Math Task
 

 

Планиметрия. Страница 11

       
 

1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
5.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
  line  

1.Многоугольники. Правильные многоугольники

 
 

   Ломаной А1,А2...Аn называется геометрическая фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков (Рис.1). Длина ломаной больше отрезка, соединяющего ее концы и равна сумме длин ее звеньев. Если длина ломаной равна отрезку, соединяющего ее концы, то такая ломаная есть прямая.

   Пусть начальная и конечные точки ломаной совпадают, тогда такая фигура называется многоугольником. Многоугольники могут иметь n вершин и соответственно n сторон. Если многоугольник лежит в одной полуплоскости относительно каждой своей стороны, то он называется выпуклым. В противном случае невыпуклый.

Многоугольник

   Сумма углов выпуклого многоугольника S = 180°(n - 2).

  Ломаная. Многоугольник

Рис.1 Ломаная. Многоугольник..

 
         
         
         
 

   Многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны называется правильным.

   Теорема. Любой правильный выпуклый многоугольник вписан в окружность и описан около окружности.

   Доказательство. Пусть ABCDEF - правильный многоугольник. (Рис. 2)

   Проведем биссектрисы из вершин А и В. Треугольник АОВ равнобедренный. Стороны АО и ОВ равны, т.к. они лежат против равных углов. Проведем прямую ОС. Тогда треугольники АОВ и ВОС равны по первому признаку. Сторона ОВ у них общая, стороны АВ и ВС равны по условию, т.к. это правильный многоугольник. Углы при вершине В равны. Следовательно ОВ = ОС. Отсюда следует, что ОА = ОВ = ОС. Таким образом, можно доказать, что треугольники ВОС и СОD равны и т.д. Следовательно отрезки, соединяющие вершины многоугольника и точку О равны. Это означает, что эти отрезки являются радиусом описанной окружности.

   Т.к. треугольники равны, то и высоты, опущенные на стороны, тоже равны. А они будут являться радиусом вписанной окружности.

 

Многоугольник вписанный в окружность и описанный около окружности

Рис.2 Многоугольник вписанный в окружность и описанный около окружности.

 
       
       

2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников

   
       
 

   Пусть дан правильный многоугольник ABCDEF (Рис.3). Найдем радиус описанной (R = ОВ) и вписанной (r = ОР) окружностей .

Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников

   Где n - число углов многоугольника.

  Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников

Рис.3 Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.

 
         
 

3.Подобие многоугольников

   
       
 

   Теорема. Правильные выпуклые многоугольники подобны. Если правильные выпуклые многоугольники имеют равные стороны, то они равны.

   Доказательство. Пусть даны два правильных выпуклых многоугольника В и А' c вершинами В1,В2,В3,В4,В5,В6 и A'1,A'2,A'3,A'4,A'5,A'6 (Рис.4). При этом k = А'1А'2/В1В2. Подвергнем многоугольник В гомотетии, т.е. преобразованию подобия, с коэффициентом преобразования k. Т.к. при преобразовании подобия расстояния между точками изменяется в одно и тоже число k раз и углы при этом сохраняются, то полученный многоугольник А1А2А3А4А5А6 равен многоугольнику А'1А'2А'3А'4А'5А'6. Т.к. его стороны, например А1А2 = k В1В2 = (А'1А'2/В1В2) * В1В2 = А'1А'2.
Т.е. А1А2 = А'1A'2.

   Отсюда можно сделать вывод, что у правильных n - угольников отношения периметров, радиусов (диаметров) описанных и вписанных окружностей равны.

4. Длина окружности

   Теорема. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от размера окружности, т.е. величина постоянная.

   Доказательство. Пусть даны две окружности с диаметрами D1 и D2. L1 и L2 - длины этих окружностей.

Длина окружности Длина окружности

   Впишем в нашу окружность правильный многоугольник с большим числом сторон n. Тогда длина окружности приблизительно будет равна периметру многоугольника L ≈ P

Длина окружности
  Подобие многоугольников

Рис.4 Подобие многоугольников.

 
         
 

   По свойству выпуклых правильных многоугольников известно, что отношение периметров, радиусов и диаметров вписанных и описанных окружностей равны. Следовательно:

Длина окружности

   Таким образом мы пришли к противоречию. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная π ≈ 3.14159

Длина окружности
 
         
 
         
   

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

 
  Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович
 

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

Форма обучения   2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.

 
     
 
 
  line  
         

5.Пример 1

 

   Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть A1 A2 A3 A4 A5 ... An - данная ломаная (Рис.5). Заменим звенья A1A2 и A2A3 одним звеном A1A3. Теперь рассмотрим треугольник A1A2A3. По свойству треугольника имеем:

    A1A3 < A1A2 + A2A3

    Также как и в треугольнике A1A3A4

    A1A4 < A1A3 + A3A4

    Теперь рассмотрим треугольник A1A5An

    A1A5 < A1An + AnA5

    А в треугольнике A1A5A4

    A1A4 < A1A5 + A4A5

    Так как длина ломаной равна:

    d = A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + A5An + ... + AnA1

 

Задача. Докажите, что у замкнутой ломаной...

Рис.5 Задача. Докажите, что у замкнутой ломаной...

 
         
 

    То заменим первые три звена на звено меньшей длины A1A4, а остальные звенья соответственно на A1A4. Тогда получим:

    d > A1A4 + A1A4 = 2 A1A4 или d / 2 > A1A4.

   Т.е. длина между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной меньше половины длины ломаной. Вместо точки A4 можно взять любую промежуточную точку.

 
         
 

Пример 2

 
 

   Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дана окружность с центром в точке О, радиусом ОА и хордой АВ (Рис.6). ОЕ = ОА / 2. Тогда, cos α = EO / OA = 1/2. Т.е. угол α = 60°.

   Следовательно, ∠ АОВ = ∠ АОС = ∠ ВОС = 120°.

   Таким образом, треугольники АОВ, АОС и ВОС равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). У них сторона АО = ОВ = ОС = R, которые являются общими для каждой пары треугольников, и углы между ними равны по 120°.

    Следовательно, хорда АВ = АС = ВС. А это значит, что вписанный в окружность треугольник АВС является правильным.

 

Задача. Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу...

Рис.6 Задача. Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу...

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   Докажите, что у правильного треугольника центры описанной и вписанной окружностей совпадают, а также, что радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дан правильный треугольник АВС (Рис.7). Проведем биссектрисы из вершин А и С, которые пересекутся в точке О.

   Так как у правильного треугольника все углы равны, т.е. углы при вершинах А, В и С, то ∠ ОАЕ = ∠ ОСЕ, и следовательно, АО = ОС. Далее, соединим точку О с вершиной В - ВО. Треугольники АОС и ВОС (также как и треугольники ВОС и АОВ) равны по первому признаку равенства треугольников: у них стороны АС и ВС равны, т.к. треугольник АВС правильный, а сторона ОС у них общая. Углы между сторонами равны α/2, так как ОС биссектриса. Следовательно, ОС = ОВ. И ОВ является биссектрисой.

   Отсюда следует, что точка пересечения биссектрис, т.е. точка О, является центром описанной окружности с радиусом АО = ОС = ОВ. Одновременно с этим, точка О является центром вписанной окружности, так как из равенства равнобедренных треугольников АОС, ВОС и АОВ следует, что высоты ОЕ, ОF и OD равны (расстояния от точки О до сторон треугольника), которые, таким образом, являются радиусами вписанной окружности. Т.е. центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

 

Задача. Докажите, что у правильного треугольника...

Рис.7 Задача. Докажите, что у правильного треугольника...

 
         
 

   Теперь докажем, что 2 ОЕ = АО. Рассмотрим треугольник АОЕ. Так как у него все углы равны 60° (углы α), то α/2 = 30°. Из прямоугольного треугольника АОЕ следует: sin α/2 = sin 30° = ОЕ / АО = 1/2. Таким образом, 2 ОЕ = АО.

 
         
         
 

Пример 4

 
 

   В окружность, радиус которой равен Задача., вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан правильный треугольник АВС (Рис.8). АО - радиус описанной окружности. На стороне АС построен квадрат ACDE. Найдем его сторону.

   Из прямоугольного треугольника АОF:

    AF = АО cos α.

    AF = Задача. Задача. / 2 = Задача. / Задача. (cos 30° = Задача. / 2)

   Следовательно, АС = Задача. Задача. = Задача.

   Теперь из прямоугольного треугольника ЕАС запишем:

    ЕС2 = AC2 + AE2

   Так как ACDE квадрат, то АЕ = АС.

    ЕС2 = 2AC2

    ЕС2 = 2Задача. 2 = 12

    ЕС = 2Задача.

 

Задача. В окружность, радиус которой равен...

Рис.8 Задача. В окружность, радиус которой равен...

 
         
 

   Следовательно, радиус окружности ЕР, описанной около квадрата, равен Задача. .

 
         
         
 

Пример 5

 
 

   Сторона правильного многоугольника равна 12 см. А радиус вписанной окружности равен 8 см. Найдите радиус описанной окружности.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан правильный многоугольник АСD... (Рис.9). Сторона АС = 12 см, r = OB = 8 см. Найти R = AO.

   Из прямоугольного треугольника АОВ:

    AO2 = AB2 + OB2

    AB = AC/2 = 12/2 = 6 см.

    AO2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

   Отсюда следует, что AO = R = 10 см.

 

Задача. Сторона правильного многоугольника равна 4 см...

Рис.9 Задача. Сторона правильного многоугольника равна 4 см...

 
         
         
         
 
  line  
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника.
3.Окружность вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
 
 
     
 


 
     
     
  www.mathtask.ru