Случайные величины
Math Task сайт репетиторов

Случайные величины

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Случайные величины  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Случайная величина.
2.Функция распределения.

 

 
     
  21 22 23 24 25 26 27 28 29  
     
  line  

1.Случайная величина.

   Возможный исход любого события можно выразить через функцию от начальных исходных данных или условий. Случайная величина представляет собой переменную, которая может принять одно из возможных значений. Например количество проданных автомобилей за год или скорость ветра в определенный момент времени. В первом случае случайная величина называется дискретной, во втором - непрерывной. Отсюда можно сформулировать такое определение: случайной величиной Х называется функция, значением которой является определенный исход события на множестве возможных исходов данного события.

    Х = f (ϕ)

 
 

   Для описания случайной величины, используют закон распределения. Законом распределения называется определенное соотношение случайной величины и соответствующей ей вероятности. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

 
 

   Например, вероятность угадывания 5-ти цифр из 36

где

Х - число угаданных цифр
Р - соответствующая ей вероятность

Таблица числа угаданных чисел

   На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей в виде точек, образующих ломаную кривую. Данный закон распределения задан графически и в виде таблицы.

  Полигон распределения вероятности
Рис.1
 
 

   Так как перечисленны все возможные исходы события, то сумма вероятностей всех исходов равна 1.

Сумма вероятностей

   Иными словами, закон распределения показывает как распределена случайная величина, т.е. какой вероятностью обладает каждое из значений случайной величины или событий.

 

2.Функция распределения.

   
 

   Не для всех событий можно представить закон распределения в виде ограниченного числа исходов, т.е. значений случайных величин. Существуют события, которые представляют собой непрерывную случайную величину. Например, расход топлива за определенный промежуток времени, расход воды, электроэнергии, скорость ветра, потока и т.д. Закон распределения вероятностей для таких событий представляет собой функцию распределения непрерывной случайной величины. Описать все возможные значения случайной величины для таких событий невозможно, т.к. их количество бесконечно. Для того, чтобы дать количественную характеристику этого распределения, используют функцию распределения случайной величины F (x).

Функция распределения случайной величины

где Х принимает значения меньшие х. 

 
 

   Функция распределения существует как для прерывных случайных величин, так и непрерывных (Рис. 2 и 3). Из графика видно, что функция прерывной случайной величины - это ступенчатая функция, которая принимает ограниченное число отдельно взятых значений. Непрерывная случайная величина непрерывна в любой точке. Исключением могут быть отдельные точки.

   Функция распределения является неубывающей функцией. На минус бесконечности она равна нулю, на плюс бесконечности - единице.

   Вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

   На ряду с аналитическим, графическим и табличным способами задания случайной величины, существует еще способ задания с помощью плотности вероятности случайной величины, которая существует только для непрерывных случайных величин.

   Плотностью вероятности случайной величины называется производная ее функции распределения.

     Прерывная случайная величина
Рис.2 Прерывная случайная величина.
Непрерывная случайная величина
Рис.3 Непрерывная случайная величина.
 
 

Плотностью вероятности случайной величины

 
 

   Плотность вероятности непрерывной случайной величины обладает следующими свойствами.

   Плотность вероятности является неотрицательной функцией.

Плотностью вероятности случайной величины

   Функцию распределения непрерывной случайной величины можно выразить через плотность вероятности по формуле:

Функцию распределения непрерывной случайной величины

   Интеграл, взятый от плотности вероятности в бесконечных пределах, равен единице.

  График вероятности непрерывной функции
Рис.4
 
 

Интеграл от плотности вероятности


   Интеграл, взятый от плотности вероятности на определенном промежутке, равен вероятности попадания случайной величины в этот промежуток.

Интеграл от плотности вероятности на определенном промежутке

   Геометрический смысл плотности вероятности заключается в том, что площадь под кривой плотности вероятности равна вероятности распределения случайной величины. (Рис.4 и 5)

  Вероятность попадания случайной величины в заданный промежуток
Рис.5
 
 

Пример 1.

     
 

   В 1-й урне содержится 5 белых и 8 черных шаров. Во 2-й урне 6 белых и 3 черных шара. Из первой урны вытащили наудачу 2 шара и переложили во 2-ю урну. Затем из 2-й урны вытащили наудачу также 2 шара и переложили в 1-ю урну. Составить закон распределения числа белых и черных шаров в 1-й урне.

 
  Задача по теории вероятностей  
  Задача по теории вероятностей  
 

Пример 2.

   
  Задача 2 по теории вероятностей   График функции распределения случайной величины
График функции распределения случайной величины.
 
  Задача 2 по теории вероятностей  

График плотности вероятности

График плотности вероятности.

 
         
  line  
     
  21 22 23 24 25 26 27 28 29  
     
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru