определены две функции P (x,y) и Q (x,y) и существуют интегралы тогда сумма этих интегралов называется полным криволинейным интегралом 2-го рода. |
||||
Криволинейный интеграл 2-го рода рассчитывается по формуле: Если кривая АВ задана явно, т.е. y = f (x), то формула примет вид: |
||||
4.Свойства криволинейного интеграла 2-го рода. |
||||
1. Если меняется направление обхода кривой АВ, то интеграл меняет знак. 2.Если кривая АВ состоит из частей, то полный интеграл равен сумме интегралов каждой части. |
||||
Примеры. |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
||||
15 16 17 18 19 20 21 22 23 | ||||
|
||
www.mathtask.ru | ||