Проверка статистических гипотез

1.Статистическая гипотеза.
2.Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик.

1.Статистическая гипотеза.

   В теории вероятностей проверка статистических гипотез используется для оценки эффективности нового метода ведения деятельности, метода выполнения какой-либо работы, использования новых видов ресурсов или применения новой технологии, эффективности принятых мер и т.д. Статистической гипотезой называется предположение о числовом значении параметра или о виде неизвестного закона распределения статистических данных. Для того, что бы обосновать применение новой технологии или использование новых видов ресурсов, необходимо рассчитать параметры статистики, используя числовые характеристики выборочной совокупности. Затем сделать вывод о том, что выдвигаемая изначально гипотеза не противоречит (или противоречит) имеющимся наблюдениям, путем сравнения полученных результатов с критическими. Проверка статистической гипотезы делится на два этапа.

   На первом этапе выдвигается гипотеза, например, об эффективности новой технологии Н0. Затем по выборочной совокупности рассчитывается значение параметра θв и сверяется с критическим значением θкр, которое рассчитывается на основе точного или приближенного значения. Если гипотеза Н0 верна, то θ < θкр и вероятность Р (θ > θкр) = α мала. Согласно принципу практической уверенности данное событие можно считать практически невозможным. В основе принципа практической уверенности лежит такой факт, что если вероятность события А мала, то при однократном испытании его можно считать практически невозможным. Если θв > θкр, то гипотеза Н0 отвергается.

   При проверке статистической гипотезы Н0 можно допустить ошибку 1-го или 2-го рода.

Гипотеза Н0

1. Верна      - отвергается (ошибка 1-го рода)
2. Неверна  - принимается (ошибка 2-го рода)

   Вероятность допустить ошибку 1-го рода называется уровнем значимости критерия. Вероятность не допустить ошибку 2-го рода называется мощностью критерия.

   При проверке гипотизы Н0 необходимо правильно выбрать критическую область. Критической областью может быть:
θ кр 1 - область положительных отклонений,
θ кр 2 - область отрицательных отклонений,
θ кр 3, θ кр 4- область больших и малых по абсолютной величине отклонений. (Рис.1)

   Предположим, что мы выбрали проверяемую гипотезу Н0 θ1 = θ0. Конкурирующая гипотеза пусть будет Н1 θ1 > θ0. Тогда критической областью при заданном уровне значимости будет интервал θ > θкр1. Если θ < θ кр1, то гипотеза Н0 принимается. Если θ > θ кр1, т.е. попадает в критическую область, то гипотеза Н0 отвергается. При увеличении θ кр1 вероятность допустить ошибку 1-го рода уменьшается, но увеличивается вероятность допущения ошибки 2-го рода.

   В геометрическом смысле вероятность ошибки 1-го рода представляет собой площадь фигуры под функцией на интервале θ > θкр1. А вероятность ошибки 2-го рода представляет собой площадь фгуры на интервале θ < θкр1. В итоге эти две вероятности обратно пропорциональны. Т.е. чем больше вероятность допущения ошибки 1-го рода, тем меньше вероятность допущения ошибки 2-го рода и наоборот. Одновременно уменьшить вероятности обоих ошибок невозможно. Отсюда следует, что при проверке статистической гипотезы критическую область необходимо выбирать такой, что бы мощность критерия (не допустить ошибку 2-го рода) была максимальной.

   Конкурирующую гипотезу Н1 выбирают одну из следующих возможных вариантов:

а < a0 - левосторонняя критическая область
а > a0 - правосторонняя критическая область
а ≠ a0 - двусторонняя критическая область

Для определения границ критических областей используются следующие соотношения:

   Необходимо добавить, что в случае принятия гипотезы Н0, в действительности не означает, что расчетное значение параметра по выборочной совокупности θn равно истинному значению. Это, всего лишь, говорит о правдоподобии параметра θn, который рассчитан на основе данных, полученных по выборочной совокупности. При расчете параметра θn предполагается, что закон распределения генеральной совокупности известен. Критерии, которые используются при проверке таких гипотез, называются параметрическими. Если же закон распределения генеральной совокупности не известен, то критерии называются непараметрическими. Исходя из смысла статистическая гипотеза может выдвигаться о числовом значении параметра, о законе распределения генеральной совокупности, о равенстве числовых характеристик генеральной совокупности или о принадлежности выборок к одной и той же генеральной совокупности.

2.Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик

   Числовые характеристики описывают свойства совокупности данных. Например средняя арифметическая описывает среднее значение некоторого числа экспериментов. При расчете числовых характеристик в разных сериях эспериментов можно получить разное их значение. При этом необходимо определить: эти различия являются существенными для этих совокупностей или нет.

   Допустим есть две совокупности N1, N2, которые имеют среднии арифметические хср1, хср2 и дисперсии σ²1, σ²2. Проверим гипотезу Н0 о равенстве генеральных средних. Если объем выборки достаточно большой, то выборочные средние имеют приблизительно нормальный закон распределения. Из двух совокупностей взяты два независимых объема выборки n1, n2 и рассчитаны выборочные среднии арифметические и дисперсии.

   Критерий, по которому оценивается справедливость гипотезы рассчитывается по следующей формуле:

где

   хв1, хв2 - выборочные средние
   σ²1, σ²2 - генеральные дисперсии
   n1, n2 - объемы выборок
   α - уровень значимости

   Затем сравнивается полученное значение статистики t с критическим tкр. Если | t | > t кр., то на заданном уровне значимости гипотеза Н0 отвергается. Если | t | < tкр., то делается вывод о том, что выдвигаемая гипотеза Н0 не противоречит данным наблюдений. (рис.2)

Пример.

   Для повышения скорости обработки данных для операционистов было внедрено новое программное обеспечение. Для проверки его эффективности отобрали две группы операционистов численностью n1 = 65 и n2 = 70 человек. В группе, где применялось новое программное обеспечение среднее количество обработанных документов составило хср1 = 190, где старое программное обеспечение - хср2 = 182. Известно, что дисперсии выработки для групп составляют: σ²1 = 120 и σ²2 = 110. На уровне значимости α = 0,02 выяснить эффективно ли новое программное обеспечение?

Решение. Проверяемая гипотеза Н0: хср1 = хср2 означает равенство среднего числа обработанных документов операционистов двух групп. Конкурирующая гипотеза Н1: хср1 > хср2. Рассчитаем значение статистики t критерий:

   Т.к значение t критерия больше критического 4,3274 > 2,06 кр.(рис.3), то можно сделать вывод об эффективности нового программного обеспечения, т.е гипотеза Н0 о равенстве среднего количества обработанных документов двух групп отвергается на 2-х процентном уровне значимости.