Примеры решений задания С6
Math Task сайт репетиторов

Примеры решений задания С6

  
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Примеры решений задания С6  
  line  
   
 

Справочные материалы

1. Свойства делимости.
2. Признаки делимости.
3. Простые и взаимно простые числа.
4. Остатки.
5. Таблица степеней а х.
6. Таблица остатков при делении 2n на х.
7. Таблица остатков при делении 3n на х.
8. Таблица остатков при делении а2 на х.
9. Таблица остатков при делении а3 на х.
10. Десятичная запись числа.
11. НОД - Наибольший общий делитель.
12. НОК - Наименьшее общее кратное.
13. Основная теорема арифметики.
14. Количество натуральных делителей.
15. Уравнения в целых числах (диофантово уравнение).
16. Арифметическая прогрессия.
17. Геометрическая прогрессия.
18. Свойства арифметической и геометрической прогрессий.
19. Средние величины.
20. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Примеры решений

21. Пример 1
22. Пример 2
23. Пример 3
24. Пример 4

 

  
         
1 2 3 4 5 6
         
line
 

Справочные материалы

  

Свойства делимости

  
 

1. Если а делится на b, то для любого числа n число na делится на b.

2. Если а делится на с и b делится на с, то сумма, разность и произведение чисел а и b делится на с.

3. Если а делится на b и b делится на с, то а делится на с.

4. Если а делится на с и b делится на d, то ab делится на cd.

  

Признаки делимости

  
 

1. Число делится на 2, если его последняя цифра четна.

2. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 3, как и само число.

3. Число делится на 4, если две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

4. Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

5. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, как и само число.

6. Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

Признак делимости на 11. Пример.

  

Простые и взаимно простые числа

  
 

1. Натуральное число а (а≠1) называется простым, если у него нет натуральных делителей, отличных от 1 и него самого.

2. Числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми, называются составными.
Единица не является ни простым, ни составным числом.

3. Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми.

  
  line  

Остатки

  
  Представление числа в виде суммы произведения неполного частного на k и остатка.  

Таблица степеней ах

  
 

Таблица степеней аˣ

  

Таблица остатков при делении 2n на х

  
  Таблица остатков при делении 2ⁿ на х.  

Таблица остатков при делении 3n на х

  
  Таблица остатков при делении 3ⁿ на х.  

Таблица остатков при делении а2 на х

  
  Таблица остатков при делении а² на х.  

Таблица остатков при делении а3 на х

  
  Таблица остатков при делении а³ на х.  
  line  

Десятичная запись числа

  
     Выражение вида: аk10k + аk-110k-1 + аk-210k-2 + аk-310k-3 ... а110 + a0

где
   a0≠ 0
   a1,a2,a3...ak - целые, неотрицательные числа, не превосходящие 9.

называется десятичной записью натурального числа.		  
 

   Десятичная запись натурального числа n содержит ровно k цифр, если выполнено неравенство:

   10k-1 ≤ n < 10k

  
     
     Десятичную запись числа можно также использовать для записи нецелых чисел.  
  Десятичная запись числа. Пример.  
  Десятичная запись числа. Пример 2.  
  line  

НОД - Наибольший общий делитель

  
 

   Определение: наибольшим общим делителем нескольких целых чисел называется число, кратное любому их общему делителю.

   Обозначение: - НОД (а1;а2;а3;...аn)

  
 

Свойства наибольшего общего делителя

  
  1. НОД нескольких целых чисел равен НОД их модулей.
2. Если числа a, b, c, q связаны равенством a = bq + c, то НОД (a;b) = НОД (b;c).
3. НОД (a;b) = НОД (a + b;b).
4. Частные от деления нескольких натуральных чисел на их НОД - взаимно простые числа.		  
  НОД - Наибольший общий делитель.  
  line  

НОК - Наименьшее общее кратное

  
 

   Наименьшим общим кратным нескольких целых чисел называется наименьшее натуральное число, кратное каждому из этих чисел, т.е. которое нацело делится на каждое из них.

Например, если

    a = d1x1* d2y1 * d3z1 ... dnp1

    b = d1x2* d2y2 * d3z2 ... dnp2

то

    НОК (a;b) = d1max(x1;x2) * d2max(y1;y2) * d3max(z1;z2) ... dnmax(p1;p2)

 
  НОК - Наименьшее общее кратное.  
 
  Репетиторы на www.mathtask.ru  
 
  line  

Основная теорема арифметики

  
 

   Любое натуральное число n > 1 имеет единственное разложение на простые множители

    n = p1a1 p2a2 p3a3 ... pkak

где

   p1, p2, p3, ... pk - попарно различные простые числа.
   a1, a2, a3, ... ak - натуральные числа.

   Такая запись называется канонической формой записи числа n.

 

Количество натуральных делителей

  
 

   Количество натуральных делителей числа n, которое записано в канонической форме, рассчитывается по формуле:

   (a1+ 1) (a2+ 1) (a3+ 1) ... (ak+ 1)

   Сумма всех натуральных делителей числа n, записанного в канонической форме, рассчитывается по формуле:

 
  Количество натуральных делителей.  
  line  

Уравнения в целых числах (диофантово уравнение)

  
 

   Уравнение вида: f (x, y, ... ) = 0, в котором все переменные целые числа, называется уравнением в целых числах или диофантовым уравнением.

   Уравнение вида:   ax + by = 0 - называется линейным диофантовым уравнением.

   Все решения такого уравнения можно получить по формулам:

 
  Уравнения в целых числах (Диофантово уравнение).  
  где (x0; y0) - пара чисел, которые являются решением данного уравнения.  
  line  

Арифметическая прогрессия

  
 

    Последовательность вида:   а1 = а,     а n = а1 + d (n - 1),       а n+1 = аn + d ...
где
   n - натуральные числа
   d - разность арифметической прогрессии
называется арифметической прогрессией.

  
  Арифметическая прогрессия.  

Геометрическая прогрессия

  
 

    Последовательность вида:   b1 = b,     b n = b1 q n - 1,       а n+1 = bn q ...
где
   n - натуральные числа
   q - знаменатель геометрической прогрессии
называется геометрической прогрессией.

  
  Геометрическая прогрессия.  

Свойства арифметической и геометрической прогрессий

  
 

Свойства арифметической и геометрической прогрессий.

  
  line  

Средние величины

  
 

   Средним арифметическим нескольких чисел называется сумма этих чисел деленная на их количество.

 
  Средняя арифметическая.  
 

   Средним геометрическим нескольких чисел называется число, равное корню n - й степени из произведения этих чисел.

  
  Средняя геометрическая.  

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом

  
     Среднее арифметическое нескольких положительных чисел больше или равно их среднего геометрического. Равенство достигается, если все числа равны.  
  Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом.  
line

Пример 1
 

Найдите все такие а ∈ Z, что (3a+7)/(a+2)- целое число.

  
  Пример решения С6: Делимость и ее свойства. Признаки делимости.  
  line  

Пример 2

  
 

Докажите, что 52n - 3n делится на 28 при любом четном натуральном n.

  
    Пример решения С6: Остатки.  
   
  line  

Пример 3

  
 

   Найдите все трехзначные числа, квадрат которых оканчивается теми же тремя цифрами, что и исходное число.

  
  Пример решения С6: Десятичная запись натурального числа.  
   

Пример 4

  
 

Решить уравнение в целых числах 3x - 6y = 2z+ 1

  
  Пример 4: решение уравнения в целых числах (диофантово уравнение).  
   
line
         
1 2 3 4 5 6
 
     
 
line
    Комментарий:  
         
Имя:    
Комментарий:    
Введите число: 325    
       
 Всего комментариев: 0      
line
         
         
 
line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru