Планиметрия. Страница 5
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 5

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 5  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 

1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
5.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line

1.Теорема Пифагора

 
 

   Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство.

1. Разделим каждую сторону большого квадрата на два отрезка x и y точкой. И проведем через эти точки отрезки.

2. Тогда треугольники 1,2,3,4 равны по двум сторонам и углу между ними.

3. Т.к. сумма углов α + β = 90°, то фигура внутри большого квадрата тоже квадрат. (Все стороны = с и все углы = 90° )

4. Площадь большого квадрата равна сумме площадей малого квадрата и 4-х треугольников. (Рис.1)

  Теорема Пифагора

Рис.1 Теорема Пифагора.

 
  Теорема Пифагора. Доказательство.  
         

2.Египетский треугольник

 
         
 

   Пусть дан треугольник со сторонами АВ = a, ВС = b, АС = c. При условии, что а2 + b2 = с2. Доказать, что угол, лежащий против стороны с, прямой.

   Допустим, что треугольник АВС не прямоугольный. Тогда можно опустить высоту на сторону АС - h (Рис.2). Из двух прямоугольных треугольников ABD и DBC составим следующую систему уравнений по теореме Пифагора. Обозначим AD как х, BD - высота h.
Теорема. Египетский треугольник
   Но по условию задачи а2 + b2 = с2. Следовательно х = 0 и сторона а = h. Т.е. угол между сторонами АВ и АС - прямой.

   В древнем Египте данное соотношение применялось очень широко. Например для построения прямого угла между сторонами при строительстве зданий и сооружений. Или при измерении прямых углов пахотных земель. Так как зная соотношение, можно легко построить прямой угол. По этой причине треугольник со сторонами 3,4,5 ед. называют Египетским треугольником.    

 

Египетский треугольник

Рис.2 Египетский треугольник.

 
       

3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике

   
       
 

   Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Проведем прямую ЕF параллельную стороне АВ (Рис.3). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике

   Т.е. соs α не зависит от размеров прямоугольного треугольника, а зависит только от величины угла. Тогда по теореме Пифагора sin α также зависит только от величины угла. А следовательно tg α и ctg α.

   Отсюда можно сделать следующие выводы:

AB = BC sin α
AC = BC cos α
AB = AC tg α
AC = AB ctg α

  Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике

Рис.3 Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.

 
         
         

4.Основные тригонометрические тождества

 

    Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)

Основные тригонометрические тождества
  Основные тригонометрические тождества

Рис.4 Основные тригонометрические тождества.

 
         
line
         

5.Пример 1

 

   У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5)

 
         
 

    Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.

Задача. Найти стороны треугольника
  Задача. Соотношение в прямоугольном треугольнике

Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м...

 
         
 

Пример 2

 
 

   Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6)

 
         
 

   Решение:

   Пусть ABCD данная трапеция. ВЕ перпендикуляр, опущенный на основание AD. Тогда АЕ = (12 - 6)/ 2 = 3 м. Так как АЕ = FD.

    По теореме Пифагора:

   АВ2 = AE2 + BE2

   Следовательно:

   52 = 32 + BE2

   25 = 9 + BE2

   BE2 = 16

   BE = 4 м.

 

Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции...

Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции...

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7)

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть ABC данный треугольник. АС - его большая сторона. Проведем отрезок DE параллельно стороне АС. Необходимо доказать, что отрезок DE меньше стороны АС. Если мы докажем, что отрезок DE меньше большей стороны АС, то при взятии двух других точек треугольника на других его меньших сторонах, отрезок между этими точками будет также меньше стороны АС.

    Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение:

   АС = АВ сos α + ВС cos β

   Тогда отрезок DE будет равен:

   DE = DB сos α + ВE cos β

   Так как DB < AB, а BE < BC,

   то следовательно, отрезок DE меньше стороны АС.

   Допустим, что отрезок DE непараллелен стороне АС (рис.7 б). Тогда можно взять отрезок DE1 параллельный АС, который больше чем DE, и доказать, что DE1 меньше стороны АС аналогичным образом.

 

Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками...

Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками...

 
         
 

Пример 4

 
 

   Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8)

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h < OА = ОВ = R.

   Обозначим прямую, на которой лежит отрезок ОЕ, как b. Пусть точка О делит прямую b на две полупрямые, одна из которых ОЕ. Согласно аксиоме, от любой полупрямой, от ее начальной точки (точки О), в заданную полуплоскость, можно отложить только один угол определенной градусной меры α. Следовательно, отрезок ОЕ = h = ОА*cos α.

   Но так как прямая b делит плоскость на две полуплоскости, то от полупрямой ОЕ, от ее начальной точки (точки О) можно отложить такой же угол, той же градусной меры и во вторую полуплоскость, т.е. -α. Так, что ОЕ = h = ОВ*cos (-α).

   Таким образом, если выполняется условие R = OA > h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как

    h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α)

   Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ.

 

Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности...

Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности...

 
         
         
 

Пример 5

 
 

   Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9)

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС

   Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС.

    Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС < АВ + ВС,

   так как АЕ и ЕС являются проекциями AB и ВС на сторону АС. А любая проекция наклонной всегда меньше (в крайнем случае равна) самой наклонной. Т.е. АE < AB, a EC < BC.

   Таким образом, концы отрезков АВ и СВ смогут совпасть в одной точке В. И можно построить треугольник.

   Предположим, что расстояние АС > AB + BC (Рис.9 б). Тогда концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в точке В. Так как, если даже отрезки такой же длины отложить на отрезке АС, то получится, что

    АС > АВ + СB1 = AE + CE1,

   Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ1 и построить треугольник не получится.

 

Задача. Даны три положительных числа...

Рис.9 Задача. Даны три положительных числа...

 
         
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность описанная около треугольника.
2.Окружность вписанная в треугольник.
3.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
         
         
line
         
  Найти репетитора  
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru