Планиметрия. Страница 2

1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
8.Примеры.

1.Параллельность прямых

   Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

   Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Допустим, что они не параллельны между собой. (Рис.1) Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Следовательно, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. А это невозможно согласно аксиоме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые а и b не пересекаются. Они параллельны.

Рис.1 Теорема. Параллельность прямых.

2.Признаки параллельности прямых

    Теорема. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.

    Доказательство. Пусть даны две прямые a и b, которые образуют с секущей АВ внутренние накрест лежащие углы (Рис. 2 а). Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в одной точке С. Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. И, следовательно, точка С лежит в одной из них и образует треугольник АВС. Сторона АС принадлежит прямой а. Сторона ВС принадлежит прямой b. (Рис. 2 б)

   Отложим равный треугольник ABC₁ в другой полуплоскости с вершиной С₁ так, чтобы угол А треугольника АВС совпал с углом В треугольника АВС₁. Так как по условию задачи сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то сторона АС₁ ляжет на прямую а, ВС₁ - на прямую b. Тогда точка С₁ принадлежит двум прямым: а и b. Т.е. две точки С и С₁ одновременно принадлежат двум прямым. А это невозможно. Следовательно прямые a и b не пересекаются, они параллельны.

Рис.2 Теорема. Признаки параллельности прямых.

3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых

    Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

    Доказательство. Пусть a и b параллельные прямые. Прямая с пересекает их в точках А и В. (Рис. 3)

   Проведем через точку А прямую а1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а1 и b и секущей с, были равны. Тогда по признаку параллельности прямых они параллельны. А так как согласно аксиоме о единственной параллельной прямой, проходящей через точку не лежащей на данной прямой, такая прямая может быть только одна, то прямые а и а1 совпадают. А следовательно внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а,b и секущей с, равны.

Рис.3 Теорема. Свойство углов при пересечении параллельных прямых.

4.Сумма углов треугольника

    Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

    Доказательство. Пусть АВС данный треугольник. Проведем через вершину В прямую BD, параллельную стороне АС (Рис. 4).

   Тогда углы α и α', γ и γ' равны как внутренние накрест лежащие. А так как прямая BD представляет собой развернутый угол с вершиной угла в точке В, который равен 180°, т.е. α' + β + γ' = 180°, то сумма углов треугольника равна также 180°. Таким образом, мы пришли к выводу, что сумма углов треугольника, т.е. α + β + γ = 180°.

Рис.4 Теорема. Сумма углов треугольника.

5.Единственность перпендикуляра к прямой

    Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить только один перпендикуляр на данную прямую.

    Доказательство. Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка А. Отметим на прямой а произвольную точку, например D. И проведем через нее перпендикуляр.(Рис. 5)

   Теперь проведем через точку А прямую, параллельную нашей перпендикулярной прямой. Она также будет перпендикулярна прямой а. Так как прямая а, перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой. Отрезок АВ и есть перпендикуляр. Если допустить, что существует другой перпендикуляр, допустим в точке С. То в треугольнике АВС образуются два угла 90 градусов, а это невозможно. Следовательно отрезок АВ - это единственный перпендикуляр, проходящий через точку А.

Рис.5 Теорема. Единственность перпендикуляра к прямой.

6. Высота, биссектриса и медиана треугольника

   Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из данной вершины на противолежащую сторону.

   Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину угла и противолежащую сторону, и делящий данный угол пополам.

   Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину и противолежащую сторону, и делящий ее пополам. (Рис.6)

Рис.6 Высота, биссектриса и медиана треугольника.

7. Свойство медианы равнобедренного треугольника

    Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины угла к основанию, является биссектрисой и высотой.

   Доказательство:

    Пусть АВС - данный равнобедренный треугольник с основанием АС. Боковые стороны АВ и ВС равны, ВD - медиана. Необходимо доказать, что BD является биссектрисой и высотой.

   Рассмотрим треугольники ABD и BDC. Они равны по третьему признаку равенства треугольников. АВ = ВС по условию, AD = DC, так как BD медиана, а сторона BD у них общая. Следовательно, углы при вершине D равны, а так как они являются смежными, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.

    Из равенства треугольников ABD и BDC следует равенство углов при вершине В, т.е. ∠AВD = ∠CВD = α.

    Отсюда можно сделать вывод, что медиана BD является биссектрисой и высотой.

Рис.7 Свойство медианы равнобедренного треугольника.

8. Пример 1

   Даны прямая а и точка С, не лежащая на этой прямой. Необходимо доказать, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а. (Рис.8)

   Доказательство:

    Проведем прямую b, параллельную прямой а. Тогда, согласно аксиоме 9, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую) проведем прямую с через точку С, параллельную прямой b.

    Таким образом, получается, что прямая с параллельна прямой b, и прямая a также параллельна прямой b по построению. Следовательно, по теореме о двух прямых, параллельных третьей прямой, имеем, что две прямые a и c параллельны прямой b и, следовательно, они (прямые а и с) параллельны. Т.е. через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а.

Рис.8 Задача. Даны прямая а и точка С ...

Пример 2

   Даны две параллельные прямые а и b, и секущая с. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных этими прямыми, параллельны (Рис.9)

   Доказательство:

    Так как прямые а и b параллельны, то углы α и β, образованные этими параллельными прямыми и секущей с, равны как внутренние накрест лежащие, т.е. ∠α = ∠β. Согласно определению, биссектриса - это луч, исходящий из вершины угла между его сторонами, который делит этот угол пополам. Следовательно, биссектрисы d₁ и d₂ делят углы α и β пополам.

   Таким образом, так как углы α и β равны, то и углы α/2 и β/2 также равны. А если углы α/2 и β/2 равны, то они являются внутренними накрест лежащими углами, между секущей с и прямыми, на которых лежат лучи d₁ и d₂, и согласно теореме: признак параллельности прямых, лучи d₁ и d₂ лежат на параллельных прямых.

Рис.9 Задача. Даны две параллельные прямые а и b и секущая с...

Пример 3

   Один из углов равнобедренного треугольника АВС равен 100° (Рис.10). Найти остальные углы треугольника.

   Решение:

   Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а два угла у равнобедренного треугольника равны, то они не могут равняться 100°. Следовательно, углы при вершинах А и С равны, а угол при вершине В = 100°.

   Отсюда следует, что можно составить соотношение:

    2α + β = 180°

    2α + 100° = 180°

    2α = 80°

    α = 40°

    Ответ: углы равнобедренного треугольника составляют: 100°, 40°, 40°.

Рис.10 Задача. Найти углы треугольника.

Пример 4

   Сумма внешних углов треугольника АВС при вершиах А и В равна 240° (Рис.11). Найдите угол С треугольника АВС.

   Решение:

   Так как сумма углов α + β + α₁ + β₁ = 360°, а

   α₁ + β₁ = 240° по условию задачи, то

   α + β = 120°

   А так как сумма углов треугольника составляет 180°, то

   α + β + γ = 180°, т.е.

   120° + γ = 180°

   И следовательно, γ = 60°

   Ответ: угол при вершине С = 60°.

Рис.11 Задача. Найти угол треугольника.

Пример 5

   В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Угол при вершине В составляет 36° (Рис.12). Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.

   Доказательство:

   Так как по условию задачи треугольник АВС равнобедренный, то углы при вершинах А и С равны:

   α = (180°-36°)/2

   α = 72°, а так как AD биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC, т.е.

   α / 2 = 36°

   Следовательно, треугольник ADB равнобедренный. Углы при вершинах А и В равны 36°.

   Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол λ равен:

   λ = 180° - (α / 2 + α)

   λ = 180° - (36° + 72°)

   λ = 72°

   Таким образом, треугольник ADC равнобедренный. Углы при вершинах С и D равны 72°.

Рис.12 Задача. В равнобедренном треугольнике АВС ...

Содержание