Планиметрия. Страница 11
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 11

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 11  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 

1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
5.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line

1.Многоугольники. Правильные многоугольники

 
 

   Ломаной А1,А2...Аn называется геометрическая фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков (Рис.1). Длина ломаной больше отрезка, соединяющего ее концы и равна сумме длин ее звеньев. Если длина ломаной равна отрезку, соединяющего ее концы, то такая ломаная есть прямая.

   Пусть начальная и конечные точки ломаной совпадают, тогда такая фигура называется многоугольником. Многоугольники могут иметь n вершин и соответственно n сторон. Если многоугольник лежит в одной полуплоскости относительно каждой своей стороны, то он называется выпуклым. В противном случае невыпуклый.

Многоугольник

   Сумма углов выпуклого многоугольника S = 180°(n - 2).

  Ломаная. Многоугольник

Рис.1 Ломаная. Многоугольник..

 
         
         
         
 

   Многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны называется правильным.

   Теорема. Любой правильный выпуклый многоугольник вписан в окружность и описан около окружности.

   Доказательство. Пусть ABCDEF - правильный многоугольник. (Рис. 2)

   Проведем биссектрисы из вершин А и В. Треугольник АОВ равнобедренный. Стороны АО и ОВ равны, т.к. они лежат против равных углов. Проведем прямую ОС. Тогда треугольники АОВ и ВОС равны по первому признаку. Сторона ОВ у них общая, стороны АВ и ВС равны по условию, т.к. это правильный многоугольник. Углы при вершине В равны. Следовательно ОВ = ОС. Отсюда следует, что ОА = ОВ = ОС. Таким образом, можно доказать, что треугольники ВОС и СОD равны и т.д. Следовательно отрезки, соединяющие вершины многоугольника и точку О равны. Это означает, что эти отрезки являются радиусом описанной окружности.

   Т.к. треугольники равны, то и высоты, опущенные на стороны, тоже равны. А они будут являться радиусом вписанной окружности.

 

Многоугольник вписанный в окружность и описанный около окружности

Рис.2 Многоугольник вписанный в окружность и описанный около окружности.

 
       
       

2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников

   
       
 

   Пусть дан правильный многоугольник ABCDEF (Рис.3). Найдем радиус описанной (R = ОВ) и вписанной (r = ОР) окружностей .

Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников

   Где n - число углов многоугольника.

  Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников

Рис.3 Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.

 
         

3.Подобие многоугольников

   
       
 

   Теорема. Правильные выпуклые многоугольники подобны. Если правильные выпуклые многоугольники имеют равные стороны, то они равны.

   Доказательство. Пусть даны два правильных выпуклых многоугольника В и А' c вершинами В1,В2,В3,В4,В5,В6 и A'1,A'2,A'3,A'4,A'5,A'6 (Рис.4). При этом k = А'1А'2/В1В2. Подвергнем многоугольник В гомотетии, т.е. преобразованию подобия, с коэффициентом преобразования k. Т.к. при преобразовании подобия расстояния между точками изменяется в одно и тоже число k раз и углы при этом сохраняются, то полученный многоугольник А1А2А3А4А5А6 равен многоугольнику А'1А'2А'3А'4А'5А'6. Т.к. его стороны, например А1А2 = k В1В2 = (А'1А'2/В1В2) * В1В2 = А'1А'2.
Т.е. А1А2 = А'1A'2.

   Отсюда можно сделать вывод, что у правильных n - угольников отношения периметров, радиусов (диаметров) описанных и вписанных окружностей равны.

4. Длина окружности

   Теорема. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от размера окружности, т.е. величина постоянная.

   Доказательство. Пусть даны две окружности с диаметрами D1 и D2. L1 и L2 - длины этих окружностей.

Длина окружности Длина окружности

   Впишем в нашу окружность правильный многоугольник с большим числом сторон n. Тогда длина окружности приблизительно будет равна периметру многоугольника L ≈ P

Длина окружности
  Подобие многоугольников

Рис.4 Подобие многоугольников.

 
         
 

   По свойству выпуклых правильных многоугольников известно, что отношение периметров, радиусов и диаметров вписанных и описанных окружностей равны. Следовательно:

Длина окружности

   Таким образом мы пришли к противоречию. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная π ≈ 3.14159

Длина окружности
 
         
line
         

5.Пример 1

 

   Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть A1 A2 A3 A4 A5 ... An - данная ломаная (Рис.5). Заменим звенья A1A2 и A2A3 одним звеном A1A3. Теперь рассмотрим треугольник A1A2A3. По свойству треугольника имеем:

    A1A3 < A1A2 + A2A3

    Также как и в треугольнике A1A3A4

    A1A4 < A1A3 + A3A4

    Теперь рассмотрим треугольник A1A5An

    A1A5 < A1An + AnA5

    А в треугольнике A1A5A4

    A1A4 < A1A5 + A4A5

    Так как длина ломаной равна:

    d = A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + A5An + ... + AnA1

 

Задача. Докажите, что у замкнутой ломаной...

Рис.5 Задача. Докажите, что у замкнутой ломаной...

 
         
 

    То заменим первые три звена на звено меньшей длины A1A4, а остальные звенья соответственно на A1A4. Тогда получим:

    d > A1A4 + A1A4 = 2 A1A4 или d / 2 > A1A4.

   Т.е. длина между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной меньше половины длины ломаной. Вместо точки A4 можно взять любую промежуточную точку.

 
         
 

Пример 2

 
 

   Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дана окружность с центром в точке О, радиусом ОА и хордой АВ (Рис.6). ОЕ = ОА / 2. Тогда, cos α = EO / OA = 1/2. Т.е. угол α = 60°.

   Следовательно, ∠ АОВ = ∠ АОС = ∠ ВОС = 120°.

   Таким образом, треугольники АОВ, АОС и ВОС равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). У них сторона АО = ОВ = ОС = R, которые являются общими для каждой пары треугольников, и углы между ними равны по 120°.

    Следовательно, хорда АВ = АС = ВС. А это значит, что вписанный в окружность треугольник АВС является правильным.

 

Задача. Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу...

Рис.6 Задача. Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу...

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   Докажите, что у правильного треугольника центры описанной и вписанной окружностей совпадают, а также, что радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дан правильный треугольник АВС (Рис.7). Проведем биссектрисы из вершин А и С, которые пересекутся в точке О.

   Так как у правильного треугольника все углы равны, т.е. углы при вершинах А, В и С, то ∠ ОАЕ = ∠ ОСЕ, и следовательно, АО = ОС. Далее, соединим точку О с вершиной В - ВО. Треугольники АОС и ВОС (также как и треугольники ВОС и АОВ) равны по первому признаку равенства треугольников: у них стороны АС и ВС равны, т.к. треугольник АВС правильный, а сторона ОС у них общая. Углы между сторонами равны α/2, так как ОС биссектриса. Следовательно, ОС = ОВ. И ОВ является биссектрисой.

   Отсюда следует, что точка пересечения биссектрис, т.е. точка О, является центром описанной окружности с радиусом АО = ОС = ОВ. Одновременно с этим, точка О является центром вписанной окружности, так как из равенства равнобедренных треугольников АОС, ВОС и АОВ следует, что высоты ОЕ, ОF и OD равны (расстояния от точки О до сторон треугольника), которые, таким образом, являются радиусами вписанной окружности. Т.е. центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

 

Задача. Докажите, что у правильного треугольника...

Рис.7 Задача. Докажите, что у правильного треугольника...

 
         
 

   Теперь докажем, что 2 ОЕ = АО. Рассмотрим треугольник АОЕ. Так как у него все углы равны 60° (углы α), то α/2 = 30°. Из прямоугольного треугольника АОЕ следует: sin α/2 = sin 30° = ОЕ / АО = 1/2. Таким образом, 2 ОЕ = АО.

 
         
         
 

Пример 4

 
 

   В окружность, радиус которой равен Задача., вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан правильный треугольник АВС (Рис.8). АО - радиус описанной окружности. На стороне АС построен квадрат ACDE. Найдем его сторону.

   Из прямоугольного треугольника АОF:

    AF = АО cos α.

    AF = Задача. Задача. / 2 = Задача. / Задача. (cos 30° = Задача. / 2)

   Следовательно, АС = Задача. Задача. = Задача.

   Теперь из прямоугольного треугольника ЕАС запишем:

    ЕС2 = AC2 + AE2

   Так как ACDE квадрат, то АЕ = АС.

    ЕС2 = 2AC2

    ЕС2 = 2Задача. 2 = 12

    ЕС = 2Задача.

 

Задача. В окружность, радиус которой равен...

Рис.8 Задача. В окружность, радиус которой равен...

 
         
 

   Следовательно, радиус окружности ЕР, описанной около квадрата, равен Задача. .

 
         
         
 

Пример 5

 
 

   Сторона правильного многоугольника равна 12 см. А радиус вписанной окружности равен 8 см. Найдите радиус описанной окружности.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан правильный многоугольник АСD... (Рис.9). Сторона АС = 12 см, r = OB = 8 см. Найти R = AO.

   Из прямоугольного треугольника АОВ:

    AO2 = AB2 + OB2

    AB = AC/2 = 12/2 = 6 см.

    AO2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

   Отсюда следует, что AO = R = 10 см.

 

Задача. Сторона правильного многоугольника равна 4 см...

Рис.9 Задача. Сторона правильного многоугольника равна 4 см...

 
         
         
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника.
3.Окружность вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
         
         
line
         
  Найти репетитора  
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru