Планиметрия. Страница 9
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 9

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 9  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 

1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
6.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line

1.Преобразование подобия и его свойства

 
 

   Преобразованием подобия называется преобразование фигуры G в фигуру G', у которой расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Т.е. ОA' = k OA. Это означает, что для любых двух точек геометрической фигуры выполняется равенство A'B' = k AB. (Рис.1) Число k называется коэффициентом подобия.

   Если взять произвольную точку, например точку О. И отложить отрезок OB' = k OB, то такое преобразование фигуры G в фигуру G' называется гомотетией. А число k называется коэффициентом гомотетии. Таким образом, гомотетия есть преобразование подобия.

Свойства преобразования подобия

   Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки и при этом углы между прямыми сохраняются.

  Преобразование подобия и его свойства

Рис.1 Преобразование подобия и его свойства.

 
         
         

2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам

 
         
 

   Две фигуры называются подобными, если преобразованием подобия они переходят друг в друга. (Рис.2)

Сумма векторов

   Если две фигуры подобны третьей, то они подобны друг другу.

   Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур, соответсвующие стороны пропорциональны и соответствующие углы равны.

Подобие фигур
 

Подобие фигур

Рис.2 Подобие фигур.

 
 

Подобие треугольников по двум углам

   Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (Рис.3)

   Докажем это утверждение. Пусть даны два треугольника ABC и A'B'C'.

Подобие фигур

   Преобразованием подобия преобразуем треугольник A'B'C' в треугольник A"B"C" с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A"B"C" равен треугольнику ABC по стороне и прилегающим к ней углам. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A'B'C' и A"B"C" подобны. А т.к. треугольники ABC и A"B"C" равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A'B'C'.

 

Подобие треугольников по двум углам

Рис.3 Подобие треугольников по двум углам.

 
       
       

3.Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

   
       
 

   Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

   Докажем это утверждение. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A'B'C'.

Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

   Преобразованием подобия преобразуем треугольник A'B'C' в треугольник A"B"C" с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A"B"C" равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними со сторонами kA'B'=A"B" и kA'C'=A"C". Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A'B'C' и A"B"C" подобны. А т.к. треугольники ABC и A"B"C" равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A'B'C', т.е. kA'B'=AB, kB'C'=BC и kA'C'=AC.

  Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

Рис.3 Подобие треугольников.

 
         

4.Подобие треугольников по трем сторонам

   
       
 

   Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   Доказательство. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A'B'C'.

Подобие треугольников по трем сторонам

   Преобразованием подобия преобразуем треугольник A'B'C' в треугольник A"B"C" с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. В результате получим треугольник A"B"C", который равен треугольнику ABC по трем сторонам kA'B'=A"B", kВ'C'=В"C" и kA'C'=A"C". Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A'B'C' и A"B"C" подобны. И т.к. треугольники ABC и A"B"C" равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A'B'C'.

  Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам

Рис.4 Подобие треугольников по трем сторонам.

 
         
   

5.Подобие прямоугольных треугольников

 

    Если два прямоугольных треугольника имеют по одному равному острому углу, то такие треугольники подобны.

    Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Проведем высоту CD. Треугольники ABC и ADC подобны, т.к. угол А у них общий. Так же как и треугольники ADC и BDC. Следовательно:

Подобие прямоугольных треугольников

   Т.е. катет прямоугольного треугольника равен средней геометрической гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. А высота в прямоугольном треугольнике равна средней геометрической между проекциями катетов на гипотенузу.

   Отсюда можно сделать вывод, что в любом треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (Свойство биссектрисы треугольника).

  Подобие прямоугольных треугольников

Рис.5 Подобие прямоугольных треугольников.

 
 

   Докажем это утверждение. Пусть дан треугольник ABC. (Рис.6) BE - биссектриса. Треугольники ABE и BCD подобны. Углы В у них равны. Треугольники ADE и DCF также подобны. Углы D у них равны, как вертикальные. Отсюда можно записать следующие соотношения для двух пар треугольников.

Подобие прямоугольных треугольников

   Т.е. отрезки AD и DC пропорциональны сторонам AB и BC.

  Подобие прямоугольных треугольников

Рис.6 Подобие прямоугольных треугольников.

 
         
         
line
         

6.Пример 1

 

   Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть даны две окружности F и F' с радиусами R1 и R2 . Подберем коэффициент k так, чтобы kR1 = R2. Необходимо доказать, что окружности подобны.

   Зададим на плоскости систему координат с осями Оx и Oy таким образом, чтобы центр первой окружности F совпал с началом координат. Параллельным переносом переместим вторую окружность F' так, чтобы ее центр также совпал с началом координат. На окружности F возьмем две произвольные точки А и В. И проведем между ними хорду. Также проведем к этим точкам радиусы ОА и ОВ, которые продлим до окружности F', т.е. ОA' и OB'. Оси Оx и Оy повернем так, чтобы ось Oy пересекала хорду под прямым углом (Рис.7). Тогда k OA = OA'.

