|
1.Параллельность прямых в пространстве. 2.Признак параллельности прямых. 3.Признак параллельности плоскостей. 4.Свойства параллельных плоскостей. 5.Примеры.
|
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 | ||||
![]() |
||||
1. Параллельность прямых в пространствеТеорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Доказательство. Пусть b данная прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Проведем через точку А и прямую b плоскость α. А через точку А прямую a, параллельную прямой b. (Рис.1) Допустим, что существует другая прямая а', параллельная прямой b и проходящая через точку А. Тогда через них можно провести плоскость β. Отсюда следует, что через точку А и прямую b можно провести две плоскости. А это невозможно согласно теореме о единственности существования плоскости, проведеной через прямую и не лежащую на ней точку. Таким образом, плоскости α и β совпадают. А следовательно, согласно аксиоме, прямые а и a' совпадают также. |
![]() Рис. 1 Параллельность прямых в пространстве. |
|||
2.Признак параллельности прямыхТеорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. |
||||
Доказательство. Пусть прямые а и b лежат в разных плоскостях и параллельны прямой с. Доказать, что прямые а и b параллельны между собой. (Рис.2) Проведем через прямую a и c плоскость α. Через прямые b и c плоскость β. Прямая с - прямая пересечения плоскостей α и β. Отметим на прямой а точку А. Проведем через точку А и прямую b плоскость γ. Тогда плоскость γ будет пересекать плоскость α по прямой а'. Прямая a' либо паралельна прямой c, либо ее пересекает. Допустим прямая а' пересекает прямую с. Тогда эта точка пересечения принадлежит плоскости β, т.к. прямая с принадлежит двум плоскостям α и β. А т.к. прямая а' полностью принадлежит плоскости γ, а прямая b есть прямая пересечения плоскостей γ и β, то это означает, что она пересекает и прямую b. А это означает, что прямые b и c пересекаются, т.к. прямая a' пересекает плоскость β только в одной точке, которая должна принадлежать двум прямым b и с. А это противоречит условию. Следовательно прямая a' не пересекает прямую с. Она ей параллельна. Согласно аксиоме, на плоскости α, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. И эта прямая а. Т.е. прямые а и а' совпадают. Это значит, что прямые а и b параллельны.
|
Рис.2 Признак параллельности прямых |
|||
3. Признак параллельности плоскостейТеорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. |
||||
Доказательство. Пусть α и β данные плоскости. Прямая а параллельна прямой а1. Прямая b параллельна b1 (Рис.3). Допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой с. Тогда прямая с должна пересекать, как минимум, одну из прямых на каждой плоскости. Пусть это будут прямые а и а1. Т.к. прямые а и а1 параллельны, следовательно они пересекают прямую с в разных точках Е и Е1. Проведем через две параллельные прямые а и а1 плоскость γ. Тогда точки Е и Е1, которые лежат на прямой с, будут принадлежать плоскости γ. Следовательно, прямая с полностью принадлежит плоскости γ. Отсюда следует, что: а ∈ α, γ. т.е. плоскости α и γ пересекаются по двум прямым а и с, а плоскости β и γ пересекаются по прямым а1 и с. |
Рис. 3 Признак параллельности плоскостей. |
|||
Согласно аксиоме стереометрии, это невозможно, т.к. две плоскости могут пересекаться только по одной прямой. И следовательно, наше предположение неверно. Плоскости α и β не пересекаются, они параллельны. |
||||
4. Свойства параллельных плоскостейТеорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Доказательство. |
||||
Пусть даны две параллельные плоскости α и β (Рис.4). Плоскость γ пересекает их по прямым а и b. Допустим, что прямые пересечения плоскостей пересекаются. Это прямые а и b'. Прямая а - это множество точек, принадлежащих плоскостям α и γ. А так как прямая b' представляет собой множество точек, пренадлежащих двум плоскостям β и γ, то отсюда следует, что существует точка пересечения прямых а и b', которая принадлежит плоскости α. И следовательно, плоскости α и β имеют общую точку. А это противоречит условию, т.к. плоскости α и β не пересекаются, они параллельны. Следовательно, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Т.е. они тоже параллельны.
|
Рис. 4 Свойства параллельных плоскостей. |
|||
![]() |
||||
5. Пример 1 |
||||
Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются. |
||||
Доказательство: |
Рис.5 Задача. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся... |
|||
Пример 2 |
||||
Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD. |
||||
Доказательство: |
Рис.6 Задача. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости... |
|||
Пример 3 |
||||
Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и ВС, АС и BD, AD и BC пересекаются в одной точке. |
||||
Доказательство: |
Рис.7 Задача. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости... |
|||
Пример 4 |
||||
Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α. |
||||
Доказательство: |
Рис.8 Задача. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а... |
|||
Пример 5 |
||||
Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку О, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через точку О, тоже в вершинах параллелограмма. |
||||
Доказательство: |
Рис.9 Задача. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А... |
|||
![]() |
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 | ||||
Содержание |
||||
Страница 1 | Страница 5 | |||
1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии. 3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку. 4.Пересечение прямой с плоскостью. 5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки. |
1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений. 3.Параллелепипед. 4.Прямоугольный параллелепипед. 5.Пирамида. 6.Усеченная пирамида. 7.Правильные многогранники. |
|||
Страница 2 | Страница 6 | |||
1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых. 3.Признак параллельности плоскостей. 4.Свойства параллельных плоскостей. |
1.Цилиндр.
2.Конус. 3.Вписанная и описанная призма. 4.Вписанная и описанная пирамида. 5.Шар. 6.Симметрия шара. |
|||
Страница 3 | Страница 7 | |||
1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 3.Теорема о трех перпендикулярах. 4.Признак перпендикулярности плоскостей. 5.Расстояние между скрещивающимися прямыми. |
1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед. 3.Объем пирамиды. 4.Объем призмы. 5.Равновеликие тела. 6.Объемы подобных тел. |
|||
Страница 4 | Страница 8 | |||
1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками. 3.Преобразование симметрии в пространстве. 4.Движение в пространстве. 5.Угол между прямой и плоскостью. 6.Угол между плоскостями. 7.Векторы в пространстве. 8.Площадь ортогональной проекции многоугольника. |
1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра. 3.Площадь боковой поверхности конуса. 4.Объем конуса. 5.Объем тел вращения. 6.Объем шара. 7.Объем шарового сегмента и сектора. 8.Площадь сферы. |
|||
|
||
www.mathtask.ru | ||