Планиметрия. Страница 10

1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
6.Примеры.

1.Углы, вписанные в окружность

   Если на плоскости задать угол, то он разобьет плоскость на две части. (Рис.1) Каждая из этих частей называется плоским углом. Если два плоских угла имеют одну общую сторону, то они называются дополнительными.

   Два дополнительных угла, образованных двумя полупрямыми, исходящих из одной общей точки, имеют градусные меры α и 360° - α.

   Плоский угол, имеющий вершину в центре окружности, называется центральным углом.

Рис.1 Плоский угол.

   Теорема. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. (Рис.2)

   Доказательство. Рассмотрим угол, вписанный в окружность, одна сторона которого проходит через центр окружности. (Рис. 2а)

   Треугольник АOВ равнобедренный. Углы А и В равны α, а их сумма равна 180° минус угол О. Угол АОС имеет градусную меру также 180° минус угол О, т.е. 2α.

   Рассмотрим случай, когда стороны угла не проходят через центр окружности, угол АВС = α + β (Рис.2b)

   Треугольники АВО и ОВС равнобедренные. У них углы, лежащие на окружности равны (углы А и В в треугольнике АВО и углы В и С в треугольнике ОВС).

   Например, в треугольнике АВО сумма углов А и В равна 180° минус угол О. Угол АОD, как дополнительный, также равен 180° минус угол О , т.е. 2α.

   В треугольнике ОВС сумма углов В и С равна 180° минус угол О. А угол DОС также равен 180° минус угол О, т.е. 2β.

   Следовательно, угол АОС равен 2(α + β).

   Рассмотрим третий случай (рис.2с).

   Углы, вписанные в окружнось, стороны которых проходят через точки А и F, а вершины лежат по одну сторону отрезка АF, равны.

Рис.2 Угол, вписанный в окружность.

2.Пропорциональность хорд и секущих окружности

   Если хорды АВ и СD пересекаются в точке О, то ВО*ОD = AO*OC.

   Полученное равенство вытекает из подобия треугольников (Рис.3а). Т.к. треугольники АОВ и СОD подобны. У них углы при точке О равны как вертикальные, а углы В и С как вписанные в окружность. Отсюда можно записать следующее соотношение:

   Две секущие, исходящие из одной точки и пересекающие окружность в точках А, В, С и D образуют отрезки такие, что ОD*ОC = OВ*OА (Рис.3b).

   Данное соотношение получено из подобия треугольников. Треугольники ОBD и OAC подобны. Угол О у них общий, а углы В и С равны как углы, вписанные в окружность. Отсюда можно составить следующее соотношение:

Рис.3 Пропорциональность хорд и секущих окружности.

3.Теорема косинусов

   Теорема. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

   Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. (Рис.4) Проведем высоту ВD.

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике BDC
BC² = BD² + DC²

BD = AB sin α
DC = AC - AB cos α

Подставив эти равенства в первое выражение, получим:

BC² = (AB sin α)² + (AC - AB cos α)²

BC² = AB² sin² α + AC² - 2 АС AB cos α + AB² cos² α

BC² = AB²( sin² α + cos² α) + AC² - 2 АС AB cos α

BC² = AB² + AC² - 2 AB АС cos α

Рис.4 Теорема косинусов.

4.Теорема синусов

    Теорема: Стороны любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    Пусть дан треугольник ABC и противолежащие углы α, β, γ. (Рис.5) Проведем высоту BD. Из прямоугольных треугольников ABD и BDC запишем:

   Проведем высоту АЕ. Из прямоугольных треугольников AЕВ и АЕC запишем:

   Если угол α тупой, то отношения не изменятся,
т.к. sin α = sin (180° - α).

Рис.5 Теорема синусов.

5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике

    В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

    Пусть дан треугольник АВС и углы α, β, γ. (Рис.6) Тогда:

    Если углы α и γ острые и α > γ , то sin α > sin γ и ВС > AB. А если угол α тупой, то sin α = sin (180 - α) > sin γ и ВС > AB также.

Рис.6 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

6.Пример 1

   В треугольнике две стороны равны 5 см и 8 см, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону треугольника (Рис.7).

   Решение:

   Так как нам известны две стороны и угол между ними, то можно применить теорему косинусов:

    BC² = AB² + AC² - 2 AB AC cos α

    Косинус угла α найдем из соотношения:

   sin² α + cos² α = 1

   Следовательно, cos α = 0,8

   Теперь подставим полученное значение в формулу:

   BC² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * 0,8

   BC² = 25 + 64 - 64

   BC² = 25

   Отсюда, BC = 5 см.

Рис.7 Задача. В треугольнике две стороны равны 5 см и 8 см...

Пример 2

   Стороны треугольника 4 см и 5 см. Найдите проекции сторон 4 см и 5 см на сторону 6 см.

   Решение:

   Опустим перпендикуляр BD на сторону АС (Рис.8). Тогда рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и BCD. По теореме Пифагора найдем BD в обоих треугольниках.

   ВD² = AB² - AD² и ВD² = BC² - DC²

   Приравняем правые части этих соотношений.

   AB² - AD² = BC² - DC²

   Учитывая, что АС = AD + DC, получим:

   AB² - AD² = BC² - (АС - AD)²

   AB² = BC² - АС² + 2 AC AD

   4² = 5² - 6² + 2 * 6 AD

   AD = 9/4 см.

   Следовательно, DС = 15/4 см.

Рис.8 Задача. Стороны треугольника 4 см и 5 см...

Пример 3

   Найдите высоту здания, если известны углы α и β и расстояние d (Рис.9).

   Решение:

   Рассмотрим треугольник АВС. По теореме синусов составим следующие соотношение:

   BC / sin (180° - α) = AC / sin (180° - (180° - α) - β)

   BC / sin α = AC / sin (α - β)

   BC = AC sin α / sin (α - β)

   Теперь опустим высоту из вершины В на прямую АС. Из полученного прямоугольного треугольника высота здания будет равна ВС sin β, т.е.:

   h = AC sin α sin β / sin (α - β) или

   h = d sin α sin β / sin (α - β).

Рис.9 Задача. Найдите высоту здания, если известны углы α и β...

Пример 4

   В треугольнике АВС проведена медиана CD (Рис.10). Докажите, что если АС > BC, то угол ∠ACD < ∠BCD.

   Доказательство:

   Рассмотрим треугольники АDС и BDC. Для этих треугольников по теореме синусов составим следующие соотношения:

   АC / sin (180° - ϕ) = AD / sin β

   BC / sin ϕ = DB / sin α

   Учитывая, что sin (180° - ϕ) = sin ϕ и AD = DB, перепишим данные соотношения:

   АC / sin ϕ = AD / sin β

   BC / sin ϕ = AD / sin α

   Решим эти соотношения относительно AD и приравняем их:

   АC sin β / sin ϕ = BC sin α / sin ϕ

   АC sin β = BC sin α

   Из последнего соотношения видно, что если АС > BC, то для выполнения этого равенства необходимо чтобы sin β был меньше sin α, т.е. угол β был меньше угла α.

Рис.10 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана CD...

Пример 5

   В треугольнике АВС сторона АВ = 14 см, АС = 10 см, α = 45° (Рис.11). Найдите сторону ВС и углы β и γ.

   Решение:

   По теореме косинусов найдем сторону ВС:

   BC² = AB² + AC² - 2 AB AC cos α

   BC² = 14² + 10² - 2 * 14 * 10 * 1 /

   BC ≈ 9,9 см.

   Теперь по теореме синусов составим следующие соотношение:

   ВC / sin α = AВ / sin γ

   9,9 / 1 / = 14 / sin γ

   sin γ = 0,999 или γ ≈ 89°

   АC / sin β = AВ / sin γ

   10 / sin β = 14 / 0,999

   sin β = 0,713 или β ≈ 46°.

Рис.11 Задача. В треугольнике АВС сторона АВ = 14 см...

Содержание