Планиметрия. Страница 7
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 7

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 7  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 

1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
5.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line

1.Движение и его свойства

 
 

   Пусть на плоскости задана геометрическая фигура. Если каждую точку данной фигуры переместить на некоторое расстояние, так чтобы расстояние между точками сохранилось, то мы получим новую фигуру, преобразованную из данной. (Рис.1) Таким образом, преобразование одной фигуры в другую так, что расстояние между точками остается неизменным, называется движением.

   Например, при перемещении фигуры М на некоторое расстояние получим фигуру М1. Все точки фигуры М передут в точки фигуры М1. Расстояние между точками сохранится АВ = А1В1

Свойства движения

   При движение все точки, лежащие на прямой, перейдут в точки также лежащие на прямой. Порядок их взаимного расположения останется неизменным. Т.е. Прямые переходят в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки - в отрезки и т.д. При движении градусная мера угла между двумя полупрямыми останется неизменной.

  Движение и его свойства

Рис.1 Движение и его свойства.

 
         
         

2.Симметрия относительно точки

 
         
 

   Пусть на плоскости задана точка О. (Рис.2) Возьмем произвольную точку А. Если через точки О и А провести прямую и отложить от точки О отрезок ОА', равный отрезку АО, то точка О будет называться точкой симметрии. А точка А' - точкой симметричной точке А относительно точки О.

   При преобразовании фигур каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно точки симметрии О. Такое преобразование называется преобразованием симметрии, а фигуры называются симметричными относительно точки О.

   Если при преобразовании фигура переходит в саму себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется точкой симметрии. Например, параллелограмм, окружность, эллипс, ромб, квадрат.

   Преобразование фигур относительно точки симметрии является движением.

 

Симметрия относительно точки

Рис.2 Симметрия относительно точки.

 
       
       

3.Симметрия относительно прямой

   
       
 

   Пусть дана прямая а. (Рис.3). Если взять произвольную точку, например точку Е, провести перпендикуляр к прямой а и на продолжении этого перпендикуляра отложить отрезок ВE', равный отрезку ЕВ, то точка Е' будет симметрична относительно прямой а. Если точка лежит на прямой а, то она симметрична сама себе.

   При преобразовании фигуры в фигуру каждая точка переходит в точку С', симметричную относительно прямой а. Такое преобразование называется преобразование симметрии относительно прямой.

   Преобразование симметрии относительно прямой также является движением, т.к. согласно определению движения расстояние между точками фигуры при смещении относительно прямой не изменяется.

  Симметрия относительно прямой

Рис.3 Симметрия относительно прямой.

 
         
         

4.Параллельный перенос и его свойства

 

    Пусть на плоскости с осями координат Ox и Oy задана фигура S. Каждая точка фигуры параллельным переносом переходит в точку А' на одно и тоже расстояние. Тогда можно дать следующее определение: преобразование фигуры S в фигуру S', в котором каждая точка фигуры с координатами x и y смещается в точку с координатами x+a и y+b, где a и b постоянные числа, называется параллельным переносом.

   Параллельный перенос есть движение, т.к. все точки смещаются на одно и тоже расстояние.

    Таким образом, для получения координат новой фигуры, параллельный перенос задается следующими формулами:

x' = x + a
y' = y + b

    Следовательно:

AB2 = (xB - xA)2 + (yB - yA)2
A'B'2 = (xB' - xA')2 + (yB' - yA')2

    И AB = A'B'.

Свойства параллельного переноса

    При параллельном переносе все точки какой-либо фигуры смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние. Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые, параллельные прямые - в параллельные. Расстояния между точками какой-либо фигуры при перемещении, так же как и углы между прямыми, сохраняются.

  Параллельный перенос и его свойства

Рис.4 Параллельный перенос и его свойства.

 
   
         
         
         
line
         

5.Пример 1

 

   Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дан параллелограмм АВA'В' (Рис.5). По свойству параллелограмма, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, треугольники АОB' и ВОА' равны по двум сторонам и углу между ними. АО = ОА', ВО = ОB', углы при вершине О равны как вертикальные. А отсюда следует, что точки A' и B' симметричны точкам А и В относительно точки О. Т.е. получается, что вершины параллелограмма центрально симметричны относительно точки О.

    Теперь на стороне АВ' возьмем произвольную точку Е и проведем через нее прямую, проходящую через точку О. Треугольники ЕОВ' и BOE' равны по второму признаку равенства треугольников: по стороне и прилегающим к ней углам. BO = OB' и углы при вершинах О и В,B' равны (при вершине О как вертикальные, при вершинах B,B' как внутренние накрест лежащие). Следовательно, отрезки ЕО и ОE' равны, т.е. ЕО = ОE'.

 

Задача. Докажите, что у параллелограмма...

Рис.5 Задача. Докажите, что у параллелограмма...

 
         
 

   Отсюда можно сделать вывод, что каждая точка Х параллелограмма переходит в точку X', симметричную относительно данной точки О. Т.е. преобразование симметрии относительно точки О переводит параллелограмм в сам себя, поэтому он называется центрально-симметричной фигурой, а точка О является его центром симметрии.

