Планиметрия. Страница 8
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 8

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 8  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 

1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line
         

1.Вектор и его абсолютная величина

 
 

   Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами. Сам вектор обозначается прописной буквой. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора k m имеют одинаковое направление. А вектора m n противоположное. (Рис.1)

   Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.

   Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.

   Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.

  Обозначение векторов

Рис.1 Обозначение векторов.

 
 

Координаты вектора

   Любой вектор имеет свои координаты. (Рис.2) Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора e = (4-1; 3-1), т.е. е(3;2). Координаты нулевого вектора равны нулю.

   Абсолютная величина вектора - это его длина. А следовательно, ее можно определить как расстояние между двумя точками, начальной и конечной. Т.е.

Абсолютная величина вектора

   Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.

  Координаты вектора

Рис.2 Координаты вектора.

 
         
         

2.Сложение векторов

 
         
 

   Пусть заданы два вектора со своими координатами a(a1;a2) и b(b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами с(a1+b1;a2+b2) = c(c1;c2) (Рис.3)

   В векторной форме можно записать так:

Сумма векторов

   Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.

   Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор а параллельным переносом так, чтобы конец вектора а совпадал с началом вектора b. Тогда начало вектора а и конец вектора b и будет сумма векторов а и b, т.е. вектор с.

   По методу параллелограмма, если два вектора a и b имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма c, построенного на этих векторах.

   Разностью двух векторов b - a называется такой вектор с, который нужно прибавить к вектору а, чтобы получить вектор b.

Разность векторов
 

Действия над векторами

Рис.3 Сложение векторов.

 
       
       

3.Умножение вектора на число

   
       
 

   Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:

Умножение вектора начисло

   Для любых двух векторов а и b число λ можно вынести за скобку λ (а + b) = λa + λb.

   Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ < 0, то направление вектора меняется на противоположное.

   Докажем эти утверждения.

   Доказательство. Пусть на плоскости с осями координат Ox и Oy задан вектор ОА с координатами (x;y). Тогда, эти координаты удовлетворяют уравнению прямой y = kx. Если каждую координату вектора OA умножить на число λ, то получим вектор ОВ с координатами (λx;λy). Подставим координаты вектора ОВ в уравнение - λy = λkx. Перенесем правую часть уравнения в левую сторону получим: λ(y - kx) = 0. Отсюда можно сделать вывод, что координаты вектора ОВ также удовлетворяют уравнению прямой, т.е. вектор ОВ лежит на прямой ОА и имеет то же направление, что и вектор ОА. Т.к. точка В лежит на той же полупрямой, что и точка А. Если число λ отрицательное, координаты вектора ОС отрицательны и сам вектор будет лежать на дополнительной к ОА полупрямой и иметь противоположное направление.

   Абсолютная величина вектора равна:

Абсолютная величина вектора
  Умножение вектора на число

Рис.3 Умножение вектора на число.

 
         
         

4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

 

    Пусть даны два вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Тогда такие вектора будут называться коллинеарными. Если направление двух векторов совпадает, то такие вектора одинаково направлены. Если направления противоположные, то противоположно направлены. (Рис.4)

    Если два вектора отличны от нуля и коллинеарны, то можно записать следующие уравнение:

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

    Отсюда можно сделать вывод, что любой вектор можно разложить на два неколлинеарных вектора.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
  Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Рис.4 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

 
   

5.Скалярное произведение векторов

 

    Скалярное произведение двух векторов а и b называется число, которое равно сумме произведений соответствующих координат, т.е. a1b1 + a2b2. Скалярное произведение обозначается:

Скалярное произведение векторов

    Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

    Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:

Скалярное произведение векторов

   Следовательно скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)

   Так как координаты вектора а (а;0),
а вектора b (b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов a и b равно:

Скалярное произведение векторов
  Скалярное произведение векторов

Рис.5 Скалярное произведение векторов.

 
         
         
         
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность описанная около треугольника.
2.Окружность вписанная в треугольник.
3.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
         
         
line
         
  Найти репетитора  
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru