Math Task
 

 

Дифференциальные уравнения

       
 
     1.Понятие дифференциального уравнения.
   2.Дифференциальное уравнение 1-го порядка.
   
 
  16 17 18 19 20 21 22 23 24  
 
  line  

1.Понятие дифференциального уравнения.

 
 

   Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое включает в себя функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Производные, которые содержатся в уравнении, могут быть различных порядков. Простейшее дифференциальное уравнение содержит функцию от одной переменной.

 
 

   Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать так:
   P ( x, y, y', y'' ... yn ) = 0

 
 

   Рассмотрим пример. Пусть задано уравнение x - y' = 0

   x = y'

   Откуда

   x dx = dy

   интегрируя правую и левую часть, получим:

   x2/2 + C = y

   где С - произвольная постоянная.

   Отсюда можно сделать вывод, что решением дифференциального уравнения является функция. Другими словами это семейство интегральных кривых, т.к. постоянная С точно не определена. (Рис.1)

 

Геометрический смысл решения дифференциального уравнения

Рис.1

 
 

   Если дифференциальное уравнение содержит функцию или вектор-функцию от одной переменной, то оно называется обыкновенным. Если неизвестная функция содержит две или большее число переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной неизвестной функции.

 
         

2.Дифференциальное уравнение 1-го порядка.

 
 

   Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать в виде:
Дифференциальное уравнение 1-го порядка
   где dy/dx - производная неизвестной функции. В данном случае уравнение разрешено относительно производной.
   Пример простейшего дифференциального уравнения первого порядка:
         y ' = f (x)
   Решением данного уравнения будет:
Дифференциальное уравнение 1-го порядка
   Можно заметить, что решение содержит некую постоянную С, которая может быть определена, если известно значение y (x0) = y0. Тогда:

Дифференциальное уравнение 1-го порядка

 
 

   Если уравнение можно представить в виде:
Дифференциальное уравнение 1-го порядка
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя левую и правую часть, получим решение дифференциального уравнения:
Дифференциальное уравнение 1-го порядка
где С - произвольная постоянная.

 
 
 
         
   

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

 
  Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович
 

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

Форма обучения   2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.

 
     
 
 
 

Пример 1.

   
  Дифференциальное уравнение. Пример  

Дифференциальное уравнение. График

Формула графика функции

 
 

Пример 2.

     
  Ортогональные траектории семейства парабол y = ax³  
  Ортогональные траектории семейства парабол y = ax³. График  
 

Пример 3.

   Яхта движется в спокойной воде со скоростью v = 45км/ч. На полном ходу ее двигатель был выключен. Через t = 60c. скорость яхты уменьшилась до v1 = 6 км/ч. Найти скорость яхты через 3 мин после остановки двигателя. Считать, что сопротивление воды пропорционально скорости движения яхты.

 
  Дифференциальное уравнение. Пример. Скорость лодки   Дифференциальное уравнение. График. Скорость лодки  
         
  line  
     
  16 17 18 19 20 21 22 23 24  
 
 
     
 


 
     
     
  www.mathtask.ru