Стереометрия. Страница 6
Math Task сайт репетиторов

Стереометрия. Страница 6

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Стереометрия. Страница 6  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
7.Примеры.

 

   
1 2 3 4 5 6 7 8
         
line
         

1. Цилиндр

    Цилиндр представляет собой тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (Рис.1).

   Два круга, лежащих в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими.

   Так как основания совмещаются параллельным переносом, то они равны. И так как они лежат в параллельных плоскостях, то образующие цилиндра параллельны и равны.

   Если образующие перпендикулярны основанию, то цилиндр называется прямым.

   Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из образующих.

   Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. А высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.


Сечение цилиндра плоскостями

   Если взять сечение цилиндра плоскостью, проходящей по его оси, то получится прямоугольник. (Рис.1) Такое сечение называется осевым. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, также представляет собой прямоугольник. Две его стороны - образующие цилиндра, а две другие стороны - параллельные хорды оснований.

   Теорема. Плоскость сечения цилиндра, параллельная его плоскости основания, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. (Рис.1.1)

   Пусть плоскость α - секущая плоскость, параллельная основанию. Подвергнем плоскость α движению в верх вдоль оси цилиндра. Параллельным переносом совместим плоскость α с плоскостью верхнего основания цилиндра. Таким образом сечение боковой поверхности совпадет с окружностью верхнего основания. Теорема доказана.

 

Цилиндр

Рис. 1 Цилиндр.

Сечения цилиндра плоскостями

Рис. 1.1 Сечения цилиндра плоскостями.

 
         
         
         

2.Конус

 
 

    Конусом называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости основания этого конуса - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания (Рис.2).

   Точка, не лежащая в плоскости основания, называется вершиной конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

   Конус называется прямым, если прямая, проведенная из вершины конуса в центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

   Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостями

   Сечение прямого конуса плоскостью, которая проходит через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса. Сечение, которое проходит через ось конуса, называется осевым.

   Теорема. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, есть круг с центром на оси конуса.

   Доказательство. Пусть α - плоскость, параллельная основанию (Рис 2.1). Плоскость α пересекает конус по кругу. Подвергнем сечение конуса гомотетии относительно вершины конуса. Т.е. совместим плоскость α с плоскостью основания конуса. Сечение конуса полностью совпадет с основанием. Следовательно сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности - окружность с центром на оси конуса.

 

 

Конус

Рис.2 Конус

Сечение конуса

Рис.2.1 Сечение конуса

 
         

3. Вписанная и описанная призма

 
 

   Призма, вписанная в цилиндр, называется призма, у которой плоскости основания совпадают с плоскостями оснований цилиндра, а боковые ребра являются образующими цилиндра.

   Призма, описанная около цилиндра, называется призма, у которой плоскости оснований совпадают с плоскостями оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (Рис.3).

   Если плоскость проходит через образующую цилиндра и перпендикулярна осевому сечению, то она называется касательной плоскостью к цилиндру.

 

Вписанная и описанная призма

Рис. 3 Описанная и вписанная призма.

 
         

4.Вписанная и описанная пирамида

 

   Пирамида, вписанная в конус, называется пирамида, у которой вершина совпадает с вершиной конуса, а многоугольник в основании вписан в окружность основания конуса.

   Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой вершина совпадает с вершиной конуса, а в многоугольник основания вписано основание окружности конуса.

   Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса (плоскость α) и перпендикулярная плоскости осевого сечения (плоскость β), проходящей через эту образующую (Рис.4).

 

Вписанная и описанная пирамида

Рис. 4 Вписанная и описанная пирамида.

 
         
         
         

5. Шар

 
 

   Шар это геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. (Рис.5). Точка, от которой все остальные точки находятся на расстоянии не большем данного, называется центром шара.

    Граница шара называется сферой. Совокупность всех точек сферы удалена от центра на расстояние, равное радиусу. Таким образом, любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой сферы, называется радиусом.

    Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

 

 

Шар

Рис. 5 Шар.

 

Сечение шара плоскостью

 
 

    Если секущая плоскость проходит через центр шара, например плоскость α, то она называется диаметральной плоскостью. А сечение называется большим кругом (Рис.5.1).

    Если секущая плоскость не проходит через центр шара, то в сечении получится также круг. Сформулируем следующую теорему.

    Теорема. Любое сечение шара представляет собой круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

    Пусть β - секущая плоскость. Проведем перпендикуляр из центра шара точки O на плоскость β. Обозначим основание перпендикуляра точкой O'.

Сечение шара плоскостью

    Теорема доказана.

 

 

Сечение шара плоскостью

Рис. 5.1 Сечение шара плоскостью.

 

6. Симметрия шара

   Теорема. Центр шара является его центром симметрии, а любая диаметральная плоскость является его плоскостью симметрии.

   Доказательство. Пусть α - диаметральна плосксоть шара, а Y его произвольная точка (Рис.6). Построим точку Y', симметричную точке Y относительно плоскости α. Так как отрезок YY' перпендикулярен плоскости α и делится этой плоскостью пополам точкой пересечения А, то треугольники OYA и OY'A равны по двум сторонам и углу между ними, т.е. OY=OY'. Отрезки OY и OY' принадлежат шару, так как OY = OY' ≤ R.

   Отложим отрезок OY'' симметрично относительно центра шара точки О. Тогда OY = OY'' ≤ R. Т.е. точка Y'' также принадлежит шару. Следовательно точка О является точкой симметрии шара, а диаметральная плоскость - плоскостью симметрии.

