Теория выборочного метода
Math Task сайт репетиторов

Теория выборочного метода

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Теория выборочного метода  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Выборочный метод.
2.Оценка параметров выборочной совокупности.
3.Доверительная вероятность. Предельная ошибка выборки.

 

     
  24 25 26 27 28 29 30 31 32  
     
  line  

1.Выборочный метод.

 
 

   При исследовании различных явлений для оценки большого числа наблюдений во многих случаях при сборе необходимых сведений широко используется выборочный метод. Суть данного метода заключается в том, что для оценки всей совокупности наблюдений необходимые сведения собираются из определенного числа наблюдений из этой совокупности. Т.е. в состав обследуемых наблюдений входит не вся совокупность наблюдений, а лишь их определенное количество. Вся совокупность наблюдений называется генеральной совокупностью. А все отобранные для обследования наблюдения - выборочной совокупностью. Метод, в котором используются все объекты исследуемового явления, называется сплошным. Если же обследуется определенное число объектов из всей совокупности, то такой метод называется выборочным (рис.1).

 
 

   Преимущества выборочного метода по сравнению со сплошным методом вполне очевидны. Во - первых такой метод позволяет существенно сократить затраты всех видов ресурсов. Во - вторых отобранные для исследования объекты могут быть очень глубоко изучены, т.е. по многим параметрам. В - третьих во многих случаях другой возможности исследовать совокупность объектов просто не существует.

   Одним из недостатков, который возникает при использовании выборочного метода, является ошибка репрезентативности. Данная ошибка возникает по причине того, что исследуется не вся совокупность, а выборочная.

  Генеральная и выборочная  совокупность
Рис.1
 
 

   Критерий, который должен соблюдаться при отборе объектов для изучения, является случайность. Иными словами, все объекты, отобранные для обследования, должны случайным образом попасть в выборочную совокупность. В противном случае результаты могут оказаться ложными.

 
 

   Для отбора объектов, которые должны будут подвергнуты изучению, обычно используют один из двух способов образования выборки. Первый способ предусматривает возвращение объекта обследования в общую совокупность после его изучения. Второй способ предусматривает, что отобранный объект не будет возвращен в общую совокупность после его изучения.

 
 

   Числовые характеристики выборочной совокупности называются соответственно выборочными. Основные характеристики:

Формула выборочной средней арифметической

Формула рассчета выборочной дисперсии

Выборочная доля

   Основной задачей выборочного метода наблюдений заключается в том, что бы оценить характеристики генеральной совокупности объектов исследования по данным выборочной совокупности.

 

 

2.Оценка параметров выборочной совокупности.

 
 

   Пусть задана генеральная совокупность объектов исследования. Число объектов генеральной совокупности равно N. Число N имеет большое значение и исследовать всю совокупность не представляется возможным. По этой причине исследуют выборочную совокупность. И параметр Параметр, который расчитывается по этой совокупности, представляет собой оценку параметра θ генеральной совокупности. Отсюда можно дать следующее определение: оценкой Параметр параметра генеральной совокупности называется величина или функция, расчтитанная по значениям случайной величины Х выборочной совокупности. Т.е.

Параметр генеральной совокупности

   Например, пусть параметр θ является математическим ожиданием случайной величины Х. Тогда оценкой Параметр этого параметра будет являться выборочная средняя арифметическая.

 

 
 

   Свойства оценок. Основными свойствами оценок является несмещенность, состоятельность и эффективность.

   Несмещенность оценки означает ее отклонение от этого же параметра генеральной совокупности, т.е. математическое ожидание этой оценки равно оцениваемому параметру.

Математическое ожидание оценки

   Если это равенство не выполняется, то полученная оценка является завышенной или заниженной.

 
 

   Состоятельность означает приближение оценки к оцениваемому параметру при стремлении n к бесконечности. Или сходимость по вероятности к параметру генеральной совокупности.

Состоятельность оценки генеральной совокупности

   Отсюда можно сделать вывод, что чем больше выборка n, тем точнее оцениваемый параметр.

   Эффективной оценкой параметра θ называется такая несмещенная оценка Параметр, которая имеет наименьшую дисперсию Дисперсияиз всех возможных несмещенных оценок параметра θ, и вычисленную по выборке одного и того же объема n. Эффективность оценки рассчитывается из соотношения:

Эффективность оценки генеральной совокупности

 

3.Доверительная вероятность. Предельная ошибка выборки.

 
 

   Оценка выборочной совокупности дает приближенное значение оцениваемого параметра, т.е. некую точечную характеристику. Чтобы получить более широкое представление об оценке неизвестного параметра совокупности (не только о точности, но и надежности), используется интервальная оценка параметра θ. Интервальная оценка параметра θ называется интервал, который накрывает параметр θ с заданной вероятностью. Данный интервал называется доверительным интервалом, а вероятность γ - доверительной вероятностью или надежностью. Величина доверительного интервала сильно зависит от заданной доверительной вероятности γ и от объема выборки n.

   При исследовании выборочной совокупности рассчитанная средняя арифметическая может иметь некоторое отклонение от средней арифметической генеральной совокупности. Это отклонение называется ошибкой репрезентативности, которая возникает по причине исследования не всей, а выборочной совокупности. Наибольшее отклонение выборочной средней от средней арифметической генеральной совокупности, которое возможно при заданной доверительной вероятности называется предельной ошибкой выборки.

 
         
 

   Построение доверительного интервала для генеральной средней по большой выборке.

 
 

   Доверительный интервал для генеральной средней при n порядка нескольких сотен рассчитывается по следующей формуле:

Доверительная вероятность генеральной средней

где

   γ - доверительная вероятность, выраженная через функцию Лапласа Ф(t).

переменная t равна:

t (значение функции Лапласа)

   Отсюда следует, что при заданной доверительной вероятности γ предельная ошибка выборочной средней равна произведению t (значение функции Лапласа) и средней квадратической ошибки.

Предельная ошибка выборочной средней

   Доверительный интервал генеральной средней рассчитывается по формуле:

Доверительный интервал генеральной средней

   Для нахождения предельной ошибки Δ необходимо найти среднюю квадратическую ошибку. Средняя квадратическая ошибка рассчитывается по следующей формуле:

Формула предельной ошибки для повторной и бесповторной выборки

   При достаточно большом объеме выборки n выборочная дисперсия приближается к генеральной дисперсии, поэтому чем больше n, тем точнее значение средней квадратической ошибки.

 
         
 

   Построение доверительного интервала для генеральной доли по большой выборке.

 
 

   Если распределение выборочной доли w считать приблизительно нормальным, то для нахождения доверительного интервала для генеральной доли используем формулу предельную ошибки:

 

Предельная ошибка для генеральной доли

   Отсюда получим границы доверительного интервала p1 и p2.

  График границ доверительного интервала для генеральной доли
Рис.2
 
  Формула рассчета границ доверительного интервала  
 

   Из графика (рис.2) можно увидеть, что доверительный интервал находится внутри эллипса между значениями p1 и p2. И чем больше объем выборки n, тем эллипс становится более вытянутым и доверительный интервал становится более узким.

 
 

   Необходимо так же отметить, что предельная среднеквадратическая ошибка для генеральной доли имеет максимальное значение при p =0.5, т.к. в этом случае произведение pq = p ( 1 - p ) имеет максимальное значение (рис.3).

Предельная среднеквадратическая ошибка

   Можно вспомнить, что и дисперсия случайной величины, которая равна D(X) = npq для биномиального распределения, так же имеет максимальное значение в этой точке.

  График функции Δ=pq где q=1-p
Рис.3
 
 

Пример.

 
 

   В коммерческом банке из 5000 вкладов отобраны 792, которые распределены по группам в зависимости от их величины. Распределение вкладов имеет показательный закон распределения. Данные представлены в таблице.

 
  Таблица данных задачи на расчет доверительного интервала  
 

   Необходимо найти вероятность того, что средний размер вклада отличается от выборочной средней не более, чем 20 д.е. по абсолютной величине и найти так же границы, в которых с вероятностью 0.99 заключен средний размер вклада. Данные величины найти для повторной и бесповторной выборки. Найти вероятность того, что размер вклада будет заключен в пределах от 600 до 1000 д.е.

 
 

Решение.

   Найдем выборочную среднюю арифметическую и выборочную дисперсию и построим гистограмму распределения частот.

 
  Рассчет средней арифметической и дисперсии  
  Гистограмма распределения частот  
  Рассчет предельной ошибки для повторной и бесповторной выборки  
 

   Найдем границы, в которых с вероятностью 0.99 заключен средний размер вклада.

 
  Расчет доверительного интервала  
 

   Найдем вероятность того, что размер вклада будет заключен в пределах от 600 до 1000 д.е.

 
  Рассчет вероятности на интервале  
         
  line  
     
  24 25 26 27 28 29 30 31 32  
     
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru