Планиметрия. Страница 12

1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
7.Примеры.

1.Площадь прямоугольника

   Отношение площадей двух прямоугольников с общим основанием равно отношению двух других их сторон.

   Доказательство.

   Пусть ABCD и ABC'D' два прямоугольника с общим основанием АВ. (Рис.1) Разобьем сторону AD на n частей. Тогда длина AD' составит:

   где m - число целых делений на отрезке AD'. Т.е. длина отрезка AD' будет заключена между m и m+1 частей.

   Разделив все части неравенства на AD, получим:

   Тогда и площадь прямоугольника AD'C'B также будет заключена в пределах:

   где S - площадь прямоугольника ABCD.

   Разделив все части неравенства на S, получим:

   Отсюда следует, что два соотношения площадей и сторон заключены между двумя соотношениями, т.е.:

   При достаточно большом n можно сделать вывод, что они равны.

Площадь прямоугольника со сторонами a и b

   Теперь рассчитаем площадь прямоугольника. Возьмем квадрат, который имеет площадь равную единице. И сравним его с прямоугольником, у которого основание равно единице, а другая сторона равна а. Получим:

   Теперь сравним прямоугольник со сторонами а и 1 с прямоугольником со сторонами а и b. Получим:

   Перемножив два равенства между собой, получим:

2.Площадь параллелограмма

   Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

   Пусть дан параллелограмм ABCD (Рис.2). Проведем высоты AF, BP и СE на стороны AD и BC. Тогда треугольники AFB и СED равны по первому признаку равенства треугольников. AF = СE, т.к. они являются перпендикулярами между параллельными прямыми. AB = CD, т.к. ABCD - параллелограмм. Углы при вершинах А и С равны, как соответственные углы при параллельных прямых.

   Следовательно площадь параллелограмма равна:

   Т.е. площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к нему.

Рис.2 Площадь параллелограмма.

3.Площадь треугольника

    Пусть дан треугольник АВС. (Рис.3) Достроим его до параллелограмма. Тогда площадь треугольника ABC будет равна половине площади параллелограмма ABEC. Т.е.:

    Т.е. площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную к ней. Или площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

    Запишем еще две формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.

    где

R - радиус описанной окружности
r - радиус вписанной окружности
S - площадь треугольника
a,b,c - стороны треугольника

Рис.3 Площадь треугольника.

4.Площадь круга

    Кругом называется геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, расстояние от которых до данной точки не превосходит определенной величины, называемой радиусом. Где данная точка это центр круга.

   Площадь круга равна половине произведения его радиуса и длины окружности.

   Доказательство. Пусть АО = R радиус круга. Построим два многоугольника. Один вписанный в круг, а другой описанный около круга. Их площадь обозначим Sоп и Sвп. Тогда их площади будут равны:

   Отсюда можно сделать вывод, что при достаточно большом числе n, площадь круга будет равняться половине произведения длины окружности на радиус, т.к. cos α будет стремиться к единице.

Рис.4 Площадь круга.

5.Площадь подобных фигур

    Пусть даны две побные фигуры G и G' (Рис.5). Коэффициент подобия равен k. Разобьем фигуры на треугольники. Тогда площадь каждой фигуры будет равна сумме площадей треугольников, т.е.:

    Отсюда можно сделать вывод, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия.

Рис.5 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

6.Площадь трапеции

    Пусть дана трапеция ABCD (Рис.6). Проведем диагональ АС. Получим два треугольника АВС и АСD. Проведем высоты СЕ и АF. Тогда площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников АВС и ACD, т.е.:

    Отсюда можно сделать вывод, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Рис.6 Площадь трапеции.

7.Пример 1

   Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

   Доказательство:

   Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Построим квадраты ABED, ACPK на катетах АВ, АС и квадрат ВСRF на гипотенузе ВС (Рис.7). Тогда площади этих квадратов будут равны:

    S = BC²

    S₁ = AB²

    S₂ = AC²

   По теореме Пифагора нам известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или:

    BC² = AB² + AC²

   Подставим сюда выше записанные выражения и получим:

    S = S₁ + S₂

   Отсюда можно сделать вывод, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рис.7 Задача. Докажите, что сумма площадей квадратов...

Пример 2

   Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

   Решение:

   Пусть дан параллелограмм ABCD и прямоугольник A₁B₁C₁D₁ (Рис.8). AB = A₁B₁, AD = A₁D₁. Известно, что S₂ = 2 S₁.

   Запишем формулы площадей прямоугольника и параллелограмма:

    S₁ = AB * AD * sin α - площадь параллелограмма.

    S₂ = A₁B₁ * A₁D₁ - площадь прямоугольника.

   Подставим эти выражения в соотношение S₂ = 2 S₁:

    A₁B₁ * A₁D₁ = 2 AB * AD * sin α

    1 = 2 sin α

    sin α = 1/2

    Следовательно, угол α = 30°.

Рис.8 Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны...

Пример 3

   Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 36 см и 64 см.

   Решение:

   Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. AD - высота, опущенная на гипотенузу ВС. BD = 36 см, DC = 64 см (Рис.9).

   По теореме Пифагора составим следующие соотношения:

    АВ² = BD² + AD² - из треугольника АВD.

    АC² = DC² + AD² - из треугольника АDC.

    Первое и второе соотношение решим относительно AD² и приравняем их.

    АВ² - BD² = АC² - DC²

    Учитывая, что АВС тоже прямоугольный треугольник и BC² = AB² + АC², перепишем:

    АВ² - BD² = BC² - AB² - DC²

    2 АВ² = BD² + BC² - DC²

    2 АВ² = 36² + 100² - 64²

    АВ² = 3600 или АВ = 60 см.

Рис.9 Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника...

    Из прямоугольного треугольника АВС: 100² = 60² + АС². Откуда, АС = 80 см. Следовательно, площадь треугольника АВС равна:

    S_ABC = AB * AC / 2 = 60 * 80 / 2 = 2400 см².

Пример 4

   Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 6 см и боковой стороной 5 см.

   Решение:

   Пусть дан равнобедренный треугольник ABC. АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см. АО = R - радиус описанной окружности, ОЕ = r - радиус вписанной окружности (Рис.10).

   По теореме Пифагора составим следующее соотношение:

    АВ² = АЕ² + ВЕ² - из треугольника АВЕ.

   ВЕ² = АВ² - АЕ²

   ВЕ² = 5² - 3² = 16. Откуда ВЕ = 4 см.

    Найдем площадь треугольника АВС по формуле S = AE * BE.

    S = 3 * 4 = 12 см²

    Теперь рассчитаем радиусы описанной и вписанной окружностей:

    R = АС * АВ² / 4S = 6 * 5² / (4*12) = 150 / 48 = 3.125 см.

    r = 2S / (2 AB + AC) = 2 * 12 / (2*5 + 6) = 24 / 16 = 1.5 см.

Рис.10 Задача. Найдите радиус r вписанной...

Пример 5

   Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна 8 см.

   Решение:

   Пусть дан треугольник ABC. ВЕ = 8 см - высота треугольника, проведенная из вершины В. Прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ. Найти ВО (Рис.11).

   Так как прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ, то она параллельна основанию АС. А следовательно, ∠BAE = ∠BFO, а ∠BСE = ∠BDO. Таким образом, треугольники АВС и FBD подобны.

   Отсюда следует, что АC = k FD, BE = k BO.

   Найдем площадь треугольников S₁ = S_FBD и S_АВС.

   S₁ = FD * BO / 2

   S_ABC = AC * BE / 2 или S_ABC = k² FD * BO / 2

   Так как S_АВС = 2 S₁, то

   k² FD * BO / 2 = 2 * FD * BO / 2

   Отсюда, k² = 2, k =

   Следовательно, BO = BE / k = 8 / = 8 см.

Рис.11 Задача. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника...

Содержание