Элементы теории вероятностей

1.Основные понятия теории вероятностей.

   Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Основными понятиями в теории вероятностей являются испытание, событие и вероятность. Испытание - это эксперимент, проводимый над объектом в комплексе определенных условий. Событие - это случай или факт, который произошел или не произошел в результате испытания. Вероятность - это численная мера степени объективной возможности наступления события.

   Вероятностью события А называется отношение числа случаев наступления этого события к общему числу случаев. Например, попадание мяча в кольцо.

Рис.1

   Для рассчета числа возможных событий используются методы комбинаторики. Число комбинаций из n элементов по m, которые отличаются только составом элементов называются сочетаниями. Например число сочетаний из n элементов по m рассчитывается по следующей формуле:

   Число комбинаций, которые отличаются и составом и расположением называются размещениями. Число размещений из n элементов по m рассчитывается так:

   Число комбинаций из n элементов, которые отличаются только перестановкой равно:

   Комбинации из n элементов по m, в которых элементы могут быть одинаковыми, называются размещениями с повторениями. Число таких размещений рассчитывается по следующей формуле:

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m рассчитывается:

   Допустим, что комбинации состоят из n элементов. 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент n2 раз и k-й элемент nk раз, при этом n1 + n2 + ... nk = n. Такие комбинации называются перестановки с повторениями. Число таких перестановок рассчитывается так:

Пример 1.

   В соревнованиях по футболу учавствут 10 команд. Сколько матчей должно быть сыграно, если между любыми двумя командами должен быть сыгран 1 матч.

    В каждом матче участвуют две команды из 10. Число комбинаций представляет собой количество сочетаний. Следовательно:

Пример 2.

   Владелец билета лотереи "Спортлото 5 из 36" получит приз в том случае, если будет угадано не менее 3 цифр. Какова вероятность того, что владелец билета получит приз? b) Найти вероятность того, что владелец билета получит приз при условии,что будет угадано не менее 4 цифры?

2.Формула Байеса.

   На ряду с простыми событиями или явлениями, которые могут произойти или не произойти, существуют такие события, которые могут произойти только при условии, что произошло другое или другие события. События, при условии которых может произойти данное событие, называются гипотезами.

   Пусть событие B может произойти при условии, что произошло одно из событий (гипотез) А1, А2 ... Аn. Тогда вероятность события B равна сумме произведений вероятности гипотезы Аi на вероятность события B, при условии, что событие Аi произошло.

Пример 3.

   В автомастерскую поступили запчасти от 3-х поставщиков А,B,C в количестве 55, 60 и 65 шт. соответственно. Вероятность того, что запчасть исправна, поступившая от поставщика А - 99%, B - 88%, C - 92%. 1) Найти вероятность того, что запчасть, поступившая в автомастерскую исправна. 2) Найти вероятность того, что запчасть неисправна. От какого поставщика вероятней всего поступила эта запчасть?

Пусть