|
1.Цилиндр. 2.Конус. 3.Вписанная и описанная призма. 4.Вписанная и описанная пирамида. 5.Шар. 6.Симметрия шара. 7.Примеры.
|
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 | ||||
![]() |
||||
1. ЦилиндрЦилиндр представляет собой тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (Рис.1). Два круга, лежащих в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими. Так как основания совмещаются параллельным переносом, то они равны. И так как они лежат в параллельных плоскостях, то образующие цилиндра параллельны и равны. Если образующие перпендикулярны основанию, то цилиндр называется прямым. Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из образующих. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. А высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Сечение цилиндра плоскостямиЕсли взять сечение цилиндра плоскостью, проходящей по его оси, то получится прямоугольник. (Рис.1) Такое сечение называется осевым. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, также представляет собой прямоугольник. Две его стороны - образующие цилиндра, а две другие стороны - параллельные хорды оснований. Теорема. Плоскость сечения цилиндра, параллельная его плоскости основания, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. (Рис.1.1) Пусть плоскость α - секущая плоскость, параллельная основанию. Подвергнем плоскость α движению в верх вдоль оси цилиндра. Параллельным переносом совместим плоскость α с плоскостью верхнего основания цилиндра. Таким образом сечение боковой поверхности совпадет с окружностью верхнего основания. Теорема доказана. |
Рис. 1 Цилиндр. Рис. 1.1 Сечения цилиндра плоскостями. |
|||
2.Конус |
||||
Конусом называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости основания этого конуса - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания (Рис.2). Точка, не лежащая в плоскости основания, называется вершиной конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Конус называется прямым, если прямая, проведенная из вершины конуса в центр основания, перпендикулярна плоскости основания. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. Сечение конуса плоскостямиСечение прямого конуса плоскостью, которая проходит через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса. Сечение, которое проходит через ось конуса, называется осевым. Теорема. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, есть круг с центром на оси конуса. Доказательство. Пусть α - плоскость, параллельная основанию (Рис 2.1). Плоскость α пересекает конус по кругу. Подвергнем сечение конуса гомотетии относительно вершины конуса. Т.е. совместим плоскость α с плоскостью основания конуса. Сечение конуса полностью совпадет с основанием. Следовательно сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности - окружность с центром на оси конуса.
|
Рис.2 Конус Рис.2.1 Сечение конуса |
|||
3. Вписанная и описанная призма |
||||
Призма, вписанная в цилиндр, называется призма, у которой плоскости основания совпадают с плоскостями оснований цилиндра, а боковые ребра являются образующими цилиндра. Призма, описанная около цилиндра, называется призма, у которой плоскости оснований совпадают с плоскостями оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (Рис.3). Если плоскость проходит через образующую цилиндра и перпендикулярна осевому сечению, то она называется касательной плоскостью к цилиндру. |
Рис. 3 Описанная и вписанная призма. |
|||
4.Вписанная и описанная пирамида |
||||
Пирамида, вписанная в конус, называется пирамида, у которой вершина совпадает с вершиной конуса, а многоугольник в основании вписан в окружность основания конуса. Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой вершина совпадает с вершиной конуса, а в многоугольник основания вписано основание окружности конуса. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса (плоскость α) и перпендикулярная плоскости осевого сечения (плоскость β), проходящей через эту образующую (Рис.4). |
Рис. 4 Вписанная и описанная пирамида. |
|||
5. Шар |
||||
Шар это геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. (Рис.5). Точка, от которой все остальные точки находятся на расстоянии не большем данного, называется центром шара. Граница шара называется сферой. Совокупность всех точек сферы удалена от центра на расстояние, равное радиусу. Таким образом, любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой сферы, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
|
Рис. 5 Шар. |
|||
Сечение шара плоскостью |
||||
Если секущая плоскость проходит через центр шара, например плоскость α, то она называется диаметральной плоскостью. А сечение называется большим кругом (Рис.5.1). Если секущая плоскость не проходит через центр шара, то в сечении получится также круг. Сформулируем следующую теорему. Теорема. Любое сечение шара представляет собой круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Пусть β - секущая плоскость. Проведем перпендикуляр из центра шара точки O на плоскость β. Обозначим основание перпендикуляра точкой O'. ![]() Теорема доказана.
