Криволинейный интеграл
Math Task сайт репетиторов

Криволинейный интеграл

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Криволинейный интеграл  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Криволинейный интеграл 1-го рода.
2.Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
3.Криволинейный интеграл 2-го рода.
4.Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

 

   
     
  15 16 17 18 19 20 21 22 23  
     
  line  

1.Криволинейный интеграл 1-го рода.

   Пусть на плоскости Оxy задана функция материальной кривой f (x) рис.1. В каждой точке кривой f (x) АВ определена линейная плотность масс этой кривой. Линейная плотность материальной кривой в каждой точке N ( N∈ab ) равна ординате точки N (x;y), т.е. ρ(N) = y. Линейной плотностью дуги кривой называется предел отношения массы к длине дуги кривой, т.е.

 
 

Криволинейный интеграл. Масса дуги

   Если разбить кривую ab на дуги точками x0,x1,x2 ... xn, где длина каждой дуги будет равняться Δli, и взять на каждой дуге точку Ni , то массу дуги можно рассчитать по формуле:

Рассчет массы дуги
где

   ρ (Ni) - плотность массы дуги, равная ординате точки Ni.
   Δl - длина дуги [xi,xi+1].

 

Криволинейный интеграл 1-го рода

Рис.1

 
 

    Если взять предел последнего выражения, то можно рассчитать точное значение массы кривой.

 
  Криволинейный интеграл  
 

    Отсюда, если существует конечный предел интегральных сумм, где ρ (N) = f ( x; y ) - функция, определенная на кривой АВ:

 
  Криволинейный интеграл  
 

то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f ( x; y ).

   Криволинейный интеграл обозначается:

 
  Обозначение криволинейного интеграла  
 

    Для вычисления криволинейного интеграла первого рода используется формула сведения его к определенному интегралу.

 
 

   Допустим кривая АВ задана параметрически, т.е.

   x = ϕ (t), y = ψ (t) α ≤ t ≤ β
   f (x, y) - функция, определенная и непрерывная на кривой АВ.

   Тогда криволинейный интеграл рассчитывается по формуле:

 
  Формула рассчета криволинейного интеграла  
 

Если кривая АВ задана явным уравнением вида y = f (x), то формула для рассчета будет иметь следующий вид:

 
  Формула рассчета криволинейного интеграла  

2.Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

 
 

   1. Величина интеграла не зависит от направления на дуге, т.е.

Свойства криволинейного интеграла

   2.В случае, если дуга АВ состоит из двух частей АС и СВ, то

Свойства криволинейного интеграла

 

3.Криволинейный интеграл 2-го рода.

 
 

   Пусть задана гладкая кривая АВ, на которой задана функция f (x,y) рис.2. Разделим кривую АВ на отрезки точками а1, а2,... аn. На каждом из отрезков возьмем точку N. Умножим значение функции f (x,y) в точке N на величину разбиения, т.е. Δx или Δy, тогда в результате получим интегральные суммы:

 
 

Криволинейный интеграл 2-го рода

   Если существует конечный предел этих сумм при Δx → 0 , Δy → 0

Криволинейный интеграл 2-го рода

то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода по кривой АВ.

 

Криволинейный интеграл 2-го рода

Рис.2

 
  Криволинейный интеграл 2-го рода  
 

   Допустим, что на кривой АВ определены две функции P (x,y) и Q (x,y) и существуют интегралы

Криволинейный интеграл 2-го рода

тогда сумма этих интегралов называется полным криволинейным интегралом 2-го рода.

Полный криволинейный интеграл 2-го рода

 
 

   Криволинейный интеграл 2-го рода рассчитывается по формуле:

Формула рассчета криволинейного интеграла 2-го рода

   Если кривая АВ задана явно, т.е. y = f (x), то формула примет вид:

Формула рассчета криволинейного интеграла 2-го рода

 

4.Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

   
 

1. Если меняется направление обхода кривой АВ, то интеграл меняет знак.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

2.Если кривая АВ состоит из частей, то полный интеграл равен сумме интегралов каждой части.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

 
 

Примеры.

   
  Криволинейный интеграл. Пример 1  
  Криволинейный интеграл. Пример 2  
  Криволинейный интеграл. Пример 2   График. Криволинейный интеграл 2-го рода  
         
         
  line  
     
  15 16 17 18 19 20 21 22 23  
     
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru