|
1.Площадь прямоугольника.
|
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
![]() |
||||
1.Площадь прямоугольника |
||||
Отношение площадей двух прямоугольников с общим основанием равно отношению двух других их сторон. ![]() Доказательство. Пусть ABCD и ABC'D' два прямоугольника с общим основанием АВ. (Рис.1) Разобьем сторону AD на n частей. Тогда длина AD' составит: ![]() где m - число целых делений на отрезке AD'. Т.е. длина отрезка AD' будет заключена между m и m+1 частей. Разделив все части неравенства на AD, получим: ![]() Тогда и площадь прямоугольника AD'C'B также будет заключена в пределах: ![]() где S - площадь прямоугольника ABCD. Разделив все части неравенства на S, получим: ![]() Отсюда следует, что два соотношения площадей и сторон заключены между двумя соотношениями, т.е.: ![]() При достаточно большом n можно сделать вывод, что они равны. ![]() |
![]() Рис.1 Площадь прямоугольника. |
|||
Площадь прямоугольника со сторонами a и bТеперь рассчитаем площадь прямоугольника. Возьмем квадрат, который имеет площадь равную единице. И сравним его с прямоугольником, у которого основание равно единице, а другая сторона равна а. Получим: ![]() Теперь сравним прямоугольник со сторонами а и 1 с прямоугольником со сторонами а и b. Получим: ![]() Перемножив два равенства между собой, получим: ![]() |
![]() |
|||
2.Площадь параллелограмма |
||||
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Пусть дан параллелограмм ABCD (Рис.2). Проведем высоты AF, BP и СE на стороны AD и BC. Тогда треугольники AFB и СED равны по первому признаку равенства треугольников. AF = СE, т.к. они являются перпендикулярами между параллельными прямыми. AB = CD, т.к. ABCD - параллелограмм. Углы при вершинах А и С равны, как соответственные углы при параллельных прямых. Следовательно площадь параллелограмма равна: ![]() Т.е. площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к нему. |
![]() Рис.2 Площадь параллелограмма. |
|||
3.Площадь треугольника |
||||
Пусть дан треугольник АВС. (Рис.3) Достроим его до параллелограмма. Тогда площадь треугольника ABC будет равна половине площади параллелограмма ABEC. Т.е.: ![]() Т.е. площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную к ней. Или площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Запишем еще две формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника. ![]() где |
![]() Рис.3 Площадь треугольника. |
|||
4.Площадь круга |
||||
Кругом называется геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, расстояние от которых до данной точки не превосходит определенной величины, называемой радиусом. Где данная точка это центр круга. Площадь круга равна половине произведения его радиуса и длины окружности. Доказательство. Пусть АО = R радиус круга. Построим два многоугольника. Один вписанный в круг, а другой описанный около круга. Их площадь обозначим Sоп и Sвп. Тогда их площади будут равны: ![]() Отсюда можно сделать вывод, что при достаточно большом числе n, площадь круга будет равняться половине произведения длины окружности на радиус, т.к. cos α будет стремиться к единице. |
![]() Рис.4 Площадь круга. |
|||
5.Площадь подобных фигур |
||||
Пусть даны две побные фигуры G и G' (Рис.5). Коэффициент подобия равен k. Разобьем фигуры на треугольники. Тогда площадь каждой фигуры будет равна сумме площадей треугольников, т.е.: ![]() Отсюда можно сделать вывод, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. |
![]() Рис.5 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике. |
|||
6.Площадь трапеции |
||||
Пусть дана трапеция ABCD (Рис.6). Проведем диагональ АС. Получим два треугольника АВС и АСD. Проведем высоты СЕ и АF. Тогда площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников АВС и ACD, т.е.: ![]() Отсюда можно сделать вывод, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. |
![]() Рис.6 Площадь трапеции. |
|||
![]() |
||||
7.Пример 1 |
||||
Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. |
||||
Доказательство: |
Рис.7 Задача. Докажите, что сумма площадей квадратов... |
|||
Пример 2 |
||||
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника. |
||||
Решение: |
Рис.8 Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны... |
|||
Пример 3 |
||||
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 36 см и 64 см. |
||||
Решение: |
||||
По теореме Пифагора составим следующие соотношения:
|
Рис.9 Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника... |
|||
Из прямоугольного треугольника АВС: 1002 = 602 + АС2.
Откуда, АС = 80 см. Следовательно, площадь треугольника АВС равна:
|
||||
Пример 4 |
||||
Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 6 см и боковой стороной 5 см. |
||||
Решение: |
||||
По теореме Пифагора составим следующее соотношение:
|
Рис.10 Задача. Найдите радиус r вписанной... |
|||
Пример 5 |
||||
Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна 8 |
||||
Решение: |
Рис.11 Задача. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника... |
|||
![]() |
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
Содержание |
||||
Страница 1 | Страница 7 | |||
1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии. 3.Смежные углы. 4.Вертикальные углы. 5.Перпендикулярные прямые. 6.Признаки равенства треугольников. |
1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки. 3.Симметрия относительно прямой. 4.Параллельный перенос и его свойства. |
|||
Страница 2 | Страница 8 | |||
1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых. 4.Сумма углов треугольника. 5.Единственность перпендикуляра к прямой. 6.Высота, биссектриса и медиана треугольника. 7.Свойство медианы равнобедренного треугольника. |
1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число. 4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. 5.Скалярное произведение векторов. |
|||
Страница 3 | Страница 9 | |||
1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника. 3.Окружность вписанная в треугольник. 4.Геометрическое место точек. |
1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам. 3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. 4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам. 5.Подобие прямоугольных треугольников. |
|||
Страница 4 | Страница 10 | |||
1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма. 3.Ромб. 4.Теорема Фалеса. 5.Средняя линия треугольника. 6.Трапеция. 7.Теорема о пропорциональных отрезках. |
1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности. 3.Теорема косинусов. 4.Теорема синусов. 5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике. |
|||
Страница 5 | Страница 11 | |||
1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник. 3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. 4.Основные тригонометрические тождества. |
1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников. 3.Подобие многоугольников. 4.Длина окружности. |
|||
Страница 6 | Страница 12 | |||
1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками. 3.Уравнение окружности. 4.Уравнение прямой. 5.Координаты точки пересечения. |
1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма. 3.Площадь треугольника. 4.Площадь круга. 5.Площадь подобных фигур. 6.Площадь трапеции. |
|||
|
||
www.mathtask.ru | ||