Двумерные случайные величины
Math Task сайт репетиторов

Двумерные случайные величины

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Двумерные случайные величины  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Двумерная случайная величина.
2.Плотность вероятности двумерной случайной величины.

 

   
     
  23 24 25 26 27 28 29 30 31  
     
  line  

1.Двумерная случайная величина.

 
 

   Функция распределения одной случайной величины не может описать все многообразие природных и, в том числе, экономических процессов и явлений. Для описания этих процессов используются двумерные и многомерные случайные величины. В данной главе остановимся на двумерных случайных величинах.

 
 

   Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений.

Функции распределения непрерывной двумерной случайной величины

   где

   X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными.

 
 

   Двумерную случайную величину можно интерпретировать как случайно взятую точку на плоскости Оxy, где x и y координаты этой точки.(Рис.1) Т.е. функция распределения F (x,y) есть вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке А(x,y), лежащей левее и ниже этой точки.

   Для дискретной случайной величины функция распределения имеет следующий вид:

Функция распределения дискретной двумерной случайной величины

   где вероятность суммируется для всех xi < x и yi < y.

  Геометрическая интерпритация двумерной случайной величины
Рис.1
 
 

   Свойства функции распределения двумерной случайной величины.

 

1.Функция 0 ≤ F(x,y) ≤ 1, т.е. величина неотрицательная меньше 1.

2.Функция F(x,y) есть возрастающая функция по каждому из аргументов.

Функция распределения двумерной случайной величины

3.Функция распределения F(x,y) = 0, если хотя бы один из аргументов x или y стремится к минус бесконечности.

Функция распределения F(x,y) = 0

4.Функция F(x,y) равна функции от одного аргумента F(x) (F(y)), если y (x) стремится к бесконечности.

Функция F(x,y) от одного аргумента F(x) (F(y))

5. Функция F(x,y) равна 1, если оба аргумента стремятся к плюс бесконечности.

Функция F(x,y) равна 1

 
 

   Геометрический смысл функции распределения есть поверхность на координатной плоскости Оxy.(Рис.2) Значение функции равно вероятности попадания случайной величины в область, рассчитанную по формуле:
Формула расчета двумерной случайной величины
   Формула рассчета вероятности, состоящая из 4-х слагаемых, объясняется тем, что вероятность равна вероятности попадания случайной величины в бесконечный квадрант, исходящий из точки В, минус квадрант в точках А и С и плюс бесконечный квадрант в точке D, т.к. квадрант в точке D был вычтен дважды.

 

  Геометрическая интерпритация вероятности попадания двумерной случайной величины в некоторую область
Рис.2
 

2.Плотность вероятности двумерной случайной величины.

 
 

   Как известно, случайная величина имеет плотность вероятности, если она непрерывна. Говоря о случайных величинах, двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывной функцией. И существует вторая смешанная производная F ''xy (x,y), которая и является плотностью вероятности двумерной случайной величины.

   Т.е. плотность вероятности это вторая смешанная производная от функции распределения двумерной случайной величины:

Плотность вероятности двумерной случайной величины

   В общем виде плотность вероятности двумерной случайной величины выражается следующей формулой:

 

Формула расчета плотности вероятности двумерной случайной величины при зависимости двух аргументов

 
 

где

   r - коэффициент корреляции случайных величин X и Y
   σx - среднее квадратическое отклонение случайной величины X
   σy - среднее квадратическое отклонение случайной величины Y
   mx- математическое ожидание случайной величины X
   my - математическое ожидание случайной величины Y

   Если случайные величины подчинены нормальному закону распределения и не коррелированы (r = 0 ), то формула плотности вероятности примет вид:

Формула расчета плотности вероятности двумерной случайной величины при независимости двух аргументов

   Геометрический смысл вероятности двумерной случайной величины - это поверхность похожая на купол. На рис.3 изображен график плотности вероятности с параметрами r, σx, σy, mx, my, которые имеют следующие значения:

   r = 0
   σx = 2
   σy = 2
   mx = -1
   my = 1

 

 

  График плотности вероятности двумерной случайной величины
Рис.3
 
 

   Рассматривая выражения для плотности вероятности двумерной случайной величины, можно заметить, что данный закон распределения задается пятью параметрами: двух координат центра распределения случайных величин x и y по осям X и Y, средних квадратических отклонений σx и σy, и коэффициентом корреляции случайных величин x и y.

 
 

Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область D равна:

Формула расчета вероятности попадания непрерывной случайной величины в область

Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины имеет вид:

Формула функции распределения двумерной случайной величины

 

 
 

Пример 1

     
 

   Двумерная случайная величина распределена равномерно в геометрической фигуре ограниченной осью Ox и параболой y = x² - 1 (рис.4). Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,Y). Найти также плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y и вероятность того, что расстояние от точки (X,Y) до оси X будет не больше 3/4.

 
 

Пример решения задачи:  двумерная непрерывная случайная величина

 

 

Вероятность попадания двумерной случайной величины в область Рис.4
 
 

Пример решения задачи:  двумерная непрерывная случайная величина

 

 
 

Пример решения задачи:  двумерная непрерывная случайная величина

 

 
 

Пример решения задачи:  двумерная непрерывная случайная величина

 

 
  Пример решения задачи:  двумерная непрерывная случайная величина   Геометрический смысл вероятности  распределения двумерной случайной величины
Рис.5
 
  Пример решения задачи:  двумерная непрерывная случайная величина  
  Пример решения задачи:  двумерная непрерывная случайная величина   Расчет площади фигуры под кривой
Рис.6
 
         
  line  
     
  23 24 25 26 27 28 29 30 31  
     
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru