Тест по математике ЕГЭ. Вариант 1

Пройдите тренировочный тест по математике ЕГЭ.
Ответы округлять до 2-х знаков после запятой. Пример: 4.44

   Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 рублей за штуку и продает с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1100 рублей?

   Найдем цену продажи одного цветочного горшка:
   P_прод = 140 * 125 / 100 = 175 руб./шт.
   Теперь найдем максимальное число горшков n, которое можно купить на сумму 1100 руб, исходя из неравенства:
   S > n P_прод
   1100 > n 175
   6.285 > n
   Т.е. всего 6 горшков.
   Ответ: 6

   На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА "Новости" во все дни с 10 по 28 ноября 2009 года. По горизонтале указываются дни месяца, по вертикали - количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько было дней, когда на сайте РИА "Новости" было не меньше 700000 посетителей.

Ответ     

   Посмотрим на диаграмму и отберем только те дни, в которых число посетителей сайта было больше 700 000 (синий столбик):
   10, 12, 13, 14, 16, 19, 20, 21, 22, 27, 28 - всего 11 дней.
   Ответ: 11

   Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (6;7), (4;7).

Ответ     

   Основания данной трапеции равны: b = 10 - 1 = 9 см и a = 6 - 4 = 2 см. Высота равна h = 7 - 1 = 6 см. Следовательно, площадь трапеции равна:
   S_тр. = h (a + b) / 2 = 6 * (9 + 2) / 2 = 33 см.²
   Ответ: 33

   Строительной фирме нужно приобрести 72 кубометра досок у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

Ответ     

   Рассчитаем, какова будет стоимость поставки для каждого поставщика:
   S_А = 72 * 2950 + 5000 = 217 400 руб.
   S_Б = 72 * 3000 = 216 000 руб.
   S_В = 72 * 2980 + 4000 = 218 560 руб.
   Ответ: 216000

Найдите корень уравнения:

   log ₇ (9 - 4x) = 2 log ₇ 5

Ответ     

   log ₇ (9 - 4x) = log ₇ 5²
   9 - 4 x = 5²
   9 - 4 x = 25
   -16 = 4 x
   -4 = x
   Ответ: -4

   В треугольнике АВС АВ = ВС, АС = 8 см, sin α = 0.6, СМ - высота.
Найти АМ ?

Ответ     

   Найдем косинус угла α по формуле:
   cos ² α = 1 - sin ² α = 1 - 0.6² = 0.64
   cos α = 0.8
   Из прямоугольного треугольника ACM найдем AM:
   AM = AC cos α = 8 * 0.8 = 6.4 см
   Ответ: 6.4

   Найдите значение выражения.

Ответ     

   log ₂₆ 64 / log ₂₆ 4 = log ₂₆ 4 ³ / log ₂₆ 4 = 3 log ₂₆ 4 / log ₂₆ 4 = 3
   Ответ: 3

   На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой Х₀. Найдите значение производной функции f (x) в точке Х₀.

Ответ     

   Значение производной функции f (x) в точке х₀ равно угловому коэффициенту k = tg α уравнения касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. Знак производной определяется по рисунку. Возьмем три точки А (-16; 14), В (-4; -8) и С (-16; -8). Модуль углового коэффициента будет равен АС / ВС. Длина АС равна разнице ординат 14 - (-8) = 22. Длина ВС равна разнице абсцисс -4 - (-16) = 12. Отсюда, значение производной равно - 22 / 12 = - 11 / 6 = - 1.83
   Ответ: - 1.83

   В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О - центр основания, S - вершина, SO = 18 см, SA = 30 см. Найдите длину отрезка АС.

Ответ     

   По теореме Пифагора найдем АО:
   AO² = SA² - SO² = 30² - 18² = 900 - 324 = 576
   AO = 24 см
   AC = 2 * AO = 2 * 24 = 48 см
   Ответ: 48

   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Германии и 10 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать прыгун из Германии?

Ответ     

   Всего 20 спортсменов. Отсюда следует, что данное событие может произойти в 6 случаях из 20. Т.е. 6 / 20 = 3 / 10 = 0.3
   Ответ: 0.3

   Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π.

Ответ     

   Объем части цилиндра равен:
   V_ц. = π R² H α / 360° = π 9² * 8 * 300° / 360° = π 648 * 5 / 6 = 540π
   Ответ: 540

   В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:

   

где

   t - прошедшее время в секундах
   H₀ = 5м - начальная высота столба воды
   k = 1/800 - отношение площадей поперечных сечений крана и бака
   g = 10 м / с² - ускорение свободного падения

   К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть первоначального объема воды? Ответ выразить в секундах.

Ответ     

   Задача сводится к решению уравнения: H(t) = 5 / 4
   5 - t / 800 + 10 * t² / (2 * 800²) = 5 / 4
   t² / 128000 - t / 80 + 3.75 = 0
   t² - 1600 t + 480000 = 0
   (t - 400) (t - 1200) = 0
   Следовательно, через 400 секунд в баке останется не более чем четверть первоначального объема воды.
   Ответ: 400

   От пристани А к пристане В отправился теплоход с постоянной скоростью. Через 4 часа после этого следом за ним отправился второй теплоход со скоростью на 4 км/ч больше, чем у первого. Расстояние между пристанями А и В равно 252 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.

Ответ     

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 0; π/2 ].

Ответ     

   Вычислим производную данной функции:

Y' = (6 + 2 π / 3 - 4 x - 8 cos x)' = - 4 + 8 sin x
4 = 8 sin x
sin x = 1/2

   Следовательно, производная обращается в нуль при х = π / 6.
   В этой точке она меняет знак с минуса на плюс, следовательно, она является единственной точкой минимума на данном отрезке. Найдем наименьшее значение:

Y(π / 6) = (6 + 2 π / 3 - 4 π / 6 - 8 cos π / 6 = 6 - 8 / 2 = -6
   Ответ: -6

Решите уравнение.

   arccos ² (x / 3) + 4 arcsin ² (x + 2) = 2 π²

Ответ     

   Используя равенство arcsin (x + 2) = π / 2 - arccos (x + 2), сделаем замену:

arccos ² (x / 3) + 4 (π / 2 - arccos (x + 2)) ² = 2 π²
arccos ² (x / 3) + 4 (π² / 4 - π arccos (x + 2) + arccos ²(x + 2)) = 2 π²
arccos ² (x / 3) + π² - 4 π arccos (x + 2) + 4 arccos ²(x + 2) = 2 π²
arccos ² (x / 3) - 4 π arccos (x + 2) + 4 arccos ²(x + 2) = π²

   Сделаем замену: arccos (x / 3) = α; arccos (x + 2) = β, тогда
α ² - 4 π β + 4 β ² = π²

   Так как выражение слева - это квадрат разности (α - 2β) ² = α ² - 4 α β + 4 β ² = π², то α = π

   Отсюда следует, что arccos (x / 3) = π или x / 3 = -1 и x = - 3
   Ответ: -3

   В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ найдите косинус угла между плоскостями AB₁D₁ и CB₁D₁. (Ответ округлить до 2-х знаков после запятой.)

Ответ     

   Из прямоугольного треугольника ADD₁ по теореме Пифагора найдем АD₁:

АD₁ ² = АD ² + DD₁ ² = 2
АD₁ = (диагональ любой грани равна )

   Из прямоугольного треугольника AОD₁ по теореме Пифагора найдем АО:

АО ² = АD₁ ² - B₁D₁ ² = ² - (1/)² = 3 / 2
AO = /

   Теперь из треугольника AOC по теореме косинусов найдем косинус угла АОС, так как АО и ОС перпендикулярны D₁B₁, то угол АОС и будет являться углом между плоскостями. Учитывая, что АО = ОС = / , АС = , запишем:

   AC² = AO² + OC² - 2 AO OC cos ∠AOC
   ² = 2 ( / )² - 2 ( / )² cos ∠AOC
   -1 = - 3 cos ∠AOC
   cos ∠AOC = 1/3 = 0.33
   Ответ: 0.33

Решите уравнение.

   5 ^{4 - 7x} - log₂ (7 - 4x) = 5 ^{7 - 4x} - log₂ (4 - 7x)

Ответ     

   5 ^{4 - 7x} - log₂ (7 - 4x) = 5 ^{7 - 4x} - log₂ (4 - 7x)
   5 ^{4 - 7x} + log₂ (4 - 7x) = 5 ^{7 - 4x} + log₂ (7 - 4x)
   f (4 - 7x) = f (7 - 4x), где f (t) = 5^t + log₂ t возрастает,
   4 - 7x = 7 - 4x
   - 3x = 3
   x = -1
   Ответ: -1

   Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 6 и 8. Найдите площадь треугольника MKL, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Ответ     

При каких значениях b уравнение

    25^x - (2b + 5) 5^{x - 1/x} + 10 b 5 ^-2/x = 0

имеет ровно два решения?
(Если в интервале присутствует бесконечность, то необходимо записать как "+б" или "-б")

Ответ

   b ∈ ( ; ) ∪ ( ; )     

   25^x - (2b + 5) 5^{x - 1/x} + 10 b 5 ^-2/x = 0
   5^2x - (2b + 5) 5^{x - 1/x} + 2 b 5 ^1-2/x = 0

   Домножим все уравнение на 5^2/x, тогда:
   5^{2x + 2/x} - (2b + 5) 5^{x + 1/x} + 2 b 5 ¹ = 0

   Пусть 5^{x + 1/x} = z, тогда:
   z² - (2b + 5) z + 10 b = 0
   D = (2b + 5) ² - 40 b > 0
   D = (2b - 5) ² > 0
   x₁ = 5, x₂ = 2b

   Уравнение 5^{x + 1/x} = 5 решений не имеет.

   Тогда, 5^{x + 1/x} = 2b
   x + 1/x = log₅ 2b
   x² - x log₅ 2b + 1 = 0

   Данное уравнение имеет два решения, если:
   D = log²₅ 2b - 4 > 0 (b > 0)

   Отсюда,
    log₅ 2b > 2 и b > 25/2 = 12.5
   или
    log₅ 2b < - 2 и b < 1/50 = 0.02
   Ответ: b ∈ (0; 0.02) ∪ (12.5; +б)

Решите уравнение в целых числах.

   3^x - 3^y = 2160

Ответ x ; y     

   Представим 2160 в виде разности:
   3^x - 3^y = 2187 - 27 = 2160
   3^x - 3^y = 3⁷ - 3³
   Отсюда, x = 7; y = 3
   Ответ: 7; 3