Math Task

Примеры решений задания С6

Справочные материалы

1. Свойства делимости.
2. Признаки делимости.
3. Простые и взаимно простые числа.
4. Остатки.
5. Таблица степеней а ^х.
6. Таблица остатков при делении 2ⁿ на х.
7. Таблица остатков при делении 3ⁿ на х.
8. Таблица остатков при делении а² на х.
9. Таблица остатков при делении а³ на х.
10. Десятичная запись числа.
11. НОД - Наибольший общий делитель.
12. НОК - Наименьшее общее кратное.
13. Основная теорема арифметики.
14. Количество натуральных делителей.
15. Уравнения в целых числах (диофантово уравнение).
16. Арифметическая прогрессия.
17. Геометрическая прогрессия.
18. Свойства арифметической и геометрической прогрессий.
19. Средние величины.
20. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Примеры решений

21. Пример 1
22. Пример 2
23. Пример 3
24. Пример 4

1 2 3 4 5 6

Справочные материалы

Свойства делимости

1. Если а делится на b, то для любого числа n число na делится на b.

2. Если а делится на с и b делится на с, то сумма, разность и произведение чисел а и b делится на с.

3. Если а делится на b и b делится на с, то а делится на с.

4. Если а делится на с и b делится на d, то ab делится на cd.

Признаки делимости

1. Число делится на 2, если его последняя цифра четна.

2. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 3, как и само число.

3. Число делится на 4, если две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

4. Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

5. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, как и само число.

6. Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

Признак делимости на 11. Пример.

Простые и взаимно простые числа

1. Натуральное число а (а≠1) называется простым, если у него нет натуральных делителей, отличных от 1 и него самого.

2. Числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми, называются составными.
Единица не является ни простым, ни составным числом.

3. Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми.

Остатки

Представление числа в виде суммы произведения неполного частного на k и остатка.

Таблица степеней а^х

Таблица остатков при делении 2ⁿ на х

Таблица остатков при делении 3ⁿ на х

Таблица остатков при делении а² на х

Таблица остатков при делении а³ на х


			Репетитор: Васильев Алексей Александрович
			Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование. 2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.
			Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

Десятичная запись числа

   Выражение вида: а_k10^k + а_k-110^k-1 + а_k-210^k-2 + а_k-310^k-3 ... а₁10 + a₀

где
   a₀≠ 0
   a₁,a₂,a₃...a_k - целые, неотрицательные числа, не превосходящие 9.

называется десятичной записью натурального числа.

Десятичная запись натурального числа n содержит ровно k цифр, если выполнено неравенство:

10^k-1 ≤ n < 10^k

Десятичную запись числа можно также использовать для записи нецелых чисел.

НОД - Наибольший общий делитель

Определение: наибольшим общим делителем нескольких целых чисел называется число, кратное любому их общему делителю.

Обозначение: - НОД (а₁;а₂;а₃;...а_n)

Свойства наибольшего общего делителя

1. НОД нескольких целых чисел равен НОД их модулей.
2. Если числа a, b, c, q связаны равенством a = bq + c, то НОД (a;b) = НОД (b;c).
3. НОД (a;b) = НОД (a + b;b).
4. Частные от деления нескольких натуральных чисел на их НОД - взаимно простые числа.

НОК - Наименьшее общее кратное

   Наименьшим общим кратным нескольких целых чисел называется наименьшее натуральное число, кратное каждому из этих чисел, т.е. которое нацело делится на каждое из них.

Например, если

    a = d₁^x1* d₂^y1 * d₃^z1 ... d_n^p1

    b = d₁^x2* d₂^y2 * d₃^z2 ... d_n^p2

то

    НОК (a;b) = d₁^max(x1;x2) * d₂^max(y1;y2) * d₃^max(z1;z2) ... d_n^max(p1;p2)

Основная теорема арифметики

   Любое натуральное число n > 1 имеет единственное разложение на простые множители

    n = p₁^a1 p₂^a2 p₃^a3 ... p_k^ak

где

   p₁, p₂, p₃, ... p_k - попарно различные простые числа.
   a₁, a₂, a₃, ... a_k - натуральные числа.

   Такая запись называется канонической формой записи числа n.

Количество натуральных делителей

   Количество натуральных делителей числа n, которое записано в канонической форме, рассчитывается по формуле:

   (a₁+ 1) (a₂+ 1) (a₃+ 1) ... (a_k+ 1)

   Сумма всех натуральных делителей числа n, записанного в канонической форме, рассчитывается по формуле:

Уравнения в целых числах (диофантово уравнение)

   Уравнение вида: f (x, y, ... ) = 0, в котором все переменные целые числа, называется уравнением в целых числах или диофантовым уравнением.

   Уравнение вида:   ax + by = 0 - называется линейным диофантовым уравнением.

   Все решения такого уравнения можно получить по формулам:

где (x0; y0) - пара чисел, которые являются решением данного уравнения.

Арифметическая прогрессия

    Последовательность вида:   а₁ = а,     а _n = а₁ + d (n - 1),       а _n+1 = а_n + d ...
где
   n - натуральные числа
   d - разность арифметической прогрессии
называется арифметической прогрессией.

Геометрическая прогрессия

    Последовательность вида:   b₁ = b,     b _n = b₁ q ^{n - 1},       а _n+1 = b_n q ...
где
   n - натуральные числа
   q - знаменатель геометрической прогрессии
называется геометрической прогрессией.