Стереометрия. Страница 5

1. Двугранный, трехгранный углы

    Двугранный угол представляет собой фигуру, образованную двумя полуплоскостями и общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а прямая, ограничивающая их, - ребром (Рис.1).

   Если провести плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла, то она пересечет его грани по двум полупрямым. Угол, образованный между двумя этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.

   Градусная мера двугранного угла равна градусной мере линейного угла. Величина двугранного угла не зависит от выбора линейного угла, т.е. плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла.

Трехгранный углы

    Пусть заданы три луча a, b, c не лежащие в одной плоскости и исходящие из одной общей точки О. (Рис.1.1). Тогда трехгранным углом называется фигура, которая состоит из трех плоских углов. Точка О, из которой исходят лучи, называется вершиной трехгранного угла. Сами углы называются гранями, а стороны - ребрами.

    Понятие многогранного угла можно определить аналогичным образом.

2.Призма и построение ее сечений

Прямая призма

   Призмой называется многогранник, у которого две стороны являются плоскими многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, а боковые грани состоят из всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (Рис.2). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, ее ребрами.

   Высотой призмы называется расстояние между ее основаниями.

   Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то такая призма называется прямой. В противном случае призма называется наклонной. Боковые ребра у призмы параллельны и равны.

   Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма называется правильной.

   Теорема: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на ее высоту.

   В основании призмы лежит правильный многоугольник. Боковые ребра призмы находятся под прямым углом к основанию и являются высотами. Боковые грани представляют собой прямоугольники. Отсюда следует, что площадь боковой поверхности призмы равна:

S = a₁l + a₂l + a₃l + a₁l + ... + a_nl = pl

где
a₁, a₂, a₃, ... a_n - длины сторон основания
l - высота призмы
p - периметр основания

   Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности.

Наклонная призма

   Если боковые ребра призмы находятся под некоторым углом к основанию, то призма является наклонной (Рис.2.1).

   Используя правила параллельного проектирования, изображение призмы можно построить следующим образом. Сначала строится одно из оснований, т.е. многоугольник, а затем проводят боковые ребра из каждой вершины основания, которые параллельны и равны между собой. Затем концы этих отрезков соединяются и строится другое основание призмы.

   Для того, чтобы построить сечение призмы плоскостью, сначала задают прямую g в плоскости одного из оснований, которая называется следом. Затем проводят через заданную точку В прямую, которая находится в плоскости грани, и соединяют ее с заданным следом в точке Е. Отрезок АС на рассматриваемой грани есть пересечение этой грани с секущей плоскостью.

   Если грань, которая содержит точку В, параллельна следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному заданному следу и проходящему через точку В.

   Таким образом, можно провести отрезки на всех гранях призмы и получить сечение плоскостью с заданным следом.

3. Параллелепипед

   Призма, у которой основание есть параллелограмм, называется параллелепипедом.

   Параллелепипед, у которого грани расположены под некоторым углом ≠ 90° к основанию, называется наклонным. В противном случае - прямым, т.е. угол между боковыми гранями и основанием = 90°.

   Теорема. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

   Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA'B'C'D' (Рис.3). Рассмотрим грани параллелепипеда AA'D'D и BB'C'C. Так как основания параллелепипеда параллелограммы, то сторона AD параллельна и равна стороне ВС, а сторона A'D' параллельна и равна стороне B'C'. Сторона AB параллельна и равна стороне DС, а сторона A'B' параллельна и равна стороне D'C'. Отсюда можно сделать вывод, что грани AA'D'D и BB'C'C лежат в параллельных плоскостях. Таким образом, грань AA'D'D совмещается параллельным переносом с гранью BB'C'C. Следовательно эти грани равны.

   Аналогично можно доказать параллельность и равенство граней DD'C'C и AA'B'B.

Центральная симметрия параллелепипеда

   Теорема. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.

   Рассмотрим две грани параллелепипеда ABCD и BB'C'C. Сторона BC у них общая. Следовательно стороны AD и B'C' равны, лежат на параллельных прямых и в одной плоскости. Так как грани параллелепипеда AA'B'B и DD'C'C лежат в параллельных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, то диагонали AB' и DC' параллельны и лежат в плоскости сторон AD и B'C'. Отсюда можно сделать вывод, что AB'C'D - параллелограмм. Диагонали этого параллелограмма пересекаются в точке, которая делит их пополам.

   Отсюда следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

4.Прямоугольный параллелепипед

   Прямой параллелепипед, у которого основание является прямоугольником, называется прямоугольным.

   Длины не параллельных ребер параллелепипеда называются его линейными размерами.

   Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

   Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA'B'C'D' (Рис.4). Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC'. Cторонами данного треугольника являются диагональ параллелепипеда AC', диагональ основания AC и ребро боковой грани CC'. Тогда по теореме Пифагора находим:

AC'² = AC² + CC'²

AC² = AD² + DC² Следовательно:

AC'² = AD² + DC² + CC'²

   Стороны AD, DC, CC' являются линейными размерами параллелепипеда.

Симметрия прямоугольного параллелепипеда

   Прямоугольный параллелепипед имеет центр симметрии. Если все три измерения параллелепипеда разные, то он имеет три плоскости симметрии, которые проходят через центры граний (Рис.4.1)

   Если параллелепипед имеет два равных измерения, то у него есть еще две плоскости симметрии, которые проходят через диагональные сечения.

   Если у параллелепипеда все три линейные размера равны, то он является кубом. И у него девять плоскостей симметрии.

5. Пирамида

   Пирамидой называется многогранник, который состоит из многоугольника в основании, точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершины многоугольника и данную точку (Рис.5).

    Точка, не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды.

    Отрезки, соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды, называются боковыми ребрами.

    Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется высотой пирамиды.

   На рисунке 5 изображена пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник. A₁A₂A₃A₄A₅A₆

   S - вершина пирамиды.
   h - высота пирамиды.
   SA₁, SA₂, SA₃, SA₄, SA₅, SA₆ - боковые ребра.
   SA₁A₂, SA₂A₃, SA₃A₄, SA₄A₅, SA₅A₆, SA₆A₁ - боковые грани.

Построение пирамиды и ее плоских сечений

    Для того чтобы построить пирамиду, необходимо сначала построить основание - плоский многоугольник. Затем взять точку, не лежащую в плоскости основания, и соединить ее боковыми ребрами с вершинами основания.

    Сечения пирамиды, проходящие через ее вершину, представляют собой треугольники. Например, треугольниками являются диагональные сечения, т.е. сечения, проходящие через два несоседних боковых ребра .

    Сечение пирамиды с боковым следом строится аналогично, как и сечение призмы (Рис.5). Т.е. сначала задается прямая в плоскости основания - след g. Затем берется какая-нибудь точка В, принадлежащая сечению, и строится пересечение следа g секущей плоскости c плоскостью этой грани - точка D. Полученный таким образом отрезок АС, представляет собой линию пересечения плоскости грани и плоскости сечения пирамиды.

    Если точка В лежит на грани, параллельной следу g (Рис.5.1), то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку BC, параллельному следу g. Концы отрезка также соединяют со следом по прямой ED в плоскости α другой грани и получают прямую пересечения этой грани с плоскостью сечения и т.д. Таким образом можно построить линии пересечения плоскости сечения со всеми гранями пирамиды.

6. Усеченная пирамида

   Теорема. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

   Пусть дана пирамида ABCDES. ABCDE - основание пирамиды, пятиугольник. S - вершина пирамиды. α - секущая плоскость. Подвергнем пирамиду преобразованию подобия (гомотетии) с коэффициентом подобия k относительно вершины S.

   Так как при преобразовании подобия расстояние от вершины до точек фигуры изменяется в одно и тоже k число раз, то пятиугольник в основании переходит в плоскость α, параллельную основанию, т.е. секущую плоскость. Точки A'B'C'D'E' - точки пересечения боковых ребер пирамиды с плоскостью α. И пирамида, которая образуется путем отсечения данной пирамиды плоскостью α, является подобной данной.

Правильная пирамида

   Если основание пирамиды есть правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника, то такая пирамида называется правильной.

   Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

   Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

7. Правильные многогранники

   Если выпуклый многогранник имеет все грани правильные многоугольники с равным числом сторон и в каждой вершине многоугольника сходится одно и то же число ребер, то такой многогранник называется правильным.

   Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

   Тетраэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники.

   Куб это многогранник, у которого все грани - квадраты.

   Октаэдр - многогранник, который представляет собой две пирамиды с общим основанием. Основание этих пирамид - квадрат.

   Додекаэдр это многогранник, у которого грани правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

   Икосаэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники. В каждой вершине сходится по пять ребер.