Примеры решений задания С6

1. Число делится на 2, если его последняя цифра четна.

2. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 3, как и само число.

3. Число делится на 4, если две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

4. Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

5. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, как и само число.

6. Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

1. Натуральное число а (а≠1) называется простым, если у него нет натуральных делителей, отличных от 1 и него самого.

2. Числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми, называются составными.
Единица не является ни простым, ни составным числом.

3. Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми.

   Десятичная запись натурального числа n содержит ровно k цифр, если выполнено неравенство:

   10^k-1 ≤ n < 10^k

   Определение: наибольшим общим делителем нескольких целых чисел называется число, кратное любому их общему делителю.

   Обозначение: - НОД (а₁;а₂;а₃;...а_n)

   Наименьшим общим кратным нескольких целых чисел называется наименьшее натуральное число, кратное каждому из этих чисел, т.е. которое нацело делится на каждое из них.

Например, если

    a = d₁^x1* d₂^y1 * d₃^z1 ... d_n^p1

    b = d₁^x2* d₂^y2 * d₃^z2 ... d_n^p2

то

    НОК (a;b) = d₁^max(x1;x2) * d₂^max(y1;y2) * d₃^max(z1;z2) ... d_n^max(p1;p2)

   Любое натуральное число n > 1 имеет единственное разложение на простые множители

    n = p₁^a1 p₂^a2 p₃^a3 ... p_k^ak

где

   p₁, p₂, p₃, ... p_k - попарно различные простые числа.
   a₁, a₂, a₃, ... a_k - натуральные числа.

   Такая запись называется канонической формой записи числа n.

   Количество натуральных делителей числа n, которое записано в канонической форме, рассчитывается по формуле:

   (a₁+ 1) (a₂+ 1) (a₃+ 1) ... (a_k+ 1)

   Сумма всех натуральных делителей числа n, записанного в канонической форме, рассчитывается по формуле:

   Уравнение вида: f (x, y, ... ) = 0, в котором все переменные целые числа, называется уравнением в целых числах или диофантовым уравнением.

   Уравнение вида:   ax + by = 0 - называется линейным диофантовым уравнением.

   Все решения такого уравнения можно получить по формулам:

    Последовательность вида:   а₁ = а,     а _n = а₁ + d (n - 1),       а _n+1 = а_n + d ...
где
   n - натуральные числа
   d - разность арифметической прогрессии
называется арифметической прогрессией.

    Последовательность вида:   b₁ = b,     b _n = b₁ q ^{n - 1},       а _n+1 = b_n q ...
где
   n - натуральные числа
   q - знаменатель геометрической прогрессии
называется геометрической прогрессией.

   Средним арифметическим нескольких чисел называется сумма этих чисел деленная на их количество.

   Средним геометрическим нескольких чисел называется число, равное корню n - й степени из произведения этих чисел.

Докажите, что 5²ⁿ - 3ⁿ делится на 28 при любом четном натуральном n.

   Найдите все трехзначные числа, квадрат которых оканчивается теми же тремя цифрами, что и исходное число.

Решить уравнение в целых числах 3^x - 6^y = 2^z+ 1