|
Рис. 5.1 Сечение шара плоскостью. |
|||
6. Симметрия шараТеорема. Центр шара является его центром симметрии, а любая диаметральная плоскость является его плоскостью симметрии. Доказательство. Пусть α - диаметральна плосксоть шара, а Y его произвольная точка (Рис.6). Построим точку Y', симметричную точке Y относительно плоскости α. Так как отрезок YY' перпендикулярен плоскости α и делится этой плоскостью пополам точкой пересечения А, то треугольники OYA и OY'A равны по двум сторонам и углу между ними, т.е. OY=OY'. Отрезки OY и OY' принадлежат шару, так как OY = OY' ≤ R. Отложим отрезок OY'' симметрично относительно центра шара точки О. Тогда OY = OY'' ≤ R. Т.е. точка Y'' также принадлежит шару. Следовательно точка О является точкой симметрии шара, а диаметральная плоскость - плоскостью симметрии.
|
Рис. 6 Симметрия шара. |
|||
![]() |
||||
7. Пример 1 |
||||
Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения. |
||||
Решение: |
Рис.7 Задача. Радиус основания цилиндра 2 м... |
|||
Пример 2 |
||||
Высота цилиндра 6 м, радиус основания 5 м. Концы отрезка DC', длина которого 10 м, лежат на окружностях оснований. Найдите расстояние от этого отрезка до оси цилиндра. |
||||
Решение: |
Рис.8 Задача. Высота цилиндра 6 м... |
|||
Пример 3 |
||||
Высота конуса 20 м, радиус основания 25 м. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12 м. |
||||
Решение: |
Рис.9 Задача. Высота конуса 20 м... |
|||
Пример 4 |
||||
Высота конуса 10 м. Радиус основания 6 м. На каком расстоянии от вершины необходимо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания. |
||||
Решение: |
Рис.10 Задача. Высота конуса 10 м... |
|||
Пример 5 |
||||
Радиусы оснований усеченного конуса 4 м и 12 м, образующая 10 м. Найдите площадь осевого сечения. |
||||
Решение: |
Рис.11 Задача. Радиусы оснований усеченного конуса 4 м и 12 м... |
|||
![]() |
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 | ||||
Содержание |
||||
Страница 1 | Страница 5 | |||
1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии. 3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку. 4.Пересечение прямой с плоскостью. 5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки. |
1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений. 3.Параллелепипед. 4.Прямоугольный параллелепипед. 5.Пирамида. 6.Усеченная пирамида. 7.Правильные многогранники. |
|||
Страница 2 | Страница 6 | |||
1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых. 3.Признак параллельности плоскостей. 4.Свойства параллельных плоскостей. |
1.Цилиндр.
2.Конус. 3.Вписанная и описанная призма. 4.Вписанная и описанная пирамида. 5.Шар. 6.Симметрия шара. |
|||
Страница 3 | Страница 7 | |||
1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 3.Теорема о трех перпендикулярах. 4.Признак перпендикулярности плоскостей. 5.Расстояние между скрещивающимися прямыми. |
1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед. 3.Объем пирамиды. 4.Объем призмы. 5.Равновеликие тела. 6.Объемы подобных тел. |
|||
Страница 4 | Страница 8 | |||
1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками. 3.Преобразование симметрии в пространстве. 4.Движение в пространстве. 5.Угол между прямой и плоскостью. 6.Угол между плоскостями. 7.Векторы в пространстве. 8.Площадь ортогональной проекции многоугольника. |
1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра. 3.Площадь боковой поверхности конуса. 4.Объем конуса. 5.Объем тел вращения. 6.Объем шара. 7.Объем шарового сегмента и сектора. 8.Площадь сферы. |
|||
|
||
www.mathtask.ru | ||