| |
|
|
|
|
| |
Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 7 |
|
| |
 |
|
| |
|
|
| |
1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
7.Примеры.
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
1. Объем
Объем - это величина, показывающая какое количество пространства занимает тело. Например, объем куба, ребро которого равно единице, равен единице. Объем измеряется в кубических единицах. В каких единицах измерения исчисляются три измерения тела (длина, ширина, высота), в таких единицах измеряется и объем. Например, если ребро куба равно 1 м, то его объем будет равен одному кубическому метру, т.е. 1 м3.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Пусть даны два прямоугольных параллелепипеда ABCDA'B'C'D' и ABCDEE'E"E"' с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АA' (Рис.1). Обозначим объем параллелепипеда ABCDA'B'C'D' - V, а объем параллелепипеда ABCDEE'E"E"' - V1.
Разобьем сторону AA' на большое число n равных частей. Т.е. каждая часть параллелепипеда имеет высоту, равную АA'/ n. Пусть m - число частей, которые укладываются на ребре АЕ.
Возьмем куб объемом одна единица и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: a:1:1, a:b:1, a:b:c (Рис.1.1). Обозначим их объемы как V1, V2, V. Тогда можно составить следующие соотношения:
Перемножив эти три равенства почленно, получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен: V = abc.
|
|
Рис. 1 Объем прямоугольного параллелепипеда.
Рис. 1.1 Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
2.Наклонный параллелепипед
|
|
| |
Пусть дан наклонный параллелепипед ABCDA'B'C'D' (Рис.2). Проведем плоскость через ребро D'C', перпендикулярную основанию ABCD и построим треугольную призму, у которой грань DD'C'С будет являтся общей с гранью параллелепипеда DD'C'С.
Отсечем точно такую же призму с другой стороны параллелепипеда AA'EBB'F. Отсюда следует, что объем параллелепипеда EFHOA'B'C'D' равен объему исходного параллелепипеда ABCDA'B'C'D'. Так как мы добавили и отсекли треугольную призму одного и того же размера.
Объем параллелепипеда EFHOA'B'C'D' равен произведению площади основания EFHO на высоту EA'.
Следует отметить, что если у параллелепипеда две соседние боковые грани находятся под некоторым углом к основанию, т.е. ≠ 90°, то такое преобразование необходимо проделать два раза.
Таким образом, в конечном итоге, можно получить прямоугольный параллелепипед, у которого все боковые грани находятся под прямым углом к основанию. Такое преобразование сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.
Следовательно, объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
|
|
Рис.2 Наклонный параллелепипед
|
|
| |
|
|
|
|
|
3.Объем призмы
|
|
| |
Пусть дана треугольная призма ABCA'B'C' (Рис.3). Достроим данную призму до параллелепипеда. Тогда точка пересечения диагоналей (точка О) параллелограмма BB'C'C будет являться точкой симметрии. Следовательно объем призмы будет равен половине объема параллелепипеда.
Так как объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, то объем призмы будет равен также произведению площади основания на высоту.
Допустим, что основание призмы есть многоугольник. Тогда его можно разбить на несколько треугольников. Следовательно вся призма будет представлять собой несколько треугольных призм. А общий объем будет равен сумме объемов этих призм.
Таким образом: объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
|
|
Рис. 3 Объем призмы. |
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
| |
 |
|
| |
|
4. Объем пирамиды
|
|
| |
Пусть дана треугольная пирамида ABCS c вершиной S и основанием ABC (Рис.4). Достроим эту пирамиду до треугольной призмы с той же высотой и тем же основанием ABC. Таким образом, треугольная призма будет состоять из трех одинаковых пирамид.
Пирамида ABCS с вершиной S.
Пирамида AECS с вершиной S.
Пирамида CEFS с вершиной S.
Пирамиды AECS и CEFS имеют равные основания AEC и CEF и общую вершину S и соответственно высоту. Следовательно, они имеют равные объемы.
Пирамиды ABCS и CEFS имеют также равные основания ABC и SFE и равные высоты, т.к. основания лежат в параллельных плоскостях.
Отсюда можно сделать вывод, что все три пирамиды имеют один и тот же объем. Таким образом, объем одной пирамиды равен одной трети объема призмы.
Если основание пирамиды представляет собой многоугольник, то его можно разбить на треугольники и объем такой пирамиды можно рассчитать как сумму объемов всех составляющих пирамид, т.к. они все имеют одну и ту же высоту.
Отсюда можно сделать вывод, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
Объем усеченной пирамиды
Пусть дана усеченная пирамида ABCA'B'C' (Рис.4.1). Достроим нашу пирамиду до полной с вершиной O. Тогда объем усеченной пирамиды будет равен разности двух пирамид.
Пусть х - высота полной пирамиды,
h - высота усеченной пирамиды.
S1 - площадь основания полной пирамиды
S2 - площадь основания малой пирамиды
|
|
Рис. 4 Объем пирамиды.
Рис. 4.1 Объем усеченной пирамиды. |
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
5. Равновеликие тела
|
|
| |
Два геометрических тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.
Пусть даны две треугольные пирамиды, у которых равные площади оснований и высоты. Разделим высоту каждой пирамиды на n равных частей. Через каждую точку деления проведем плоскость, параллельную основанию. Для каждого слоя пирамиды построим призму, как показано на рисунке 5 а и b. Призма в k - м слое первой пирамиды (а) равна призме в k - 1 слое второй пирамиды (b). Так как у них площади оснований подобны с коэффициентом подобия k/n и высоты равны H/n. Отсюда следует, что они имеют равные объемы.
Пусть:
Va - объем пирамиды а
Vb - объем пирамиды b
Ga - сумма объемов призм пирамиды а
Gb - сумма объемов призм пирамиды b
Тогда суммы объемов Ga и Gb можно рассчитать по формулам:
Если n будет стремиться к бесконечности, то дробь SH/n будет стремиться к нулю. Следовательно:
Vb - Va ≤ 0 или Vb ≤ Va
Если поменять местами пирамиды, то можно получить противоположное неравенство, т.е. Vb ≥ Va . Следовательно, объемы двух пирамид а и b равны, т.е. Vb = Va
Отсюда можно сделать вывод, что две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.
|
|
Рис. 5 Равновеликие тела.
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
6. Объемы подобных тел
Пусть даны два подобных куба Q1 и Q2 (Рис.6), которые имеют измерения Q1:a,b,c и Q2:ka,kb,kc c коэффициентом подобия k соответственно.
Тогда объем куба Q1 равен V1 = abc,
а объем куба Q2 равен V2 = ka kb kc = k3 abc = k3 V1.
Т.е. V2 = k3 V1
Следовательно, отношение объемов двух кубов равно k3
Если тело представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, то его можно разбить на определенное колическтво призм. И общий объем будет равен сумме обемов всех призм. Так как отношение площадей равно k2, а отношение высот этих фигур равно k, то объемы двух подобных фигур будут равны:
V 1 = S1h + S2h + S3h + ... + Snh
Объем подобной фигуры:
V 2 = k2S1kh + k2S2kh + k2S3kh + ... + k2Snkh
Следовательно:
V 2 = k2k (S1h + S2h + S3h + ... + Snh)
или
V 2 = k3 V1
Точно так же можно разбить тело на несколько пирамид. Тогда объем всего тела будет равен сумме всех составляющих его пирамид.
Отсюда можно сделать следующий вывод, что отношение объемов двух подобных тел равно кубу их коэффициента подобия.
|
|
Рис. 6 Объемы подобных тел.
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
7. Пример 1 |
| |
Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м переплавлены в один куб. Чему равно ребро этого куба. |
|
| |
|
|
|
|
| |
Решение:
Пусть даны три латунных куба со сторонами 6 м, 8 м и 10 м (Рис.7). Найдем объем каждого куба:
V6 = 63 = 216 м3
V8 = 83 = 512 м3
V10 = 103 = 1000 м3
Отсюда следует, что общий объем должен быть равен:
Vобщ = V6 + V8 + V10 = 216 + 512 + 1000 = 1728 м3
Следовательно, сторону куба можно найти из формулы:
V = a3
а = 3 = 3 = 12
м.
|
|
Рис.7 Задача. Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м... |
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Пример 2 |
| |
Измерения прямоугольного бруска 3 м, 4 м и 5 м. Если увеличить каждое ребро на х метров, то поверхность увеличится на 54 м2. Как увеличится его объем? |
|
| |
|
|
|
|
| |
Решение:
Пусть дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 3 м, 4 м и 5 м (Рис.8). Найдем его площадь поверхности и объем.
S1 = 2 * ((5 * 4) + (5 * 3) + (4 * 3)) = 94 м2
V1 = 5 * 4 * 3 = 60 м3
Так как площадь поверхности увеличилась на 54 м 2, то можно составить следующее соотношение:
S2 = 2 * ((5 + х) * (4 + х) + (5 + х) * (3 + х) + (4 + х) * (3 + х)) = 94 + 54 = 148
3 x2 + 24 x - 27 = 0
x2 + 8 x - 9 = 0
Корни уравнения: x1 = - 9, x2 = 1
Отсюда следует, что измерения увеличенного бруска составляют 4 м, 5 м и 6 м.
Отсюда, V2 = 6 * 5 * 4 = 120 м3
Т.е. объем увеличится вдвое.
|
|
Рис.8 Задача. Измерения прямоугольного бруска... |
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Пример 3 |
| |
Основание прямого параллелепипеда - ромб, площадь которого 1 м2. Площадь диагональных сечений 3 м2 и 6 м2. Найдите объем параллелепипеда. |
|
| |
|
|
|
|
| |
Решение:
Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб (Рис.9). Обозначим несколько переменных. h = AA', a = AO, b = OD. Тогда составим следующие соотношения:
SABCD = 2 a b = 1 - площадь ромба;
SBB'D'D = 2 b h = 3 - площадь сечения BB'D'D;
SAA'C'C = 2 a h = 6 - площадь сечения AA'C'C;
Третье уравнение решим относительно h и подставим во второе, затем второе уравнение подставим в первое:
2 ab = 1
2b = a
h = 3 / a
Отсюда, а = 1 м, b = 1 / 2 м, h = 3 м.
Следовательно, объем параллелепипеда равен:
V = 2 ab h = 2 * 1 * 1/2 * 3 = 3 м3.
|
|
Рис.9 Задача. Основание прямого параллелепипеда - ромб... |
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Пример 4 |
| |
Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояние между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы. |
|
| |
|
|
|
|
| |
Решение:
Пусть дана наклонная треугольная призма (Рис.10). Боковое ребро AA' = 15 м, PC = 25 м, PE = 17 м, EC = 26 м. Сечение РЕС перпендикулярно боковым ребрам. Найдем площадь треугольника РЕС по формуле Герона:
PPEC = (17 + 25 + 26) / 2 = 34 - полупериметр треугольника РЕС.
SPEC2 = P(P - PE)(P - PC)(P - EC) = 34(34 - 17)(34 - 25)(34 - 26) = 41616
SPEC = 204 м2
Так как треугольник РЕС лежит в плоскости, которая перпендикулярна ребрам призмы, то его следует рассматривать как проекцию треугольника АВС на плоскость сечения. Проведем прямую а, перпендикулярную стороне АВ. Опустим перпендикуляры ОC и TС к прямой а. Следовательно, угол ТСО = α и будет угол между плоскостями. Таким образом площадь треугольника АВС можно найти из формулы:
SPEC = SABC cos α или SАВС = SРЕС / cos α
|
|
Рис.10 Задача. Боковые ребра наклонной треугольной призмы... |
|
| |
|
|
|
|
| |
Опустим перпендикуляр DS. Треугольники KSC и TDK подобны по двум углам. Следовательно, ∠ОDS = α. А отсюда следует, что DS = OD cos α (где OD = AA' = 15 м - боковое ребро призмы)
Таким образом, объем призмы можно найти по формуле:
V = DS * SABC = OD cos α * SРЕС / cos α = 15 * 204 = 3060 м3.
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Пример 5 |
| |
Основание пирамиды - равнобедренный треугольник со сторонами 6 м, 6 м и 8 м. Все боковые ребра равны 9 м. Найдите объем пирамиды. |
|
| |
|
|
|
|
| |
Решение:
Пусть дана треугольная пирамида (Рис.11). AC = ВС = 6 м, АB = 8 м, SA = SB = SC = 9 м. Найдем площадь основания АВС по формуле Герона:
PАВC = (6 + 6 + 8) / 2 = 10 - полупериметр треугольника ABС.
SABC2 = P(P - АВ)(P - ВC)(P - АC) = 10(10 - 6)2(10 - 8) = 320
SABC = 8  м2
Найдем радиус описанной окружности:
R = ОС = AB * BC * AC / 4S = 62 * 8 / 4 * 8 = 9 /
м
По теореме Пифагора найдем SO:
SO2 = SC2 - CO2 = 92 - (9 / )2 = 324 / 5
SO = 18 / м
Теперь объем пирамиды найдем по формуле:
V = SABC * SO / 3 = 8 * 18 /
/ 3 = 48 м 3.
|
|
Рис.11 Задача. Основание пирамиды - равнобедренный треугольник... |
|
| |
|
|
|
|
| |
| |
 |
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Содержание |
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Страница 1 |
|
Страница 5 |
|
| |
1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
|
|
1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Страница 2 |
|
Страница 6 |
|
| |
1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
|
|
1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Страница 3 |
|
Страница 7 |
|
| |
1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
|
|
1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
|
|
| |
|
|
|
|
| |
Страница 4 |
|
Страница 8 |
|
| |
1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
|
|
1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
