Теория массового обслуживания
Math Task сайт репетиторов

Теория массового обслуживания

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Теория массового обслуживания  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Система массового обслуживания

 

   
     
  24 25 26 27 28 29 30 31 32  
     
  line  

1.Система массового обслуживания.

 
 

   Многие процессы, явления или события могут повторяться множество раз и имеют при этом случайный характер. Иными словами, нельзя заранее знать, когда произойдет следующее событие. В качестве примера таких событий могу служить компании, которые работают в сфере обслуживания. Это могут быть компании по обслуживанию бытовой техники, центры технического обслуживания автомобилей, автомастерские, интернет магазины, телефонные станции, центры правового обслуживания, консультационного обслуживания, кассы по продаже билетов и т.д.

 
 

   Система массового обслуживания представляет собой совокупность случайных событий, которые в целом образуют случайный процесс. Под случайным процессом X(t) понимается функция, которая является случайной величиной при любом значении аргумента t.


   Любая СМО включает в себя определенное число обслуживающих точек или каналов обслуживания. Это может быть один канал или несколько каналов обслуживания. Т.е. системы массового обслуживания подразделяются на одноканальные и многоканальные. (рис.1) Заявки на обслуживание в СМО поступают обычно случайным потоком. Работа может складываться так, что поток заявок в определенное время может быть большой, а в другое время наоборот отсутствие заявок. Поэтому предметом теории массового обслуживания и является построение математической модели, позволяющей рассчитать параметры СМО, для ее эффективной работы. Системы массового обслуживания классифицируются на два основных типа. Первый тип СМО, при котором поток заявок поступает с ожиданием, когда все заявки обслуживаются. И второй тип, когда происходит отказ от заявки в случае, если все каналы обслуживания заняты, т.е. с отказами.

   СМО обладают следующими характеристиками или параметрами: число каналов, поток заявок, интенсивность обработки потока заявок. Эти параметры показывают на сколько система может справляться с потоком заявок.

 

Виды систем массового обслуживания

Рис.1
 
 

   Поток заявок представляет собой последовательность однотипных событий, происходящих один за другим. Любой поток имеет определенную интенсивность λ, т.е. частоту появления событий. Интенсивность потока может быть постоянной или непостоянной. Например число пассажиров входящих в метро в течении дня меняется, а в более короткий промежуток времени число пассажиров можно считать постоянным.

   Рассмотрим простейший одноканальный поток. Простейший поток - поток, который удовлетворяет следующим условиям:

- интенсивность которого постоянна,
- вероятность попадания на малый промежуток времени более одного события очень мала,
- события, попадающие на один из участков времени, не влияют на события, попадающие на другие участки времени.

   Тогда число событий за промежуток времени τ равно произведению интенсивности λ на τ. Если промежуток времени τ разделить на n небольших отрезков Δt и поток считать ординарным, т.е. вероятность того, что за данный промежуток времени произойдет не более одного события, то вероятность того, что в этот отрезок времени произойдет событие будет равна:

Поток заявок
 
 

соответсвенно вероятность того, что событие не произойдет:

Вероятность того, что событие не произойдет

   Число событий на заданном временном промежутке, как случайная величина, имеет биномиальное распределение.

 
 

   При стремлении n к бесконечности вероятность стремится к нулю и при постоянном значении произведения np, биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона:

Закон распределения Пуассона

где

   m - число событиев, происходящих за время τ

 
 

   Отсюда, если m = 0, т.е. вероятность того, что не произойдет ни одного события за время равное τ, то вероятность равна:

Вероятность того, что не произойдет ни одного события

   Соответственно вероятность того, что событие произойдет равна:

Вероятность того, что событие произойдет

   Эта формула и будет являться функцией распределения случайной величины Т. (Рис.2)

  Функция распределения Пуассона с параметром λτ
Рис.2 График функции F (t) = 1 - e-λt
 
 

   Плотность вероятности данной функции распределения имеет показательное или экспоненциальное распределение (рис.3). Это означает, что интервал времени между двумя соседними событиями в потоке имеет показательное распределение вероятности. И при этом математическое ожидание обратно пропорционально интенсивности потока и равно среднему квадратическому отклонению случайной величины.

Математическое ожидание обратно пропорционально интенсивности потока

   Важное свойство, которым обладает данное распределение заключается в том, что, если какая-то часть времени заданного промежутка прошла, то это не влияет на оставшуюся часть этого промежутка. Т.е. данный закон распределения будет действовать на оставшуюся часть промежутка.

  Плотность вероятности распределения Пуассона с параметром λτ
Рис.3 График плотности вероятности ϕ(t) = λe-λt
 
 

Пример.

     
 

   В консультационно-правовой центр поступают звонки с интенсивностью 1,4 звонка в минуту. Составить закон распределения поступления не более m звонков от 0 до 15 звонков на интервале в 5 минут и построить график. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит 8 звонков.

 
 

Составим закон распределения поступления m звонков по формуле Пуассона с параметром λτ = 7

Таблица распределения вероятностей по закону Пуассона P(m)
Построим график (рис.4)
  Функция распределения вероятностей по закону Пуассона P(M≤m)
Рис.4 Функция распределения вероятности поступления звонков. P(M<m)
 
 

   Рассчитаем вероятность того, что поступит 8 звонков по формуле Пуассона.

Вероятность того, что поступит 8 звонков

   Это значение можно так же увидеть из таблицы. Из таблицы можно увидеть и то, что вероятность поступления 6 и 7 звонков имеет максимальное значение равное 0,14900278.

 
         
  line  
     
  24 25 26 27 28 29 30 31 32  
     
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru