Стереометрия. Страница 8
Math Task сайт репетиторов

Стереометрия. Страница 8

 
  line    
line
 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Стереометрия. Страница 8  
  line  
 
  • Репетитор по математике - Васильев Алексей Александрович Math Task Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Math Task Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

           Стоимость: 2000 руб / 90 мин.
  • Репетитор по математике - Крюков Илья Хассанович Math Task Репетитор: Крюков Илья Хассанович

    Math Task Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

           Стоимость: 1600 руб / 60 мин.
  • Репетитор по математике - Скрипаленко Михаил Михайлович Math Task Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

    Math Task Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по русскому языку - Матвеева Милада Андреевна Math Task Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

    Math Task Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

           Стоимость: 1200 руб / 60 мин.
  • Репетитор по физике - Тверской Василий Борисович Math Task Репетитор: Тверской Василий Борисович

    Math Task Предметы: математика, физика.

           Стоимость: 3500 руб / 90 мин.
  • Репетитор по английскому языку - Поздняков Андрей Александрович Math Task Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

    Math Task Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

           Стоимость: 2000 руб / 60 мин.
  • Репетитор по бухучету - Ершикова Марина Львовна Math Task Репетитор: Ершикова Марина Львовна

    Math Task Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

           Стоимость: 1500 руб / 60 мин.
 
 
1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.

 

   
1 2 3 4 5 6 7 8
         
line
         

1. Площадь боковой поверхности цилиндра

    Пусть дан цилиндр (Рис.1). Впишем в него правильную n-угольную призму. Площадь боковой поверхности призмы равна:

   S = PH

где
   P - периметр основания
   H - высота

   При неограниченном увеличении n, т.е. числа углов в многоугольнике основания, его периметр будет приближаться к длине окружности. Следовательно площадь боковой поверхности будет равна:

   S = LH = 2 π R H

где
   L - длина окружности основания
   R - радиус основания
   H - высота цилиндра

   Таким образом: площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

 

Площадь боковой поверхности цилиндра

Рис. 1 Площадь боковой поверхности цилиндра.

 
         
         
         

2.Объем цилиндра

 
 

    Тело имеет объем, равный V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, мало отличающимися от V.

   Пусть дан цилиндр высотой H (Рис.2). Построим внутри цилиндра призму, в основании которой лежит многоугольник, вписанный в основание цилиндра. И построим призму с основанием, в котором содержится круг, т.е. основание цилиндра. Обе призмы имеют высоту H - такую же, как у цилиндра. Таким образом, получим две призмы: одна содержится в цилиндре, а другая содержит цилиндр. В основании обоих призм лежат многоугольники, у которых n углов.

   При стремлении n - числа углов к бесконечности площадь основания призм будет приближаться к площади круга. А так как объем призмы равен произведению площади основания на высоту, то объем цилиндра равен:

   V = SH = π R2H

   Следовательно: объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

 

 

Объем цилиндра

Рис.2 Объем цилиндра

 
         

3. Площадь боковой поверхности конуса

 
 

   Пусть дан конус (Рис.3). Впишем в конус правильную n - угольную пирамиду. Тогда площадь боковой поверхности пирамиды будет равна:

Площадь боковой поверхности конуса

где
   P - периметр основания
   l - апофема боковой грани

   При стремлении n к бесконечности, т.е. при увеличении числа углов в многоугольнике основания, периметр будет приближаться к длине окружности, а апофема к длине образующей. Следовательно площадь боковой поверхности будет равна:

Площадь боковой поверхности конуса

где
   С - длина окружности
   R - радиус окружности основания
   l - длина образующей

   Площадь боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R1 и R2 рассчитывается по следующей формуле.

Площадь боковой поверхности конуса

где
   R1 и R2 - радиусы нижнего и верхнего оснований
   l - длина образующей
 

Площадь боковой поверхности конуса

Рис. 3 Площадь боковой поверхности конуса.

 
         

4.Объем конуса

 

   Пусть дан конус (Рис.4 a). В плоскости основания нашего конуса построим правильный многоугольник, вписанный в круг основания конуса. Построим второй правильный многоугольник, который содержит основание конуса. На имеющихся многоугольниках построим пирамиды: одна содержится в конусе, а другая содержит конус. Многоугольники оснований двух пирамид имеют n углов.

   При неограниченном увеличении числа углов n их площадь будет стремиться к площади круга.

Объем конуса

   Следовательно, объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.


Усеченный конус

   Рассмотрим теперь усеченный конус (Рис.4 b). Достроим его до полного. Тогда объем усеченного конуса будет равен разности двух конусов. Пусть h - высота усеченного конуса, а х - высота полного конуса. R1 и R2 радиусы нижнего и верхнего оснований.

Объем конуса
 

Объем конуса

Рис. 4 Объем конуса.

 
         
         
         

5. Объем тел вращения

 
 

   Пусть дано геометрическое тело (Рис.5). Если провести плоскость, перпендикулярную его оси, то в сечении получится круг. Тогда можно дать такое определение: телом вращения называется тело, у которого сечение плоскостью, перпендикулярное его оси, представляет собой круг в любой точке пересечения плоскости сечения и оси.

   Примеры тел вращения: шар, конус, цилиндр. Найдем формулу расчета объема тел вращения.

   Проведем плоскость через ось тела. В этой плоскости введем декартову систему координат. Ось тела примем за ось х. Плоскость пересекает тело по некоторой линии, которая будет являться функцией f (x), расположенной над осью ОХ.

   Возьмем точку х на оси и проведем через нее плоскость, перпендикулярную оси Х. Тогда величину объема тела левее точки х обозначим как V(x). Т.е. V(x) является функцией от х. Дадим приращение аргументу Δх. Тогда разность V (x+Δх) - V(x) будет представлять собой объем слоя тела толщиной Δх. Т.е. слой, перпендикулярный оси и лежащий между точками х и х+Δх.

   Пусть М2 = f (x+Δх), a M1 = f(x) значения функции в точках х и х+Δх. Тогда объем слоя толщиной Δх будет равен разности объемов V(x+Δх) - V(x) и будет заключен между малым и большим цилиндрами с радиусами М1 и М2. Т.е.

Объем тел вращения

 

 

Объем тел вращения

Рис. 5 Объем тел вращения.

 

6.Объем шара

 
 

    Шар является телом вращения, поэтому для вычисления объема можно применить формулу объема тела вращения.

    Пусть дан шар (Рис.6). Проведем диаметральную плоскость XY. Плоскость XY пересекает шар радиусом R по окружности. Окружность задается уравнением:

R2 = x2 + y2

Объем шара

 

 

Объем шара

Рис. 6 Объем шара.

 
         
         

7.Объем шарового сегмента и сектора

 
 

    Шаровой сегмент - это часть шара, отсекаемая плоскостью (Рис.7).

    Для того, чтобы рассчитать объем шарового сегмента, можно воспользоваться формулой объема тела вращения. Запишем:

Объем шара

где
   R - радиус шара
   H - высота шарового сегмента

Объем шарового сектора

   Теперь рассчитаем объем шарового сектора. Шаровым сектором называется тело, полученное из шарового сегмента и конуса, имеющих общее основание. Вершина конуса находится в центре шара. Если шаровой сегмент меньше полушара, то к шаровому сегменту прибавляется конус. Если сегмент больше полушара, то конус удаляется. Таким образом, объем шарового сектора получается путем сложения или вычитания шарового сегмента и конуса. Тогда запишем:

Объем шара

где
   R - радиус шара
   H - высота шарового сегмента

 

 

Объем шарового сегмента и сектора

Рис. 7 Объем шарового сегмента и сектора.

 
         
         

8.Площадь сферы

 
 

    Пусть дан выпуклый многогранник (Рис.8). Размер каждой грани очень мал. Сумма площадей всех граней примем за Sn. Каждая грань представляет собой основание пирамиды. Если мы построим внутри нашего многогранника шар радиусом R, то высота каждой пирамиды будет представлять собой радиус шара R и сам шар будет касаться граней нашего многогранника. Построим также шар, который будет касаться вершин граней многогранника, но уже с радиусом R + ɛ. Таким образом, получим два шара: один содержится в многограннике, а другой содержит многогранник. Тогда можно найти приближенное значение площади поверхности сферы.

    Так как

Площадь сферы
 

Площадь сферы

Рис. 8 Площадь сферы.

 
         
line
         
1 2 3 4 5 6 7 8
         
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 5  
  1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
  1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
 
         
  Страница 2   Страница 6  
  1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
  1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
 
         
  Страница 3   Страница 7  
  1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
  1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
 
         
  Страница 4   Страница 8  
  1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
  1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.
 
         
         
         
line
    Комментарий:  
         
  Регистрация  
   Для написания комментария необходимо зарегистрироваться!    
         
        Забыли пароль?
      Email:
      Пароль:
       
         
         
         
line
 
line line
Math Task - сайт репетиторов Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru