| |
Пройдите тренировочный тест по математике ЕГЭ.
Ответы округлять до 2-х знаков после запятой. Пример: 4.44
|
| |
 |
| |
| Варианты |
| |
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
| |
 |
| |
|
В 1
Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 рублей за штуку и продает с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1100 рублей?
|
| |
| Ответ
|
| |
Решение:
Найдем цену продажи одного цветочного горшка:
Pпрод = 140 * 125 / 100 = 175 руб./шт.
Теперь найдем максимальное число горшков n, которое можно купить на сумму 1100 руб, исходя из неравенства:
S > n Pпрод
1100 > n 175
6.285 > n
Т.е. всего 6 горшков.
Ответ: 6
|
| |
|
| |
|
В 2
На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА "Новости" во все дни с 10 по 28 ноября 2009 года. По горизонтале указываются дни месяца, по вертикали - количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько было дней, когда на сайте РИА "Новости" было не меньше 700000 посетителей.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Посмотрим на диаграмму и отберем только те дни, в которых число посетителей сайта было больше 700 000 (синий столбик):
10, 12, 13, 14, 16, 19, 20, 21, 22, 27, 28 - всего 11 дней.
Ответ: 11
|
| |
|
| |
|
В 3
Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (6;7), (4;7).
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Основания данной трапеции равны: b = 10 - 1 = 9 см и a = 6 - 4 = 2 см. Высота равна h = 7 - 1 = 6 см. Следовательно, площадь трапеции равна:
Sтр. = h (a + b) / 2 = 6 * (9 + 2) / 2 = 33 см.2
Ответ: 33
|
| |
|
| |
| B 4
Строительной фирме нужно приобрести 72 кубометра досок у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?
Ответ
|
| Поставщик |
Стоимость досок (руб. за м 3) |
Стоимость доставки (руб.) |
Дополнительные условия |
| A |
2950 |
5000 |
|
| Б |
3000 |
6000 |
При заказе на сумму больше 150000 руб. доставка бесплатно |
| В |
2980 |
4000 |
При заказе более 75 м3 доставка бесплатно |
|
| |
Решение:
Рассчитаем, какова будет стоимость поставки для каждого поставщика:
SА = 72 * 2950 + 5000 = 217 400 руб.
SБ = 72 * 3000 = 216 000 руб.
SВ = 72 * 2980 + 4000 = 218 560 руб.
Ответ: 216000
|
| |
|
| |
|
В 5
Найдите корень уравнения:
log 7 (9 - 4x) = 2 log 7 5
Ответ
|
| |
Решение:
log 7 (9 - 4x) = log 7 52
9 - 4 x = 52
9 - 4 x = 25
-16 = 4 x
-4 = x
Ответ: -4
|
| |
|
| |
| В 6
В треугольнике АВС АВ = ВС, АС = 8 см, sin α = 0.6, СМ - высота.
Найти АМ ?
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Найдем косинус угла α по формуле:
cos 2 α = 1 - sin 2 α = 1 - 0.62 = 0.64
cos α = 0.8
Из прямоугольного треугольника ACM найдем AM:
AM = AC cos α = 8 * 0.8 = 6.4 см
Ответ: 6.4
|
| |
|
| |
| В 7
Найдите значение выражения.
Ответ
|
| |
Решение:
log 26 64 / log 26 4 = log 26 4 3 / log 26 4 = 3 log 26 4 / log 26 4 = 3
Ответ: 3
|
| |
|
| |
| В 8
На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой Х0. Найдите значение производной функции f (x) в точке Х0.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Значение производной функции f (x) в точке х0 равно угловому коэффициенту k = tg α уравнения касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Знак производной определяется по рисунку. Возьмем три точки А (-16; 14), В (-4; -8) и С (-16; -8). Модуль углового коэффициента будет равен АС / ВС. Длина АС равна разнице ординат 14 - (-8) = 22. Длина ВС равна разнице абсцисс -4 - (-16) = 12. Отсюда, значение производной равно - 22 / 12 = - 11 / 6 = - 1.83
Ответ: - 1.83
|
| |
|
| |
| В 9
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О - центр основания, S - вершина, SO = 18 см, SA = 30 см. Найдите длину отрезка АС.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
По теореме Пифагора найдем АО:
AO2 = SA2 - SO2 = 302 - 182 = 900 - 324 = 576
AO = 24
см
AC = 2 * AO = 2 * 24 = 48
см
Ответ: 48
|
| |
|
| |
| В 10
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Германии и 10 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать прыгун из Германии?
Ответ
|
| |
Решение:
Всего 20 спортсменов. Отсюда следует, что данное событие может произойти в 6 случаях из 20. Т.е. 6 / 20 = 3 / 10 = 0.3
Ответ: 0.3
|
| |
|
| |
| В 11
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Объем части цилиндра равен:
Vц. = π R2 H α / 360° = π 92 * 8 * 300° / 360° = π 648 * 5 / 6 = 540π
Ответ: 540
|
| |
|
| |
|
В 12
В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:
где
t - прошедшее время в секундах
H0 = 5м - начальная высота столба воды
k = 1/800 - отношение площадей поперечных сечений крана и бака
g = 10 м / с2 - ускорение свободного падения
К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть первоначального объема воды? Ответ выразить в секундах.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Задача сводится к решению уравнения: H(t) = 5 / 4
5 -  t / 800 + 10 * t2 / (2 * 8002) = 5 / 4
t2 / 128000 - t / 80 + 3.75 = 0
t2 - 1600 t + 480000 = 0
(t - 400) (t - 1200) = 0
Следовательно, через 400 секунд в баке останется не более чем четверть первоначального объема воды.
Ответ: 400
|
| |
|
| |
|
В 13
От пристани А к пристане В отправился теплоход с постоянной скоростью. Через 4 часа после этого следом за ним отправился второй теплоход со скоростью на 4 км/ч больше, чем у первого. Расстояние между пристанями А и В равно 252 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.
Ответ
|
| |
Решение:
Пусть
S - расстояние от пристани А до пристани В
х - скорость первого теплохода.
х + 4 - скорость второго теплохода.
t - время, за которое первый теплоход прошел от пристани А к пристани В.
t - 4 время, за которое второй теплоход прошел от пристани А к пристани В.
Тогда:
S = x t
S = (x + 4) (t - 4)
x t = (x + 4) (t - 4)
Отсюда, x + 4 = t и, подставив в первое уравнение, получим S = x (x + 4)
252 = x (x + 4)
x2 + 4x - 252 = 0
Отсюда, x1 = 14; x2 = -18
Таким образом, скорость второго теплохода равна х + 4 = 14 + 4 = 18 км/ч
Ответ: 18
|
|
 |
|
| |
|
| |
| B 14
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 0; π/2 ].
Ответ
|
| |
Решение:
Вычислим производную данной функции:
Y' = (6 + 2 π / 3 - 4 x - 8 cos x)' = - 4 + 8 sin x
4 = 8 sin x
sin x = 1/2
Следовательно, производная обращается в нуль при х = π / 6.
В этой точке она меняет знак с минуса на плюс, следовательно, она является единственной точкой минимума на данном отрезке. Найдем наименьшее значение:
Y(π / 6) = (6 + 2 π / 3 - 4 π / 6 - 8 cos π / 6 = 6 - 8 / 2 = -6
Ответ: -6
|
| |
| |
 |
| |
|
| |
|
С 1
Решите уравнение.
arccos 2 (x / 3) + 4 arcsin 2 (x + 2) = 2 π2
Ответ
|
| |
Решение:
Используя равенство arcsin (x + 2) = π / 2 - arccos (x + 2), сделаем замену:
arccos 2 (x / 3) + 4 (π / 2 - arccos (x + 2)) 2 = 2 π2
arccos 2 (x / 3) + 4 (π2 / 4 - π arccos (x + 2) + arccos 2(x + 2)) = 2 π2
arccos 2 (x / 3) + π2 - 4 π arccos (x + 2) + 4 arccos 2(x + 2) = 2 π2
arccos 2 (x / 3) - 4 π arccos (x + 2) + 4 arccos 2(x + 2) = π2
Сделаем замену: arccos (x / 3) = α; arccos (x + 2) = β, тогда
α 2 - 4 π β + 4 β 2 = π2
Так как выражение слева - это квадрат разности (α - 2β) 2 = α 2 - 4 α β + 4 β 2 = π2, то α = π
Отсюда следует, что
arccos (x / 3) = π или x / 3 = -1 и x = - 3
Ответ: -3
|
| |
|
| |
|
С 2
В кубе ABCD A1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями AB1D1 и CB1D1. (Ответ округлить до 2-х знаков после запятой.)
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Из прямоугольного треугольника ADD1 по теореме Пифагора найдем АD1:
АD1 2 = АD 2 + DD1 2 = 2
АD1 =  (диагональ любой грани равна )
Из прямоугольного треугольника AОD1 по теореме Пифагора найдем АО:
АО 2 = АD1 2 - B1D1 2 = 2 - (1/)2 = 3 / 2
AO = /
Теперь из треугольника AOC по теореме косинусов найдем косинус угла АОС, так как АО и ОС перпендикулярны D1B1, то угол АОС и будет являться углом между плоскостями. Учитывая, что АО = ОС = / , АС = , запишем:
AC2 = AO2 + OC2 - 2 AO OC cos ∠AOC
2 = 2 ( / )2 - 2 ( / )2 cos ∠AOC
-1 = - 3 cos ∠AOC
cos ∠AOC = 1/3 = 0.33
Ответ: 0.33
|
| |
|
| |
| С 3
Решите уравнение.
5 4 - 7x - log2 (7 - 4x) = 5 7 - 4x - log2 (4 - 7x)
Ответ
|
| |
Решение:
5 4 - 7x - log2 (7 - 4x) = 5 7 - 4x - log2 (4 - 7x)
5 4 - 7x + log2 (4 - 7x) = 5 7 - 4x + log2 (7 - 4x)
f (4 - 7x) = f (7 - 4x), где f (t) = 5t + log2 t возрастает,
4 - 7x = 7 - 4x
- 3x = 3
x = -1
Ответ: -1
|
| |
|
| |
|
С 4
Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 6 и 8. Найдите площадь треугольника MKL, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника.
Ответ
|
| |
Решение:
По теореме Пифагора найдем ВС:
BC2 = AB2 + AC2 = 82 + 62 = 100
BC = 10
Пусть радиус вписанной окружности OL = АМ = AL = x. Тогда
KC = 6 - x, BK = 8 - x, так как АВ, АС и ВС касательные к окружности.
Тогда KC + BK = 10 = 6 - x + 8 - x
Следовательно, х = 2
Теперь найдем синусы углов В и С из прямоугольного треугольника АВС:
sin ∠B = AC / BC = 6 / 10 = 3 / 5
sin ∠C = AB / BC = 8 / 10 = 4 / 5
Площадь треугольника MKL равна:
SMKL = SABC - SAML - SBKM - SKCL
SMKL = AB * AC / 2 - AM * AL / 2 - (AB - AM)2 sin ∠B / 2 - (AC - AL)2 sin ∠C / 2 =
SMKL = 6 * 8 / 2 - 2 * 2 / 2 - (8 - 2)2 3 / 2 / 5 - (6 - 2)2 4 / 2 / 5
SMKL = 24 - 2 - 54 / 5 - 32 / 5 = 22 - 86 / 5 = 24 / 5 = 4.8
Ответ: 4.8
|
|
 |
|
| |
|
| |
|
C 5
При каких значениях b уравнение
25x - (2b + 5) 5x - 1/x + 10 b 5 -2/x = 0
имеет ровно два решения?
(Если в интервале присутствует бесконечность, то необходимо записать как "+б" или "-б")
Ответ
b ∈
(
;
)
∪
(
;
)
|
| |
Решение:
25x - (2b + 5) 5x - 1/x + 10 b 5 -2/x = 0
52x - (2b + 5) 5x - 1/x + 2 b 5 1-2/x = 0
Домножим все уравнение на 52/x, тогда:
52x + 2/x - (2b + 5) 5x + 1/x + 2 b 5 1 = 0
Пусть 5x + 1/x = z, тогда:
z2 - (2b + 5) z + 10 b = 0
D = (2b + 5) 2 - 40 b > 0
D = (2b - 5) 2 > 0
x1 = 5, x2 = 2b
Уравнение 5x + 1/x = 5 решений не имеет.
Тогда, 5x + 1/x = 2b
x + 1/x = log5 2b
x2 - x log5 2b + 1 = 0
Данное уравнение имеет два решения, если:
D = log25 2b - 4 > 0 (b > 0)
Отсюда,
log5 2b > 2 и b > 25/2
= 12.5
или
log5 2b < - 2 и b < 1/50
= 0.02
Ответ: b ∈ (0; 0.02) ∪ (12.5; +б)
|
| |
|
| |
|
С 6
Решите уравнение в целых числах.
3x - 3y = 2160
Ответ
x
;
y
|
| |
Решение:
Представим 2160 в виде разности:
3x - 3y = 2187 - 27 = 2160
3x - 3y = 37 - 33
Отсюда, x = 7; y = 3
Ответ: 7; 3
|
| |
|
| |
|
|
| |