 
         
         
 

Пример 2

 
 

   Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, которая проведена к основанию, является его осью симметрии.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть АВА' данный равнобедренный треугольник с основанием АА', АВ = ВA' (Рис.6). Медиана ОВ лежит на прямой а. Так как медиана делит противолежащую сторону пополам, то треугольники АВО и A'BO равны по трем сторонам (АВ = ВA', АО = ОA', сторона ОВ у них общая). Следовательно, углы при вершине О равны 90°, как равные смежные углы. А углы при вершине В равны, так как треугольники равны. Следовательно, вершина треугольника А симметрична вершине A' относительно прямой а, так как основание АA' перпендикулярно прямой а. Так же как и для любой точки, принадлежащей отрезку АО, найдется симметричная ей точка на отрезке ОА' относительно прямой а.

   Точка В лежит на прямой а, поэтому она симметрична сама себе относительно прямой а.

   Теперь проведем произвольную прямую b, параллельную основанию АА'. Она пересечет боковые стороны треугольника в точках ЕЕ'. Рассмотрим треугольники ЕВО' и BO'E'. Они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам: сторона BO' у них общая, углы при вершинах В и О' равны). Следовательно, ЕО' = O'E'.

 

Задача. Докажите, что прямая, содержащая медиану...

Рис.6 Задача. Докажите, что прямая, содержащая медиану...

 
         
 

   Отсюда следует, что любая точка Х' треугольника ВОА' симметрична точке Х треугольника АВО относительно прямой а, что является преобразованием симметрии относительно прямой. А если преобразование симметрии относительно прямой а переводит треугольник АВА' сам в себя, то прямая а является его осью симметрии.

 
         
 

Пример 3

 
 

   Параллельный перенос задается формулами x' = x + 2, y' = y - 3. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки А (1;1), В (2;2), С (-2;0).

 
         
 

   Решение:

   По условию задачи параллельный перенос задается формулами:

    x' = x + 2, y' = y - 3

   Следовательно, точка А переходит в точку А' с координатами:

    x' = 1 + 2 = 3, y' = 1 - 3 = -2, т.е. A' (3;-2).

   Точка В переходит в точку В' с координатами:

    x' = 2 + 2 = 4, y' = 2 - 3 = -1, т.е. В' (4;-1).

   Точка С переходит в точку С' с координатами:

    x' = -2 + 2 = 0, y' = 0 - 3 = -3, т.е. С' (0;-3). (Рис.7)

 

Задача. Параллельный перенос задается формулами...

Рис.7 Задача. Параллельный перенос задается формулами...

 
         
         
 

Пример 4

 
 

   Докажите, что если у двух ромбов равны диагонали, то они равны.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть даны два ромба: ABCD и A''B''С''D''. AC = A''C'', BD = B''D''. Углы между диагоналями равны 90°. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину A'', вершина В - в B'', вершина С - в С'', вершина D - в D''.

   Подвергнем ромб ABCD преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной отрезку СС' и проходящей через его середину (Рис.8). Если два ромба не располагаются друг под другом, то нужного расположения можно добиться при помощи параллельного переноса. (Напомним, что параллельный перенос также является движением со всеми вытекающими из этого свойствами.) В результате получим ромб A'B'C'D'. Если точки А и А' различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой b, перпндикулярной отрезку A'A'' и проходящей через его середину и точку С'. Таким образом, отрезок A'C' перейдет в отрезок A''C''. И в результате получим ромб A''B'''C''D'''.

   Преобразование симметрии относительно прямой является движением. А при движении точки переходят в точки, прямые - в прямые, углы между прямыми, так же как и расстояния между точками, сохраняются.

 

Задача. Докажите, что если у двух ромбов...

Рис.8 Задача. Докажите, что если у двух ромбов...

 
         
 

    Отсюда следует, что отрезок B'''D''' перпендикулярен отрезку А''C'' и проходит через его середину, а точки B''' и D''' совпадают с точками B'' и D'', так как по условию задачи диагонали двух ромбов равны. Таким образом, получается, что диагонали ромба АС и BD полностью совпадут с диагоналями A''C'' и B''D''. А из этого следует, что и вершины ромба ABCD полностью совпадут с вершинами ромба A''B''C''D'', так как они находятся на концах диагоналей. Следовательно, ромб ABCD полностью перейдет в ромб A''B''C''D''.

 
         
         
 

Пример 5

 
 

   Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (2;2) переходит в точку A'(3;-2), а точка В (-2;1) переходит в точку В'(-2;-3).

 
         
 

   Решение:

   Параллельный перенос задается формулами:

    x' = x + a, y' = y + b

   где а и b одни и те же числа. Отсюда следует, что

    a = x' - x, b = y' - y. Подставим координаты точки А и A':

    a = 3 - 2, b = -2 - 2; т.е. a = 1, b = -4

   Следовательно, параллельный перенос по точке А задается формулами: x' = x + 1, y' = y - 4

   Отсюда, координаты точки В'' будут:

    x'' = -2 + 1 = -1, y'' = 1 - 4 = -3

   т.е. B''(-1;-3), а точка B' имеет координаты (-2;-3).

   Как видим xB''≠ xB', yB'' = yB'

   Следовательно, такого параллельного переноса не существует. (Рис.9)

 

Задача. Существует ли параллельный перенос...

Рис.9 Задача. Существует ли параллельный перенос...

 
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника.
3.Окружность вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
         
         
line
         
  Найти репетитора  
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru