Планиметрия. Страница 3
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 3

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 3  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 

1.Окружность, описанная около треугольника.
2.Окружность, вписанная в треугольник.
3.Геометрическое место точек.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line

1.Окружность, описанная около треугольника

 
         
 

   Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных на сердины сторон данного треугольника.

   Доказательство. Пусть АВС данный треугольник и точка О является центром окружности, описанной около данного треугольника. (Рис.1) Тогда отрезки ОА, ОВ, ОС равны как радиусы. Следовательно треугольники Δ АОВ, Δ ВОС, Δ АОС - равнобедренные. А следовательно и медианы, проведенные к серединам сторон ОК, ОЕ, ОD являются одновременно биссектрисой и высотой. Поэтому предположение, что центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения высот, верно.

 

Теорема. Окружность, описанная около треугольника

Рис.1 Теорема. Окружность, описанная около треугольника.

 
     
2.Окружность, вписанная в треугольник  
     
 

    Теорема. центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

    Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. Точка О - центр вписанной окружности. (Рис. 2)

   Тогда треугольник Δ АОЕ равен треугольнику Δ АОТ,
Δ СОЕ = Δ СОК,
Δ ВОК = Δ ВОТ.
Так как стороны ОА, ОВ, ОС у них общие. А ОК, ОЕ, ОТ как радиусы.
    Следовательно:
угол ЕАО равен углу ТАО,
угол ЕСО = углу КСО,
угол КВО = углу ТВО.

   Это значит, что точка О лежит на пересечении биссектрис АО, ВО, СО.

  Окружность, вписанная в треугольник

Рис.2 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.

 
         
         

3.Геометрическое место точек

 
 

   Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.

    Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.

    Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 3).

   Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С.
    Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому для того, чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо, чтобы она лежала на прямой а, перпендикулярной отрезку соединяющего эти точки, и проходящей через его середину.

  Геометрическое место точек

Рис.3 Теорема. Геометрическое место точек.

 
         
         
 

Задача 1

 
 

   Дана окружность с центром О. И проведена касательная а из точки С к этой окружности. Доказать, что точка К лежит на основании равнобедренного треугольника ОВС. (рис.4)

    Доказательство. Так как прямая а есть касательная к окружности, то следовательно радиус, проведенный в точку касания ОК, составляет прямой угол с касательной. Отсюда следует, что если мы проведем прямую с через радиус окружности и отложим отрезок КВ на этой прямой, равный радиусу, то прямая а будет представлять собой геометрическое место точек. Так как угол между прямыми а и с - прямой, а отрезки ОК и КВ равны по построению. А следовательно точка К будет лежать на основании равнобедренного треугольника ВОС. Равенство ОС и ВС вытекает из равенства треугольников ВКС и ОКС.

  Задача. Геометрическое место точек

Рис.4 Задача.

 
         
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность описанная около треугольника.
2.Окружность вписанная в треугольник.
3.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
         
         
line
         
  Найти репетитора  
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru