Теория массового обслуживания

1.Система массового обслуживания.

   Многие процессы, явления или события могут повторяться множество раз и имеют при этом случайный характер. Иными словами, нельзя заранее знать, когда произойдет следующее событие. В качестве примера таких событий могу служить компании, которые работают в сфере обслуживания. Это могут быть компании по обслуживанию бытовой техники, центры технического обслуживания автомобилей, автомастерские, интернет магазины, телефонные станции, центры правового обслуживания, консультационного обслуживания, кассы по продаже билетов и т.д.

   Система массового обслуживания представляет собой совокупность случайных событий, которые в целом образуют случайный процесс. Под случайным процессом X(t) понимается функция, которая является случайной величиной при любом значении аргумента t.

   Любая СМО включает в себя определенное число обслуживающих точек или каналов обслуживания. Это может быть один канал или несколько каналов обслуживания. Т.е. системы массового обслуживания подразделяются на одноканальные и многоканальные. (рис.1) Заявки на обслуживание в СМО поступают обычно случайным потоком. Работа может складываться так, что поток заявок в определенное время может быть большой, а в другое время наоборот отсутствие заявок. Поэтому предметом теории массового обслуживания и является построение математической модели, позволяющей рассчитать параметры СМО, для ее эффективной работы. Системы массового обслуживания классифицируются на два основных типа. Первый тип СМО, при котором поток заявок поступает с ожиданием, когда все заявки обслуживаются. И второй тип, когда происходит отказ от заявки в случае, если все каналы обслуживания заняты, т.е. с отказами.

   СМО обладают следующими характеристиками или параметрами: число каналов, поток заявок, интенсивность обработки потока заявок. Эти параметры показывают на сколько система может справляться с потоком заявок.

   Поток заявок представляет собой последовательность однотипных событий, происходящих один за другим. Любой поток имеет определенную интенсивность λ, т.е. частоту появления событий. Интенсивность потока может быть постоянной или непостоянной. Например число пассажиров входящих в метро в течении дня меняется, а в более короткий промежуток времени число пассажиров можно считать постоянным.

   Рассмотрим простейший одноканальный поток. Простейший поток - поток, который удовлетворяет следующим условиям:

- интенсивность которого постоянна,
- вероятность попадания на малый промежуток времени более одного события очень мала,
- события, попадающие на один из участков времени, не влияют на события, попадающие на другие участки времени.

   Тогда число событий за промежуток времени τ равно произведению интенсивности λ на τ. Если промежуток времени τ разделить на n небольших отрезков Δt и поток считать ординарным, т.е. вероятность того, что за данный промежуток времени произойдет не более одного события, то вероятность того, что в этот отрезок времени произойдет событие будет равна:

соответсвенно вероятность того, что событие не произойдет:

   Число событий на заданном временном промежутке, как случайная величина, имеет биномиальное распределение.

   При стремлении n к бесконечности вероятность стремится к нулю и при постоянном значении произведения np, биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона:

где

   m - число событиев, происходящих за время τ

   Отсюда, если m = 0, т.е. вероятность того, что не произойдет ни одного события за время равное τ, то вероятность равна:

   Соответственно вероятность того, что событие произойдет равна:

   Эта формула и будет являться функцией распределения случайной величины Т. (Рис.2)

   Плотность вероятности данной функции распределения имеет показательное или экспоненциальное распределение (рис.3). Это означает, что интервал времени между двумя соседними событиями в потоке имеет показательное распределение вероятности. И при этом математическое ожидание обратно пропорционально интенсивности потока и равно среднему квадратическому отклонению случайной величины.

   Важное свойство, которым обладает данное распределение заключается в том, что, если какая-то часть времени заданного промежутка прошла, то это не влияет на оставшуюся часть этого промежутка. Т.е. данный закон распределения будет действовать на оставшуюся часть промежутка.

Пример.

   В консультационно-правовой центр поступают звонки с интенсивностью 1,4 звонка в минуту. Составить закон распределения поступления не более m звонков от 0 до 15 звонков на интервале в 5 минут и построить график. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит 8 звонков.

Составим закон распределения поступления m звонков по формуле Пуассона с параметром λτ = 7

   Рассчитаем вероятность того, что поступит 8 звонков по формуле Пуассона.

   Это значение можно так же увидеть из таблицы. Из таблицы можно увидеть и то, что вероятность поступления 6 и 7 звонков имеет максимальное значение равное 0,14900278.