Планиметрия. Страница 6
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 6

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 6  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 

1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
6.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line

1.Декартова система координат

 
 

   Раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются с помощью алгебры, называется аналитической геометрией. В основе этого метода лежит метод координат, который впервые был применен французским ученым Рене Декартом. Согласно этому методу любой геометрической фигуре или кривой на плоскости можно сопоставить некоторое математическое уравнение, которое связывает координаты данной фигуры или кривой.

   (Рене Декарт (1596-1650) - французский философ, математик, физик, физиолог. В своих научных работах заложил основы аналитической геометрии и дал понятие переменной величины и функции, ввел также многие математические обозначения. Сформулировал закон сохранения количества движения и дал понятие импульса силы.)

   Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямы x и y, пересекающиеся в точке О. Данные прямые называются осями координат. Прямая х - называется осью абсцисс и обозначается Ох, а прямая y - осью ординат и обозначается Оy. Точка О называется началом координат для обоих осей Ох и Оy. На оси Ох вправо откладываются положительные значения, а влево - отрицательные. По оси Оy вверх откладываются положительные значения, а вниз - отрицательные. (Рис.1)

  Декартова система координат

Рис.1 Декартова система координат.

 
         
 

   Вся плоскость делится осями координат Ox и Oy на четыре четверти I, II, III, IV. Любую точку на плоскости можно задать двумя числами (координатами). Например, точка А имеет координаты (3,4). Она будет находится в I четверти, т.к. обе координаты у нее положительны. Точка В имеет координаты (-4,-2) и она будет находится в III четверти, т.к. обе координаты у нее отрицательны. Во II и IV четвертях координаты точек будут иметь, соответственно, разные знаки.
   Введенные на плоскости кординаты x и y называются декартовыми, которые названы так в честь французского ученого Рене Декарта.

 
         

2.Расстояние между точками

 
         
 

   Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат заданы две точки А(x1;y1) и B(x2;y2). (Рис.2) Проведем через точки А и В прямые, перпендикулярные осям координат. Точка С будет являться точкой пересечения этих прямых. Тогда в полученном прямоугольном треугольнике АВС расстояние между точками А и В можно найти по теореме Пифагора как

   АВ2 = АС2 + ВС2.

   или в координатной форме:

   d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2.

   где d - расстояние между точками А и В.

   Данная формула остается верной при условии,
что x1 = x2, y1 = y2
или x1 = x2, y1 ≠ y2
или x1 ≠ x2, y1 = y2

 

Расстояние между точками

Рис.2 Расстояние между точками.

 
       

3.Уравнение окружности

   
       
 

   Пусть дана окружность радиуса R и центром в точке О(x0;y0). Найдем уравнение окружности. (Рис.3). Любая точка, лежащая на окружности, равноудалена от центра окружности. Используя формулу расстояния между двумя точками, получим:

Уравнение окружности

   Т.е. координаты любой точки, лежащей на окружности, удовлетворяют последнему уравнению.

   Если центр окружности лежит в начале координат,
т.е. x0 = y0 = 0, то уравнение имеет следующий вид:

Уравнение окружности с центром в начале координат
  Уравнение окружности

Рис.3 Уравнение окружности.

 
         
         

4.Уравнение прямой

 

    Пусть в прямоугольной системе координат задана прямая, которая пересекает ось y в точке В(0;b) и образует с осью Ох угол α (Рис.4). Если взять на прямой произвольную очку М(x,y) то тангенс угла наклона прямой с осью Ох можно найти из прямоугольного треугольника АВМ.

Уравнение окружности с центром в начале координат

    Уравнение остается справедливым и в случае, если угол α больше 90 градусов.

  Уравнение прямой

Рис.4 Уравнение прямой.

 
  Уравнение прямой (частные случаи)
         
         

5.Координаты точки пересечения

 

   Пусть даны две прямые a и b. Тогда, если они не параллельны, то они пересекаются в одной точке M. Следовательно, координаты точки пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям прямых. (рис.5)

Координаты точки пересечения
  Координаты точки пересечения

Рис.5 Координаты точки пересечения.

 
         
line
         

6.Пример 1

 

   Докажите, что четырехугольник АВСD с вершинами в точках А (-4;-4), В (-5;4), С (4;2), D (5;-6) является параллелограммом. Найдите точку пересечения его диагоналей. (Рис.6)

 
         
 

   Доказательство:

   Согласно свойству параллелограмма, у него диагонали пересекаются в точке, которая делит их пополам. Следовательно, необходимо найти середины отрезков АС и BD. Если середины этих отрезков совпадут, то точки ABCD образуют параллелограмм.

    Найдем середину отрезка АС - точку О (х;y):

    х = (4-4)/2 = 0, y = (2 - 4)/2 = -1

    Теперь найдем середину отрезка BD - точку О11;y1):

    х1 = (5-5)/2 = 0, y1 = (-6 + 4)/2 = -1

   Как видим: х = х1, y = y1.

   Отсюда можно сделать вывод, что точки ABCD образуют параллелограмм. А точка О (0;-1) является точкой пересечения его диагоналей.

  Задача. Докажите, что четырехугольник АВСD...

Рис.6 Задача. Докажите, что четырехугольник АВСD...

 
         
 

Пример 2

 
 

   Докажите, что точки А (-3;-2), В (1;1), С (3;2,5) лежат на одной прямой. Какая из них лежит между двумя другими.(Рис.7)

 
         
 

   Решение:

   Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Пусть прямая проходит через точки А и В. Тогда:

    -2 = -3*k + b прямая проходит через точку А.

   1 = k + b прямая проходит через точку В.

   Из первого уравнения b = 3*k - 2 подставим во второе:

   1 = k + 3*k - 2 или 3 = 4*k

   Отсюда, k = 3/4, b = 1/4

   Отсюда следует, что уравнение прямой, проходящей через точку А и В имеет вид:

   y = 3/4 * x + 1/4

   Проверим, удовлетворяет ли этому уравнению точка С (3;2,5):

   2,5 = 3 * 3/4 + 1/4 или 10/4 = 10/4

   Следовательно, все три точки А,В и С лежат на одной прямой. А так как xA < xВ < xС, то точка В лежит между точками А и С.

 

Задача. Докажите, что точки А (-3;-2), В (1;1), С (3;2,5)...

Рис.7 Задача. Докажите, что точки А (-3;-2), В (1;1), С (3;2,5)...

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек А (3;3) и В (-4;-4).

 
         
 

   Решение:

   Пусть эта точка С, лежащая на оси х с координатами (х;0). Тогда, так как расстояние от точек А и В равны, то можно составить следующее соотношение:

    (х - 3)2 + (0 - 3)2 = (х + 4)2 + (0 + 4)2

    x2 - 6 x + 9 + 9 = x2 + 8 x + 16 + 16

   -14 x = 14

   Следовательно, координаты точки С (-1;0)

   Действительно, если опустить перпендикуляры от точек А и В на ось х (Рис.8), то прямоугольные треугольники ADF и BCD равны, так как их катеты имеют одинаковые длины 3 и 4 ед. А следовательно, и равны гипотенузы.

 

Задача. Найдите на оси х точку...

Рис.8 Задача. Найдите на оси х точку...

 
         
         
 

Пример 4

 
 

   Даны точки А (-4;-1) и В (3;3). Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ.

 
         
 

   Решение:

   Так как отрезок АВ является диаметром окружности, то можно найти координаты центра окружности, найдя середину отрезка АВ. Составим следующие соотношения:

    хo =(-4 + 3)/ 2 = - 1/2

    yo =(-1 + 3)/ 2 = 1

   Т.е. центр окружности находится в точке О (-1/2;1).

   Теперь найдем R2, используя формулу расстояния между точками О (-1/2;1) и В (3;3):

   R2 = (3 + 1/2)2 + (3 - 1)2 = 65/4

   Таким образом, уравнение окружности примет следующий вид:

   (х + 1/2)2 + (y - 1)2 = 65/4 (Рис.9)

 

Задача. Даны точки А (-4;-1) и В (3;3)...

Рис.9 Задача. Даны точки А (-4;-1) и В (3;3)...

 
         
         
 

Пример 5

 
 

   При каких значениях с прямая x + y + c = 0 и окружность х2 + y2 = 1 пересекаются, касаются, не имеют общих точек.

 
         
 

   Решение:

   По условию задачи уравнение прямой имеет вид: x + y + c = 0. Следовательно, x = - y - c. Если окружность и прямая пересекаются, то они имеют общие точки. Поэтому мы можем подставить это выражение в уравнение окружности.

    (-y - c)2 + y2 = 1

    y2 + 2cy + c2 + y2 = 1

    2y2 + 2cy + c2 - 1 = 0

   Найдем дискриминант:

   D = (2c)2 - 4*2 (c2 - 1) = 8 - 4c2 ≥ 0

    c2 ≤ 2 или - ≤ c ≤

   Отсюда можно сделать вывод :

   а) если | c | > , то решений нет (т.е. точек пересечения);

   б) если | c | = , то окружность и прямая имеют одну точку пересечения;

   в) если | c | < , то окружность и прямая имеют две точки пересечения; (Рис.10).

 

Задача. При каких значениях с...

Рис.10 Задача. При каких значениях с...

 
         
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность описанная около треугольника.
2.Окружность вписанная в треугольник.
3.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
         
         
line
         
  Найти репетитора  
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru