|
Справочные материалы1. Свойства делимости.
Примеры решений21. Пример 122. Пример 2 23. Пример 3 24. Пример 4
|
||||
1 2 3 4 5 6 | ||||
![]() |
||||
Справочные материалы |
||||
Свойства делимости |
||||
1. Если а делится на b, то для любого числа n число na делится на b. 2. Если а делится на с и b делится на с, то сумма, разность и произведение чисел а и b делится на с. 3. Если а делится на b и b делится на с, то а делится на с. 4. Если а делится на с и b делится на d, то ab делится на cd. |
||||
Признаки делимости |
||||
1. Число делится на 2, если его последняя цифра четна. |
||||
Простые и взаимно простые числа |
||||
1. Натуральное число а (а≠1) называется простым, если у него нет натуральных делителей, отличных от 1 и него самого. |
||||
![]() |
||||
Остатки |
||||
![]() |
||||
Таблица степеней ах |
||||
Таблица остатков при делении 2n на х |
||||
![]() |
||||
Таблица остатков при делении 3n на х |
||||
![]() |
||||
Таблица остатков при делении а2 на х |
||||
![]() |
||||
Таблица остатков при делении а3 на х |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
Десятичная запись числа |
||||
Выражение вида: аk10k + аk-110k-1 + аk-210k-2 + аk-310k-3 ... а110 + a0 где a0≠ 0 a1,a2,a3...ak - целые, неотрицательные числа, не превосходящие 9. называется десятичной записью натурального числа. |
||||
Десятичная запись натурального числа n содержит ровно k цифр, если выполнено неравенство: 10k-1 ≤ n < 10k |
||||
Десятичную запись числа можно также использовать для записи нецелых чисел. | ||||
![]() |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
НОД - Наибольший общий делитель |
||||
Определение: наибольшим общим делителем нескольких целых чисел называется число, кратное любому их общему делителю. |
||||
Свойства наибольшего общего делителя |
||||
1. НОД нескольких целых чисел равен НОД их модулей. 2. Если числа a, b, c, q связаны равенством a = bq + c, то НОД (a;b) = НОД (b;c). 3. НОД (a;b) = НОД (a + b;b). 4. Частные от деления нескольких натуральных чисел на их НОД - взаимно простые числа. |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
НОК - Наименьшее общее кратное |
||||
Наименьшим общим кратным нескольких целых чисел называется наименьшее натуральное число, кратное каждому из этих чисел, т.е. которое нацело делится на каждое из них. |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
Основная теорема арифметики |
||||
Любое натуральное число n > 1 имеет единственное разложение на простые множители |
||||
Количество натуральных делителей |
||||
Количество натуральных делителей числа n, которое записано в канонической форме, рассчитывается по формуле: |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
Уравнения в целых числах (диофантово уравнение) |
||||
Уравнение вида: f (x, y, ... ) = 0, в котором все переменные целые числа, называется уравнением в целых числах или диофантовым уравнением. |
||||
![]() |
||||
где (x0; y0) - пара чисел, которые являются решением данного уравнения. | ||||
![]() |
||||
Арифметическая прогрессия |
||||
Последовательность вида: а1 = а, а n = а1 + d (n - 1),
а n+1 = аn + d ... |
||||
![]() |
||||
Геометрическая прогрессия |
||||
Последовательность вида: b1 = b, b n = b1 q n - 1,
а n+1 = bn q ... |
||||
![]() |
||||
Свойства арифметической и геометрической прогрессий |
||||
![]() |
||||
Средние величины |
||||
Средним арифметическим нескольких чисел называется сумма этих чисел деленная на их количество. |
||||
![]() |
||||
Средним геометрическим нескольких чисел называется число, равное корню n - й степени из произведения этих чисел. |
||||
![]() |
||||
Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом |
||||
Среднее арифметическое нескольких положительных чисел больше или равно их среднего геометрического. Равенство достигается, если все числа равны. | ||||
![]() |
||||
![]() |
||||
Пример 1 |
||||
Найдите все такие а ∈ Z, что |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
Пример 2 |
||||
Докажите, что 52n - 3n делится на 28 при любом четном натуральном n. |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
Пример 3 |
||||
Найдите все трехзначные числа, квадрат которых оканчивается теми же тремя цифрами, что и исходное число. |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
Пример 4 |
||||
Решить уравнение в целых числах 3x - 6y = 2z+ 1 |
||||
![]() |
||||
![]() |
||||
1 2 3 4 5 6 | ||||
|
||
www.mathtask.ru | ||