   Теперь рассмотрим треугольник ОАС.

   Задача.

 

Задача. Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

Рис.7 Задача. Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

 
         
 

   Таким образом, мы пришли к выводу, что A'B' = k AB. А это означает, что расстояние между любыми двумя точками окружности F' в k раз больше, чем расстояние между подобными точками в окружности F, т.е фигуру F' можно получить преобразованием подобия или гомотетией относительно точки О. А это значит, что окружности F и F' подобны.

 
         
         
 

Пример 2

 
 

   У треугольников АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. AB = 6, AC = 9, A1B1 = 10, B1C1 = 10. Найдите остальные стороны треугольников.

 
         
 

   Решение:

   Пусть даны два треугольника АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (Рис.8). Данные треугольники подобны по двум углам: ∠A = ∠A1 и ∠В = ∠B1. Отсюда следует, что все стороны второго треугольника отличаются от сторон первого треугольника в k число раз, т.е. коэффициент подобия. Найдем число k:

   k = AB / А1В1 = 6 / 10 = 3 / 5

   Отсюда следует, что

   ВС = k * В1С1 = (3 / 5) * 10 = 6 см

   А1С1 = АС / k = 9 / (3 / 5) = 15 см

 

Задача. Подобие треугольников.

Рис.8 Задача. У треугольников АВС и А1В1С1...

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   В трапеции ABCD основание АD = 32 см, а основание ВС = 8 см. Угол между диагональю АС и стороной СD равен углу ∠АВС, т.е. ∠АВС = ∠АСD. Найдите диагональ АС.

 
         
 

   Решение:

   В трапеции два основания лежат на параллельных прямых (Рис.9). Отсюда следует, что угол ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, треугольники АВС и АСD подобны по двум углам: ∠AВС = ∠АCD по условию задачи, ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы.

   Тогда можно составить следующие соотношение:

    k = АС / ВС = AD / AC . Следовательно,

   AC2 = BC * AD

   AC2 = 8 * 32 = 256

   Отсюда, АС = 16 см.

 

Задача. В трапеции ABCD основание АD = 32 см...

Рис.9 Задача. В трапеции ABCD основание АD = 32 см...

 
         
         
 

Пример 4

 
 

   В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, если в треугольнике АВС ∠А = α, ∠В = β, ∠С = γ.

 
         
 

      Решение:

   Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFC и ABE. Они подобны по одному острому углу, так как угол при вершине А у них общий. Следовательно, угол ∠FCE = ∠ABE. Обозначим его как ϕ3. Аналогичным образом обозначим:

    ∠BAD = ∠FCB = ϕ1

    ∠DAC = ∠CBE = ϕ2

 
         
 

   Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFO и DOC. Они подобны по одному острому углу: углы при вершине О равны как вертикальные (Рис.10). Отсюда следует, что треугольники FOD и AOC также подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

   Так как OD / OF = OC / AO

   Следовательно, OD / OС = OF / AO

   Отсюда следует равенство углов:

    ∠DFC = ∠DAC = ϕ2

   Треугольники BFO и EOC подобны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а углы при вершинах F и E прямые. Отсюда следует подобие треугольников FOE и BOC. Следовательно,

    ∠EFC = ∠EBC = ϕ2

 

Задача. В остроугольном треугольнике АВС...

Рис.10 Задача. В остроугольном треугольнике АВС...

 
         
 

   Так как ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 90° (из прямоугольного треугольника BFC), то в треугольнике FDE угол при вершине F равен:

    ∠F = 2 * ϕ2 = 180° - 2 * (ϕ1 + ϕ3) = 180° - 2 * γ

   Аналогичным образом выводится, что:

    ∠D = 2 * ϕ3 = 180° - 2 * (ϕ1 + ϕ2) = 180° - 2 * α

    ∠E = 2 * ϕ1 = 180° - 2 * (ϕ2 + ϕ3) = 180° - 2 * β

 
         
 

Пример 5

 
 

   В треугольник ABC вписан ромб ADEF, таким образом, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. АВ = 12 см, АС = 4 см. Найдите сторону ромба.

 
         
 

   Решение:

   Так как у ромба противоположные стороны параллельны, то треугольники АВС и DBE подобны по двум углам: ∠А = ∠D, ∠C = ∠E как соответственные (Рис.11).

   Тогда можно составить следующие соотношение:

   AC / DE = AB / DB

   AC / DE = AB / (AB - AD)

   так как AD = DE, то

   AC / DE = AB / (AB - DE)

   4 / DE = 12 / (12 - DE)

   48 - 4 DE = 12 DE

   48 = 16 DE

   Отсюда, DE = 3 см.

 

Задача. В треугольник ABC вписан ромб ADEF...

Рис.11 Задача. В треугольник ABC вписан ромб ADEF...

 
         
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника.
3.Окружность вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
         
         
line
         
  Найти репетитора  
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru