Стереометрия. Страница 7

1. Объем

    Объем - это величина, показывающая какое количество пространства занимает тело. Например, объем куба, ребро которого равно единице, равен единице. Объем измеряется в кубических единицах. В каких единицах измерения исчисляются три измерения тела (длина, ширина, высота), в таких единицах измеряется и объем. Например, если ребро куба равно 1 м, то его объем будет равен одному кубическому метру, т.е. 1 м³.

Объем прямоугольного параллелепипеда

   Пусть даны два прямоугольных параллелепипеда ABCDA'B'C'D' и ABCDEE'E"E"' с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АA' (Рис.1). Обозначим объем параллелепипеда ABCDA'B'C'D' - V, а объем параллелепипеда ABCDEE'E"E"' - V₁.

   Разобьем сторону AA' на большое число n равных частей. Т.е. каждая часть параллелепипеда имеет высоту, равную АA'/ n. Пусть m - число частей, которые укладываются на ребре АЕ.

   Возьмем куб объемом одна единица и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: a:1:1, a:b:1, a:b:c (Рис.1.1). Обозначим их объемы как V₁, V₂, V. Тогда можно составить следующие соотношения:

   Перемножив эти три равенства почленно, получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен: V = abc.

2.Наклонный параллелепипед

    Пусть дан наклонный параллелепипед ABCDA'B'C'D' (Рис.2). Проведем плоскость через ребро D'C', перпендикулярную основанию ABCD и построим треугольную призму, у которой грань DD'C'С будет являтся общей с гранью параллелепипеда DD'C'С.

   Отсечем точно такую же призму с другой стороны параллелепипеда AA'EBB'F. Отсюда следует, что объем параллелепипеда EFHOA'B'C'D' равен объему исходного параллелепипеда ABCDA'B'C'D'. Так как мы добавили и отсекли треугольную призму одного и того же размера.

   Объем параллелепипеда EFHOA'B'C'D' равен произведению площади основания EFHO на высоту EA'.

   Следует отметить, что если у параллелепипеда две соседние боковые грани находятся под некоторым углом к основанию, т.е. ≠ 90°, то такое преобразование необходимо проделать два раза.

   Таким образом, в конечном итоге, можно получить прямоугольный параллелепипед, у которого все боковые грани находятся под прямым углом к основанию. Такое преобразование сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.

   Следовательно, объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

3.Объем призмы

   Пусть дана треугольная призма ABCA'B'C' (Рис.3). Достроим данную призму до параллелепипеда. Тогда точка пересечения диагоналей (точка О) параллелограмма BB'C'C будет являться точкой симметрии. Следовательно объем призмы будет равен половине объема параллелепипеда.

   Так как объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, то объем призмы будет равен также произведению площади основания на высоту.

   Допустим, что основание призмы есть многоугольник. Тогда его можно разбить на несколько треугольников. Следовательно вся призма будет представлять собой несколько треугольных призм. А общий объем будет равен сумме объемов этих призм.

   Таким образом: объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

4. Объем пирамиды

   Пусть дана треугольная пирамида ABCS c вершиной S и основанием ABC (Рис.4). Достроим эту пирамиду до треугольной призмы с той же высотой и тем же основанием ABC. Таким образом, треугольная призма будет состоять из трех одинаковых пирамид.
Пирамида ABCS с вершиной S.
Пирамида AECS с вершиной S.
Пирамида CEFS с вершиной S.

   Пирамиды AECS и CEFS имеют равные основания AEC и CEF и общую вершину S и соответственно высоту. Следовательно, они имеют равные объемы.

   Пирамиды ABCS и CEFS имеют также равные основания ABC и SFE и равные высоты, т.к. основания лежат в параллельных плоскостях.

   Отсюда можно сделать вывод, что все три пирамиды имеют один и тот же объем. Таким образом, объем одной пирамиды равен одной трети объема призмы.

   Если основание пирамиды представляет собой многоугольник, то его можно разбить на треугольники и объем такой пирамиды можно рассчитать как сумму объемов всех составляющих пирамид, т.к. они все имеют одну и ту же высоту.

   Отсюда можно сделать вывод, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Объем усеченной пирамиды

   Пусть дана усеченная пирамида ABCA'B'C' (Рис.4.1). Достроим нашу пирамиду до полной с вершиной O. Тогда объем усеченной пирамиды будет равен разности двух пирамид.

Пусть х - высота полной пирамиды,
h - высота усеченной пирамиды.
S₁ - площадь основания полной пирамиды
S₂ - площадь основания малой пирамиды

5. Равновеликие тела

   Два геометрических тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.

    Пусть даны две треугольные пирамиды, у которых равные площади оснований и высоты. Разделим высоту каждой пирамиды на n равных частей. Через каждую точку деления проведем плоскость, параллельную основанию. Для каждого слоя пирамиды построим призму, как показано на рисунке 5 а и b. Призма в k - м слое первой пирамиды (а) равна призме в k - 1 слое второй пирамиды (b). Так как у них площади оснований подобны с коэффициентом подобия k/n и высоты равны H/n. Отсюда следует, что они имеют равные объемы.

    Пусть:
V_a - объем пирамиды а
V_b - объем пирамиды b
G_a - сумма объемов призм пирамиды а
G_b - сумма объемов призм пирамиды b

Тогда суммы объемов G_a и G_b можно рассчитать по формулам:

    Если n будет стремиться к бесконечности, то дробь SH/n будет стремиться к нулю. Следовательно:

    V_b - V_a ≤ 0 или V_b ≤ V_a

   Если поменять местами пирамиды, то можно получить противоположное неравенство, т.е. V_b ≥ V_a . Следовательно, объемы двух пирамид а и b равны, т.е. V_b = V_a

   Отсюда можно сделать вывод, что две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.

6. Объемы подобных тел

   Пусть даны два подобных куба Q₁ и Q₂ (Рис.6), которые имеют измерения Q₁:a,b,c и Q₂:ka,kb,kc c коэффициентом подобия k соответственно.

   Тогда объем куба Q₁ равен V₁ = abc,
а объем куба Q₂ равен V₂ = ka kb kc = k³ abc = k³ V₁.

Т.е. V₂ = k³ V₁

Следовательно, отношение объемов двух кубов равно k³

   Если тело представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, то его можно разбить на определенное колическтво призм. И общий объем будет равен сумме обемов всех призм. Так как отношение площадей равно k², а отношение высот этих фигур равно k, то объемы двух подобных фигур будут равны:

V ₁ = S₁h + S₂h + S₃h + ... + S_nh

Объем подобной фигуры:

V ₂ = k²S₁kh + k²S₂kh + k²S₃kh + ... + k²S_nkh

Следовательно:

V ₂ = k²k (S₁h + S₂h + S₃h + ... + S_nh)

или
V ₂ = k³ V₁

   Точно так же можно разбить тело на несколько пирамид. Тогда объем всего тела будет равен сумме всех составляющих его пирамид.

   Отсюда можно сделать следующий вывод, что отношение объемов двух подобных тел равно кубу их коэффициента подобия.