Центральная предельная теорема теории вероятностей.Закон больших чисел.
Math Task сайт репетиторов

Центральная предельная теорема теории вероятностей
Закон больших чисел

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Центральная предельная теорема теории вероятностей. Закон больших чисел.  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Закон больших чисел - Теорема Чебышева.
2.Неравенство Маркова.
3.Неравенство Чебышева.
4.Центральная предельная теорема (Теорема Ляпунова).

 

   
     
  24 25 26 27 28 29 30 31 32  
     
  line  

1.Закон больших чисел- Теорема Чебышева.

 
 

   Многие явления и процессы протекают непрерывно или периодически при большом числе испытаний. В этом случае среднее значение случайной величины колебается в определенных пределах или даже стремится к вполне определенному значению. Иными словами, случайная величина перестает быть случайной и может быть предсказана с высокой степенью вероятности (рис.1). Отклонение случайной величины от средней арифметической в каждом конкретном случае есть безусловно. А при беконечно большом числе испытаний эти отклонения взаимно погашают друг друга и средний их результат стремится к какому-то постоянному значению, т.е к математическому ожиданию. В этом и заключается смысл закона больших чисел.

 
 

    Другими словами, если взять предел вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания при стремлении к бесконечности числа испытаний n, то он будет равен единице.

Предел вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания

   Рассмотрим пример: пусть вероятность поступления заказа в магазин А равна 0,2 или каждый 5-й звонящий делает заказ. Составим закон распределения поступления 5-ти заказов.

n = 5
m - число поступивших заказов
p = 0.2
q = 1 - p

  Значение случайной величины при стремлении к бесконечности числа испытаний n
Рис.1
 
 

Таблица числа поступивших заказов

   Из графика (рис.2) можно увидеть, что вероятность поступления 3-х заказов составляет чуть больше 0,05, а 4-х и 5-ти - очень низкая. Т.е. в каждой серии из 5-ти звонков число заказов может выпадать например 2 0 1 0 1 2 0 1 0 3 ...... и т.д. Числа 3, 4, 5 будут выпадать очень редко. Число 5 - практически невозможное событие. Вообщем, если число серий по 5 звонков будет стремится к бесконечности, то средняя арифметическая случайной величины X1 - будет стремится к математическому ожиданию М(Х) = 1. Что и описывает закон больших чисел.

 

 

 

 

График числа поступивших заказов Рис.2
 
 

   Отсюда можно сформулировать теорему Чебышева, которая гласит, что если дисперсии n независимых случайных величин не превышают какую-то величину С, т.е. ограниченны, то при стремлении числа n к бесконечности средняя арифметическая этих случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий. Т.е.

Предел вероятности отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий

   Это означает, что отклонение средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит сколь угодно малое число ɛ или ( |Хср - аср| < ɛ). В этом заключается смысл данной теоремы.

 

 

2.Неравенство Маркова.

 
     Допустим есть случайная величина Х, которая принимает только положительные значения и имеет математическое ожидание, например число заказов на покупку офисной техники в месяц. Тогда для любого положительного числа А верно неравенство:  
 

Неравенство Маркова

   
 

   Второе неравенство справедливо выполняется, т.к. события P (x > A) и P (x ≤ A) противоположные.

   Например, среднее число заказов на покупку офисной техники за месяц равно 500. Оценить вероятность того, что в следующем месяце число заказов составит более 600.

 
 

Вероятность того, что в следующем месяце число заказов составит более 600

   
 

   Т.е. вероятность того, что число заказов превысит 600 составляет не более 0,833. Соответственно вероятность того что, число заказов составит не более 600 будет:

 
  Вероятность того, что в следующем месяце число заказов составит не более 600    

3.Неравенство Чебышева.

   
 

   С помощью неравенства Чебышева можно рассчитать вероятность отклонения случайной величины от любого числа ɛ. Но здесь уже используется дисперсия случайной величины.

   Неравенство Чебышева имеет вид:

Неравенство Чебышева

где

   а = M(X)
   ɛ > 0

   Данная формула позволяет рассчитать вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания превысит любое число ɛ. Вероятность противоположного события, т.е. P (|X - a| ≤ ɛ), так же как и в неравенстве Маркова рассчитывается по следующей формуле:

Вероятность противоположного события

 
 

    Неравенство Чебышева можно применять для любых случайных величин. В первом случае оно устанавливает верхнюю границу вероятности, а во втором - нижнюю.

 

 

4.Центральная предельная теорема (Теорема Ляпунова).

 
 

   Закон больших чисел устанавливает условия, при которых среднее значение случайной величины стремится к некоторой постоянной, при стремлении числа испытаний к бесконечности. Существует группа теорем, которая описывает условия стремления закона распределения случайной величины к нормальному. Одна из таких теорем - теорема Ляпунова. Данная теорема устанавливает некоторые условия, при которых закон распределения суммы Yn = X1 + X2 + ... + Xn случайных величин при стремлении n к бесконечности стремится к нормальному закону распределению. Рассмотрим эти условия: если есть независимые случайные величины X1, X2, X3 ... и каждая из этих величин имеет математическое ожидание М(Хi) и дисперсию D(Xi), абсолютный центральный момент третьего порядка bi и предел отношения

Теорема Ляпунова

стремится к нулю, то закон распределения суммы этих величин при стремлении n к бесконечности приближается к нормальному закону распределения

Теорема Ляпунова

 
 

   Необходимо отметить то, что скорость стремления закона распределения случайной величины в каждом явлении может быть разная. В одних случаях n может равняться десяткам, а вдругих сотням, тысячам и т.д.

   Закон больших чисел играет важное значение в теоретическом плане, т.к. он служит обоснованием методов математической статистики. На практике закон больших чисел можно продемонстрировать на примере погоды. Например, атмосферное давление каждый день есть величина случайная. Однако ее среднегодовое значение в течении многих лет практически не изменяется.

 

 

 
         
  line  
     
  24 25 26 27 28 29 30 31 32  
     
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru