Планиметрия. Страница 12
Math Task сайт репетиторов

Планиметрия. Страница 12

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 12  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 

1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
7.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
line

1.Площадь прямоугольника

 
 

   Отношение площадей двух прямоугольников с общим основанием равно отношению двух других их сторон.

Площадь прямоугольника

   Доказательство.

   Пусть ABCD и ABC'D' два прямоугольника с общим основанием АВ. (Рис.1) Разобьем сторону AD на n частей. Тогда длина AD' составит:

Площадь прямоугольника

   где m - число целых делений на отрезке AD'. Т.е. длина отрезка AD' будет заключена между m и m+1 частей.

   Разделив все части неравенства на AD, получим:

Площадь прямоугольника

   Тогда и площадь прямоугольника AD'C'B также будет заключена в пределах:

Площадь прямоугольника

   где S - площадь прямоугольника ABCD.

   Разделив все части неравенства на S, получим:

Площадь прямоугольника

   Отсюда следует, что два соотношения площадей и сторон заключены между двумя соотношениями, т.е.:

Площадь прямоугольника

   При достаточно большом n можно сделать вывод, что они равны.

Площадь прямоугольника
  Площадь прямоугольника
Рис.1 Площадь прямоугольника.
 
 

Площадь прямоугольника со сторонами a и b

   Теперь рассчитаем площадь прямоугольника. Возьмем квадрат, который имеет площадь равную единице. И сравним его с прямоугольником, у которого основание равно единице, а другая сторона равна а. Получим:

Площадь прямоугольника

   Теперь сравним прямоугольник со сторонами а и 1 с прямоугольником со сторонами а и b. Получим:

Площадь прямоугольника

   Перемножив два равенства между собой, получим:

Площадь прямоугольника
  Площадь прямоугольника  
         
       
       

2.Площадь параллелограмма

   
       
 

   Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

   Пусть дан параллелограмм ABCD (Рис.2). Проведем высоты AF, BP и СE на стороны AD и BC. Тогда треугольники AFB и СED равны по первому признаку равенства треугольников. AF = СE, т.к. они являются перпендикулярами между параллельными прямыми. AB = CD, т.к. ABCD - параллелограмм. Углы при вершинах А и С равны, как соответственные углы при параллельных прямых.

   Следовательно площадь параллелограмма равна:

Площадь параллелограмма

   Т.е. площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к нему.

  Площадь параллелограмма

Рис.2 Площадь параллелограмма.

 
         

3.Площадь треугольника

   
       
 

    Пусть дан треугольник АВС. (Рис.3) Достроим его до параллелограмма. Тогда площадь треугольника ABC будет равна половине площади параллелограмма ABEC. Т.е.:

Площадь треугольника

    Т.е. площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную к ней. Или площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

    Запишем еще две формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.

Радиус вписанной и описанной окружностей треугольника

    где

R - радиус описанной окружности
r - радиус вписанной окружности
S - площадь треугольника
a,b,c - стороны треугольника

  Площадь треугольника

Рис.3 Площадь треугольника.

 
         
   

4.Площадь круга

 

    Кругом называется геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, расстояние от которых до данной точки не превосходит определенной величины, называемой радиусом. Где данная точка это центр круга.

   Площадь круга равна половине произведения его радиуса и длины окружности.

   Доказательство. Пусть АО = R радиус круга. Построим два многоугольника. Один вписанный в круг, а другой описанный около круга. Их площадь обозначим Sоп и Sвп. Тогда их площади будут равны:

Площадь круга

   Отсюда можно сделать вывод, что при достаточно большом числе n, площадь круга будет равняться половине произведения длины окружности на радиус, т.к. cos α будет стремиться к единице.

  Площадь круга

Рис.4 Площадь круга.

 
         

5.Площадь подобных фигур

 

    Пусть даны две побные фигуры G и G' (Рис.5). Коэффициент подобия равен k. Разобьем фигуры на треугольники. Тогда площадь каждой фигуры будет равна сумме площадей треугольников, т.е.:

Площадь подобных фигур

    Отсюда можно сделать вывод, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия.

  Площадь подобных фигур

Рис.5 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

 
         
         

6.Площадь трапеции

 

    Пусть дана трапеция ABCD (Рис.6). Проведем диагональ АС. Получим два треугольника АВС и АСD. Проведем высоты СЕ и АF. Тогда площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников АВС и ACD, т.е.:

Площадь трапеции

    Отсюда можно сделать вывод, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

  Площадь трапеции

Рис.6 Площадь трапеции.

 
         
line
         

7.Пример 1

 

   Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Построим квадраты ABED, ACPK на катетах АВ, АС и квадрат ВСRF на гипотенузе ВС (Рис.7). Тогда площади этих квадратов будут равны:

    S = BC2

    S1 = AB2

    S2 = AC2

   По теореме Пифагора нам известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или:

    BC2 = AB2 + AC2

   Подставим сюда выше записанные выражения и получим:

    S = S1 + S2

   Отсюда можно сделать вывод, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

 

Задача. Докажите, что сумма площадей квадратов...

Рис.7 Задача. Докажите, что сумма площадей квадратов...

 
         
         
 

Пример 2

 
 

   Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан параллелограмм ABCD и прямоугольник A1B1C1D1 (Рис.8). AB = A1B1, AD = A1D1. Известно, что S2 = 2 S1.

   Запишем формулы площадей прямоугольника и параллелограмма:

    S1 = AB * AD * sin α - площадь параллелограмма.

    S2 = A1B1 * A1D1 - площадь прямоугольника.

   Подставим эти выражения в соотношение S2 = 2 S1:

    A1B1 * A1D1 = 2 AB * AD * sin α

    1 = 2 sin α

    sin α = 1/2

    Следовательно, угол α = 30°.

 

Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны...

Рис.8 Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны...

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 36 см и 64 см.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. AD - высота, опущенная на гипотенузу ВС. BD = 36 см, DC = 64 см (Рис.9).

 
 

   По теореме Пифагора составим следующие соотношения:

    АВ2 = BD2 + AD2 - из треугольника АВD.

    АC2 = DC2 + AD2 - из треугольника АDC.

    Первое и второе соотношение решим относительно AD2 и приравняем их.

    АВ2 - BD2 = АC2 - DC2

    Учитывая, что АВС тоже прямоугольный треугольник и BC2 = AB2 + АC2, перепишем:

    АВ2 - BD2 = BC2 - AB2 - DC2

    2 АВ2 = BD2 + BC2 - DC2

    2 АВ2 = 362 + 1002 - 642

    АВ2 = 3600 или АВ = 60 см.

 

Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника...

Рис.9 Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника...

 
         
 

    Из прямоугольного треугольника АВС: 1002 = 602 + АС2. Откуда, АС = 80 см. Следовательно, площадь треугольника АВС равна:

    SABC = AB * AC / 2 = 60 * 80 / 2 = 2400 см2.

 
         
         
 

Пример 4

 
 

   Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 6 см и боковой стороной 5 см.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан равнобедренный треугольник ABC. АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см. АО = R - радиус описанной окружности, ОЕ = r - радиус вписанной окружности (Рис.10).

 
 

   По теореме Пифагора составим следующее соотношение:

    АВ2 = АЕ2 + ВЕ2 - из треугольника АВЕ.

   ВЕ2 = АВ2 - АЕ2

   ВЕ2 = 52 - 32 = 16. Откуда ВЕ = 4 см.

    Найдем площадь треугольника АВС по формуле S = AE * BE.

    S = 3 * 4 = 12 см2

    Теперь рассчитаем радиусы описанной и вписанной окружностей:

    R = АС * АВ2 / 4S = 6 * 52 / (4*12) = 150 / 48 = 3.125 см.

    r = 2S / (2 AB + AC) = 2 * 12 / (2*5 + 6) = 24 / 16 = 1.5 см.

 

Задача. Найдите радиус r вписанной...

Рис.10 Задача. Найдите радиус r вписанной...

 
         
         
 

Пример 5

 
 

   Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна 8Задача. см.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан треугольник ABC. ВЕ = 8Задача. см - высота треугольника, проведенная из вершины В. Прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ. Найти ВО (Рис.11).

   Так как прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ, то она параллельна основанию АС. А следовательно, ∠BAE = ∠BFO, а ∠BСE = ∠BDO. Таким образом, треугольники АВС и FBD подобны.

   Отсюда следует, что АC = k FD, BE = k BO.

   Найдем площадь треугольников S1 = SFBD и SАВС.

   S1 = FD * BO / 2

   SABC = AC * BE / 2 или SABC = k2 FD * BO / 2

   Так как SАВС = 2 S1, то

   k2 FD * BO / 2 = 2 * FD * BO / 2

   Отсюда, k2 = 2, k = Задача.

   Следовательно, BO = BE / k = 8Задача. / Задача. = 8 см.

 

Задача. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника...

Рис.11 Задача. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника...

 
         
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника.
3.Окружность вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
         
         
line
         
  Найти репетитора  
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru