Криволинейный интеграл

1.Криволинейный интеграл 1-го рода.

   Пусть на плоскости Оxy задана функция материальной кривой f (x) рис.1. В каждой точке кривой f (x) АВ определена линейная плотность масс этой кривой. Линейная плотность материальной кривой в каждой точке N ( N∈ab ) равна ординате точки N (x;y), т.е. ρ(N) = y. Линейной плотностью дуги кривой называется предел отношения массы к длине дуги кривой, т.е.

   Если разбить кривую ab на дуги точками x0,x1,x2 ... xn, где длина каждой дуги будет равняться Δli, и взять на каждой дуге точку Ni , то массу дуги можно рассчитать по формуле:

где

   ρ (Ni) - плотность массы дуги, равная ординате точки Ni.
   Δl - длина дуги [xi,xi+1].

Рис.1

    Если взять предел последнего выражения, то можно рассчитать точное значение массы кривой.

    Отсюда, если существует конечный предел интегральных сумм, где ρ (N) = f ( x; y ) - функция, определенная на кривой АВ:

то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f ( x; y ).

   Криволинейный интеграл обозначается:

    Для вычисления криволинейного интеграла первого рода используется формула сведения его к определенному интегралу.

   Допустим кривая АВ задана параметрически, т.е.

   x = ϕ (t), y = ψ (t) α ≤ t ≤ β
   f (x, y) - функция, определенная и непрерывная на кривой АВ.

   Тогда криволинейный интеграл рассчитывается по формуле:

Если кривая АВ задана явным уравнением вида y = f (x), то формула для рассчета будет иметь следующий вид:

2.Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

   1. Величина интеграла не зависит от направления на дуге, т.е.

   2.В случае, если дуга АВ состоит из двух частей АС и СВ, то

3.Криволинейный интеграл 2-го рода.

   Пусть задана гладкая кривая АВ, на которой задана функция f (x,y) рис.2. Разделим кривую АВ на отрезки точками а1, а2,... аn. На каждом из отрезков возьмем точку N. Умножим значение функции f (x,y) в точке N на величину разбиения, т.е. Δx или Δy, тогда в результате получим интегральные суммы:

   Если существует конечный предел этих сумм при Δx → 0 , Δy → 0

то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода по кривой АВ.

Рис.2

   Допустим, что на кривой АВ определены две функции P (x,y) и Q (x,y) и существуют интегралы

тогда сумма этих интегралов называется полным криволинейным интегралом 2-го рода.

   Криволинейный интеграл 2-го рода рассчитывается по формуле:

   Если кривая АВ задана явно, т.е. y = f (x), то формула примет вид:

4.Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

1. Если меняется направление обхода кривой АВ, то интеграл меняет знак.

2.Если кривая АВ состоит из частей, то полный интеграл равен сумме интегралов каждой части.

Примеры.