|
1.Биномиальный закон распределения. 2.Геометрическое распределение. 3.Гипергеометрическое распределение. 4.Закон распределения Пуассона. 5.Равномерный закон распределения. 6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса). 7.Показательный закон распределения. 8.Логарифмически-нормальное распределение. 9. χ ² распределение. 10.Распределение Стьюдента (t - распределение). 11.Распределение Фишера-Снедекора.
|
||||
22 23 24 25 26 27 28 29 30 | ||||
![]() |
||||
1.Биномиальный закон распределения.Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.
|
||||
Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей. |
||||
![]() |
![]() Рис.1 |
|||
В таблице m - число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. Сnm - число сочетаний m телевизоров по n, p - вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q - вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n - вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.
|
||||
2.Геометрическое распределение. |
||||
Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид: где Pm - вероятность наступления события А в испытание под номером m. Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей. |
||||
![]() |
![]() Рис.2 |
|||
Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 - что десятый блок оказался неисправным - 0,038742049 , 2 - что все проверяемые блоки оказались исправными - 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события Pm (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.
|
||||
3.Гипергеометрическое распределение. |
||||
Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид: где
Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M - всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m - число правильно угаданных чисел среди изъятых. |
||||
![]() |
![]() Рис.3 |
|||
Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.
|
||||
4.Закон распределения Пуассона. |
||||
Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид: где λ = np = const
Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B - 0,06 и C - 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей. Из условия имеем: m=100, λ1=8, λ2=6, λ3=4 ( ≤10 ) |
||||
(таблица дана не полностью) |
![]() Рис.4 |
|||
Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4) |
||||
Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.
|
||||
5.Равномерный закон распределения. |
||||
Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения. |
||||
|
![]() Рис.5 |
|||
6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса). |
||||
Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид: где |
||||
График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный: При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины. |
![]() Рис.6 |
|||
Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-∞,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле: |
![]() Рис.7 |
|||
Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть - от а до х. (Рис.7)
|
||||
7.Показательный закон распределения. |
||||
Закон распределения случайной величины Х называется показательным (или экспоненциальным), если плотность вероятности имеет вид: где λ - параметр обратно-пропорциональный математическому ожиданию. График плотности вероятности с параметрами |
![]() Рис.8 |
|||
Функция распределения случайной величины Х, которая имеет показательное распределение, имеет вид: График функции изображен на рис.9 Если функцию распределения случайной величины выразить через плотность вероятности при х ≥ а, то она примет вид:
|
![]() Рис.9 |
|||
8.Логарифмически-нормальное распределение. |
||||
Если логарифм непрерывной случайной величины изменяется по нормальному закону, то случайная величина имеет логарифмически-нормальное распределение. Функция логаривмически-нормального распределения имеет вид. |
||||
![]() |
![]() Рис.10 |
|||
Из графика видно, что чем меньше σ и больше математическое ожидание а, тем кривая становится более пологая и больше стремится к симметрии. Данный закон, чаще всего, используется для описания распределения поступления денежных средств (доходов), банковских вкладов, износа основных средств и т.д. (Рис.10)
|
||||
9. χ ² распределение |
||||
Сумма квадратов k независимых случайных величин, которые распределены по нормальному закону, называется χ ² распределением. χ ² распределение имеет вид: где Аi - i-ая случайная величина, распределенная по нормальному закону (i = 1,2,3,...k).
|
||||
Плотность вероятности случайной величины, распределенной по распределению χ ² имеет вид:
|
![]() Рис.11 |
|||
Из графика видно, что чем больше n=k, тем кривая стремиться к нормальному распределению. Рис.11.
|
||||
10.Распределение Стьюдента (t - распределение) |
||||
Распределение непрерывной случайной величины называется распределением Стьюдента, если оно имеет вид: где Z - случайная величина, распределенная по нормальному закону.
|
||||
Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид: |
![]() Рис.12 |
|||
На рис.12 изображена плотность вероятности распределения Стьюдента. Из графика можно увидеть, что чем больше k, тем больше кривая приближается к нормальному распределению.
|
||||
11. Распределение Фишера-Снедекора. |
||||
Распределение случайной величины Фишера-Снедекора имеет вид: |
||||
Плотность вероятности случайной величины имеет вид: |
![]() Рис.13 |
|||
При стремлении n к бесконечности распределение Фишера-Снедекора стремится к нормальному закону распределения.(Рис.13)
|
||||
![]() |
||||
22 23 24 25 26 27 28 29 30 | ||||
|
||
www.mathtask.ru | ||