Стереометрия. Страница 4
Math Task сайт репетиторов

Стереометрия. Страница 4

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Стереометрия. Страница 4  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.

 

   
1 2 3 4 5 6 7 8
         
line
         

1. Декартовы координаты в пространстве

    Пусть заданы три взаимно перпендикулярные прямы x,y,z (Рис.1). Если провести через каждую пару прямых плоскость, то получим три взаимно перпендикулярные плоскости xy,xz,yz. Тогда прямые x,y,z будут называться осями координат, а точка пересечения О началом координат. Каждую ось точка О разбивает на две полуоси: положительную и отрицательную.

   Возьмем теперь произвольную точку, например точку А. Тогда для того, чтобы определить координаты точки А, необходимо провести три плоскости, проходящие через точку А и параллельные плоскостям XY, XZ, YZ. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат Аx, Ay, Az и будут являться координатами точки А, которые записываются так: А (Ax, Ay, Az).

  Декартовы координаты в пространстве

Рис. 1 Декартовы координаты в пространстве.

 
         

2.Расстояние между двумя точками

 
 

   Пусть задана декартова система координат с осями X, Y, Z (Рис.2). Необходимо найти расстояние между двумя точками А (x1;y1;z1) и В (x2;y2;z2).

    Проведем два перпендикуляра от точек А и В на плоскость XY. Они пересекут плоскость XY в точках A' и B'. Теперь проведем плоскость через точку А и параллельную плоскости XY. Тогда расстояние между точками по теореме Пифагора будет равно:

AB2 = AC2 + BC2

АС = A'B'

A'B'2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

BC = (z2 - z1) Следовательно:

AB2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2

Таким образом, расстояние между двумя точками вычисляется по следующей формуле:
Расстояние между двумя точками

 

 

Расстояние между двумя точками

Рис.2 Расстояние между двумя точками

 
         

3. Преобразование симметрии в пространстве

 
 

   Преобразование фигур в пространстве определяется таким же образом, как и преобразование фигур на плоскости (Рис.3). Помимо преобразования относительно точки и преобразования относительно прямой, в пространстве рассматривают преобразование относительно плоскости.

   Пусть в пространстве задана плоскость α. В не этой плоскости задан квадрат со сторонами АВСD. Каждую точку нашей фигуры проецируем на плоскость α. А затем откладываем такое же расстояние по другую стороны плоскости и получаем преобразованную фигуру A"B"C"D". Таким образом, точки A"B"C"D" симметричны точкам ABCD относительно плоскости так же, как и все точки квадрата ABCD. Такое преобразование называется преобразованием относительно плоскости. А плоскость называется плоскостью симметрии. Если точка принадлежит плоскости α, то она переходит в саму себя.

 

Преобразование симметрии в пространстве

Рис. 3 Преобразование симметрии в пространстве.

 
         
         

4. Движение в пространстве

 
 

   Движение в пространстве определяется таким же образом, как и на плоскости. При движении в пространстве сохраняются расстояния между точками. И так же, как и на плоскости, прямые переходят в прямые, отрезки в отрезки, углы между полупрямыми сохраняются. Новым свойством, которым обладает движение в пространстве, являются то, что при движении плоскость переходит в плоскость.

   Пусть задана плоскость α. Отметим на ней точки А,В,С не лежащие на одной прямой и построим на них треугольник (Рис.4). При движении эти точки передут в точки A', B', C' также не лежащие на одной прямой. Проведем на плоскости α прямую, перескающую треугольник в точках X и Y и отметим на ней точку Z. При движении точки X и Y передут в точки X' и Y', прямая а передет в прямую a'. Следовательно она будет принадлежать плоскости α'. Таким образом, плоскость α переходит в плоскость α'. При движении фигур в пространстве, две фигуры называются равными, если они переходят сами в себя, т.е. совмещаются.

 

 

Движение в пространстве.

Рис. 4 Движение в пространстве.

 
 

Параллельный перенос

   Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование фигуры, при котором все ее точки с координатами (z; y; z) переходят в точки с координатами (x+a; y+b; z+c), где a, b, c - постоянные числа.

   Парралельный перенос в пространстве задается формулами:

x' = x + a
y' = y + b
z' = z + c

Подобие пространственных фигур

   Преобразование подобия фигур в пространстве (гомотетия) определяется таким же образом, как и на плоскости. (Рис. 4.1)

   При преобразования подобия расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Прямые переходят в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Углы между полупрямыми сохраняются. При преобразовании подобия плоскость, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную плоскость. Так же, как и на плоскости преобразование подобия с коэффициентом гомотетии k переводит точки A и B в точки A' и B', отрезок АВ в отрезок A'B' = k AB.

 

 

Подобие пространственных фигур.

Рис. 4.1 Подобие пространственных фигур.

 
         

5. Угол между прямой и плоскостью

 
 

   Пусть задана плоскость α. Прямая с пересекает плоскость α в точке А (Рис.5). Точка А лежит на прямой c'. Прямая c' называется проекцией прямой с на плоскость α. Таким образом, углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Т.е. угол между прямой с и c'.

   Если прямая будет перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью будет составлять 90°. Если параллельна - то 0°.

 

Угол между прямой и плоскостью

Рис. 5 Угол между прямой и плоскостью.

 
         

6. Угол между плоскостями

 
 

   Пусть заданы две пересекающиеся плоскости α и β (Рис.6). Проведем плоскость γ, которая перпендикулярна их прямой пересечения с. Плоскость γ пересекает данные плоскости по прямым а и b. Угол между прямыми а и b и есть угол между данными плоскостями α и β.

   Возьмем другую секущую плоскость γ', которая параллельна γ и перпендикулярна прямой с. Она пересечет плоскости α и β по прямым a' и b'. Если мы выполним параллельный перенос плоскости γ вдоль прямой с, то т.к. прямые а и a' находятся в одной плоскости α и перпендикулярны прямой с, следовательно они совпадут. Таким образом, угол между плоскостями не зависит от секущей плоскости.

 

Угол между плоскостями

Рис. 6 Угол между плоскостями.

 

7. Векторы в пространстве

 
 

   Так же, как и на плоскости, в пространстве вектор - это направленный отрезок. Любой вектор имеет абсолютную величину и направление. Каждый вектор имеет три координаты а (x; y; z) (Рис.7).

   Если вектор имеет начальную и конечную точки А и В, то его координатами будут числа: АВ (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1). Вектора с равными координатами равны.

Действия над векторами

   Действия над векторами в пространстве определяются так же, как и на плоскости.

Векторы в пространстве
 

Векторы в пространстве

Рис. 7 Векторы в пространстве.

 
         

8. Площадь ортогональной проекции многоугольника

 
 

   Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции.

   Пусть задана плоскость α. Треугольник АВС имеет сторону АВ в плоскости α и расположен под некоторым углом к этой плоскости. BF - высота треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах B'F - высота треугольника AB'C. Угол ϕ между треугольником АВС и его проекцией равен углу между плоскостями, в которых они находятся, т.е. углу BFB'. Таким образом:

Площадь ортогональной проекции многоугольника

   Если геометрическая фигура представляет собой многоугольник, то площадь ортогональной проекции можно найти, разбив его на простые треугольники, в которых хотя бы одна сторона будет параллельна плоскости проекции.

 

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Рис. 8 Площадь ортогональной проекции многоугольника.

 
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8
         
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 5  
  1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
  1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
 
         
  Страница 2   Страница 6  
  1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
  1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
 
         
  Страница 3   Страница 7  
  1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
  1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
 
         
  Страница 4   Страница 8  
  1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
  1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.
 
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru