Планиметрия. Страница 10
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 10

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 10  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 

1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line

1.Углы, вписанные в окружность

 
 

   Если на плоскости задать угол, то он разобьет плоскость на две части. (Рис.1) Каждая из этих частей называется плоским углом. Если два плоских угла имеют одну общую сторону, то они называются дополнительными.

   Два дополнительных угла, образованных двумя полупрямыми, исходящих из одной общей точки, имеют градусные меры α и 360° - α.

   Плоский угол, имеющий вершину в центре окружности, называется центральным углом.

Плоский угол
  Плоский угол

Рис.1 Плоский угол.

 
         
         
         
 

   Теорема. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. (Рис.2)

   Доказательство. Рассмотрим угол, вписанный в окружность, одна сторона которого проходит через центр окружности. (Рис. 2а)

   Треугольник АOВ равнобедренный. Углы А и В равны α, а их сумма равна 180° минус угол О. Угол АОС имеет градусную меру также 180° минус угол О, т.е. 2α.

   Рассмотрим случай, когда стороны угла не проходят через центр окружности, угол АВС = α + β (Рис.2b)

   Треугольники АВО и ОВС равнобедренные. У них углы, лежащие на окружности равны (углы А и В в треугольнике АВО и углы В и С в треугольнике ОВС).

   Например, в треугольнике АВО сумма углов А и В равна 180° минус угол О. Угол АОD, как дополнительный, также равен 180° минус угол О , т.е. 2α.

   В треугольнике ОВС сумма углов В и С равна 180° минус угол О. А угол DОС также равен 180° минус угол О, т.е. 2β.

   Следовательно, угол АОС равен 2(α + β).

   Рассмотрим третий случай (рис.2с).

Плоский угол, вписанный в окружность

   Углы, вписанные в окружнось, стороны которых проходят через точки А и F, а вершины лежат по одну сторону отрезка АF, равны.

Углы, вписанные в окружность
 

Угол, вписанный в окружность

Рис.2 Угол, вписанный в окружность.

 
       
       

2.Пропорциональность хорд и секущих окружности

   
       
 

   Если хорды АВ и СD пересекаются в точке О, то ВО*ОD = AO*OC.

   Полученное равенство вытекает из подобия треугольников (Рис.3а). Т.к. треугольники АОВ и СОD подобны. У них углы при точке О равны как вертикальные, а углы В и С как вписанные в окружность. Отсюда можно записать следующее соотношение:

Пропорциональность хорд и секущих окружности

   Две секущие, исходящие из одной точки и пересекающие окружность в точках А, В, С и D образуют отрезки такие, что ОD*ОC = OВ*OА (Рис.3b).

   Данное соотношение получено из подобия треугольников. Треугольники ОBD и OAC подобны. Угол О у них общий, а углы В и С равны как углы, вписанные в окружность. Отсюда можно составить следующее соотношение:

Пропорциональность хорд и секущих окружности
  Пропорциональность хорд и секущих окружности

Рис.3 Пропорциональность хорд и секущих окружности.

 
         

3.Теорема косинусов

   
       
 

   Теорема. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

   Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. (Рис.4) Проведем высоту ВD.

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике BDC
BC2 = BD2 + DC2

BD = AB sin α
DC = AC - AB cos α

Подставив эти равенства в первое выражение, получим:

BC2 = (AB sin α)2 + (AC - AB cos α)2

BC2 = AB2 sin2 α + AC2 - 2 АС AB cos α + AB2 cos2 α

BC2 = AB2( sin2 α + cos2 α) + AC2 - 2 АС AB cos α

BC2 = AB2 + AC2 - 2 АС AB cos α

  Теорема косинусов

Рис.4 Теорема косинусов.

 
         
   

4.Теорема синусов

 

    Теорема: Стороны любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    Пусть дан треугольник ABC и противолежащие углы α, β, γ. (Рис.5) Проведем высоту BD. Из прямоугольных треугольников ABD и BDC запишем:

Теорема синусов

   Проведем высоту АЕ. Из прямоугольных треугольников AЕВ и АЕC запишем:

Теорема синусов

   Если угол α тупой, то отношения не изменятся,
т.к. sin α = sin (180° - α).

  Теорема синусов

Рис.5 Теорема синусов.

 
         

5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике

 

    В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

    Пусть дан треугольник АВС и углы α, β, γ. (Рис.6) Тогда:

Соотношение между углами и сторонами в треугольнике

    Если углы α и γ острые и α > γ , то sin α > sin γ и ВС > AB. А если угол α тупой, то sin α = sin (180 - α) > sin γ и ВС > AB также.

  Соотношение между углами и сторонами в треугольнике

Рис.6 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

 
         
         
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность описанная около треугольника.
2.Окружность вписанная в треугольник.
3.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
         
         
line
         
  Найти репетитора  
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru