|
1.Углы, вписанные в окружность.
|
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
![]() |
||||
1.Углы, вписанные в окружность |
||||
Если на плоскости задать угол, то он разобьет плоскость на две части. (Рис.1) Каждая из этих частей называется плоским углом. Если два плоских угла имеют одну общую сторону, то они называются дополнительными. Два дополнительных угла, образованных двумя полупрямыми, исходящих из одной общей точки, имеют градусные меры α и 360° - α. Плоский угол, имеющий вершину в центре окружности, называется центральным углом. ![]() |
![]() Рис.1 Плоский угол. |
|||
Теорема. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. (Рис.2) Доказательство. Рассмотрим угол, вписанный в окружность, одна сторона которого проходит через центр окружности. (Рис. 2а) Треугольник АOВ равнобедренный. Углы А и В равны α, а их сумма равна 180° минус угол О. Угол АОС имеет градусную меру также 180° минус угол О, т.е. 2α. Рассмотрим случай, когда стороны угла не проходят через центр окружности, угол АВС = α + β (Рис.2b) Треугольники АВО и ОВС равнобедренные. У них углы, лежащие на окружности равны (углы А и В в треугольнике АВО и углы В и С в треугольнике ОВС). Например, в треугольнике АВО сумма углов А и В равна 180° минус угол О. Угол АОD, как дополнительный, также равен 180° минус угол О , т.е. 2α. В треугольнике ОВС сумма углов В и С равна 180° минус угол О. А угол DОС также равен 180° минус угол О, т.е. 2β. Следовательно, угол АОС равен 2(α + β). Рассмотрим третий случай (рис.2с). ![]() Углы, вписанные в окружнось, стороны которых проходят через точки А и F, а вершины лежат по одну сторону отрезка АF, равны. ![]() |
Рис.2 Угол, вписанный в окружность. |
|||
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности |
||||
Если хорды АВ и СD пересекаются в точке О, то ВО*ОD = AO*OC. Полученное равенство вытекает из подобия треугольников (Рис.3а). Т.к. треугольники АОВ и СОD подобны. У них углы при точке О равны как вертикальные, а углы В и С как вписанные в окружность. Отсюда можно записать следующее соотношение: ![]() Две секущие, исходящие из одной точки и пересекающие окружность в точках А, В, С и D образуют отрезки такие, что ОD*ОC = OВ*OА (Рис.3b). Данное соотношение получено из подобия треугольников. Треугольники ОBD и OAC подобны. Угол О у них общий, а углы В и С равны как углы, вписанные в окружность. Отсюда можно составить следующее соотношение: ![]() |
![]() Рис.3 Пропорциональность хорд и секущих окружности. |
|||
3.Теорема косинусов |
||||
Теорема. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. (Рис.4) Проведем высоту ВD. |
![]() Рис.4 Теорема косинусов. |
|||
4.Теорема синусов |
||||
Теорема: Стороны любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Пусть дан треугольник ABC и противолежащие углы α, β, γ. (Рис.5) Проведем высоту BD. Из прямоугольных треугольников ABD и BDC запишем: ![]() Проведем высоту АЕ. Из прямоугольных треугольников AЕВ и АЕC запишем: ![]() Если угол α тупой, то отношения не изменятся, |
![]() Рис.5 Теорема синусов. |
|||
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике |
||||
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Пусть дан треугольник АВС и углы α, β, γ. (Рис.6) Тогда: ![]() Если углы α и γ острые и α > γ , то sin α > sin γ и ВС > AB. А если угол α тупой, то sin α = sin (180 - α) > sin γ и ВС > AB также. |
![]() Рис.6 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике. |
|||
![]() |
||||
6.Пример 1 |
||||
В треугольнике две стороны равны 5 см и 8 см, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону треугольника (Рис.7). |
||||
Решение: |
Рис.7 Задача. В треугольнике две стороны равны 5 см и 8 см... |
|||
Пример 2 |
||||
Стороны треугольника 4 см и 5 см. Найдите проекции сторон 4 см и 5 см на сторону 6 см. |
||||
Решение: |
Рис.8 Задача. Стороны треугольника 4 см и 5 см... |
|||
Пример 3 |
||||
Найдите высоту здания, если известны углы α и β и расстояние d (Рис.9). |
||||
Решение: |
Рис.9 Задача. Найдите высоту здания, если известны углы α и β... |
|||
Пример 4 |
||||
В треугольнике АВС проведена медиана CD (Рис.10). Докажите, что если АС > BC, то угол ∠ACD < ∠BCD. |
||||
Доказательство: |
Рис.10 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана CD... |
|||
Пример 5 |
||||
В треугольнике АВС сторона АВ = 14 см, АС = 10 см, α = 45° (Рис.11). Найдите сторону ВС и углы β и γ. |
||||
Решение: |
Рис.11 Задача. В треугольнике АВС сторона АВ = 14 см... |
|||
![]() |
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
Содержание |
||||
Страница 1 | Страница 7 | |||
1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии. 3.Смежные углы. 4.Вертикальные углы. 5.Перпендикулярные прямые. 6.Признаки равенства треугольников. |
1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки. 3.Симметрия относительно прямой. 4.Параллельный перенос и его свойства. |
|||
Страница 2 | Страница 8 | |||
1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых. 4.Сумма углов треугольника. 5.Единственность перпендикуляра к прямой. 6.Высота, биссектриса и медиана треугольника. 7.Свойство медианы равнобедренного треугольника. |
1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число. 4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. 5.Скалярное произведение векторов. |
|||
Страница 3 | Страница 9 | |||
1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника. 3.Окружность вписанная в треугольник. 4.Геометрическое место точек. |
1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам. 3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. 4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам. 5.Подобие прямоугольных треугольников. |
|||
Страница 4 | Страница 10 | |||
1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма. 3.Ромб. 4.Теорема Фалеса. 5.Средняя линия треугольника. 6.Трапеция. 7.Теорема о пропорциональных отрезках. |
1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности. 3.Теорема косинусов. 4.Теорема синусов. 5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике. |
|||
Страница 5 | Страница 11 | |||
1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник. 3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. 4.Основные тригонометрические тождества. |
1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников. 3.Подобие многоугольников. 4.Длина окружности. |
|||
Страница 6 | Страница 12 | |||
1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками. 3.Уравнение окружности. 4.Уравнение прямой. 5.Координаты точки пересечения. |
1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма. 3.Площадь треугольника. 4.Площадь круга. 5.Площадь подобных фигур. 6.Площадь трапеции. |
|||
|
||
www.mathtask.ru | ||