 

 

Симметрия шара

Рис. 6 Симметрия шара.

 
         
line
         

7. Пример 1

 

   Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан цилиндр высотой 3 м и радиусом 2 м (Рис.7). По теореме Пифагора найдем АС:

   AС2 = AD2 + CD2 = 42 + 32 = 25

   Отсюда,

   AС = 5 м.

 

Задача. Радиус основания цилиндра 2 м...

Рис.7 Задача. Радиус основания цилиндра 2 м...

 
         
         
 

Пример 2

 

   Высота цилиндра 6 м, радиус основания 5 м. Концы отрезка DC', длина которого 10 м, лежат на окружностях оснований. Найдите расстояние от этого отрезка до оси цилиндра.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан цилиндр высотой 6 м с радиусом основания 5 м и отрезком DC' = 10 м (Рис. 8). Проведем два перпендикуляра C'C и D'D. Так как эти перпендикуляры параллельны, то проведем через них плоскость α. Теперь проведем плоскость β через ось O'O, параллельную плоскости α.

   Таким образом, получается, что через две скрещивающиеся прямые OO' и DC' проходят две параллельные плоскости α и β. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, в которых эти прямые лежат.

   Отсюда следует, что длина перпендикуляра ОЕ и будет расстояние от отрезка DC' до оси цилиндра OO'.

   Найдем хорду DC из прямоугольного треугольника DC'C:

   DС'2 = DC2 + CC'2

   DC2 = 102 - 62 = 64, DC = 8 м.

   Теперь из прямоугольного треугольника OED найдем ОЕ:

   ОЕ2 = OD2 - DE2 = 52 - 42 = 9

   Отсюда, ОЕ = 3 м.

 

Задача. Высота цилиндра 6 м...

Рис.8 Задача. Высота цилиндра 6 м...

 
         
         
 

Пример 3

 

   Высота конуса 20 м, радиус основания 25 м. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12 м.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан конус высотой 20 м с радиусом основания 25 м. OF = 12 м (Рис. 9). Найдем синус угла OSF из прямоугольного треугольника OSF.

   sin OSF = OF / SO = 12 / 20 = 3/5, следовательно, cos OSF = 4/5

   Из прямоугольного треугольника OSC найдем SC:

   cos OSC = SO / SC, SC = SO / cos OSC = 20/4/5 = 25 м

   По теореме Пифагора найдем ОС:

   ОC2 = SC2 - SO2 = 252 - 202 = 225, OC = 15 м.

   Из прямоугольного треугольника АОС найдем АC:

   АC2 = АО2 - ОС2 = 252 - 152 = 400, АC = 20 м.

   Таким образм, площадь сечения равна:

    SASB = AC * SC = 20 * 25 = 500 м2.

 

Задача. Высота конуса 20 м...

Рис.9 Задача. Высота конуса 20 м...

 
         
         
 

Пример 4

 

   Высота конуса 10 м. Радиус основания 6 м. На каком расстоянии от вершины необходимо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан конус высотой 10 м и радиусом основания 6 м (Рис. 10). Обозначим площадь основания как Sб, а площадь сечения как Sм. Найдем площадь большего основания Sб:

   Sб = π R2 = π 62 = 36π м2

   Соответственно площадь малого основания Sм будет равна:

   Sм = Sб / 2 = 36π / 2 = 18π м2

   Отсюда, радиус сечения СА равен Задача.

   Рассмотрим треугольники BOS и CAS. Они подобны. Коэффициент подобия составляет k = CA / BO = Задача. / 6

   Отсюда следует, что SA = k SO = 10 Задача. / 6 = 5Задача. м

   Таким образом, для того чтобы площадь сечения составляла половину площади основания, расстояние от вершины конуса до плоскости сечения должно составлять 5Задача. м.

 

Задача. Высота конуса 10 м...

Рис.10 Задача. Высота конуса 10 м...

 
         
         
 

Пример 5

 

   Радиусы оснований усеченного конуса 4 м и 12 м, образующая 10 м. Найдите площадь осевого сечения.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан усеченный конус. Образующая АС = 10 м и радиусы оснований СЕ = 4 м, АО = 12 м (Рис. 11). Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию. Отсюда следует, что площадь сечения можно найти как сумму площадей прямоугольника CFTP и двух равных треугольников АСР и TFB.

   Найдем площадь двух треугольников АСР и TFB:

   AP = AO - CE = 12 - 4 = 8 м

   По теореме Пифагора найдем СР:

   СР2 = AC2 - AР2 = 102 - 82 = 36, CP = 6 м

   SACP + STFP = 2 SACP = 2 * АР * СР / 2 = 2 * 8 * 6 / 2 = 48 м2

   Теперь найдем площадь прямоугольника SCFTP:

   SCFTP = CF * CP = 2 CE * CP = 2 * 4 * 6 = 48 м2

   Таким образом, площадь сечения усеченного конуса составляет:

   SАCFВ = SCFTP + 2 SACP = 48 + 48 = 96 м2.

 

Задача. Радиусы оснований усеченного конуса 4 м и 12 м...

Рис.11 Задача. Радиусы оснований усеченного конуса 4 м и 12 м...

 
         
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8
         
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 5  
  1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
  1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
 
         
  Страница 2   Страница 6  
  1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
  1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
 
         
  Страница 3   Страница 7  
  1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
  1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
 
         
  Страница 4   Страница 8  
  1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
  1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.
 
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru