|
Пройдите тренировочный тест по математике ЕГЭ.
Ответы округлять до 2-х знаков после запятой. Пример: 4.44
|
|
Варианты |
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
|
 |
|
В 1
Мобильный телефон стоил 4000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3200 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
|
|
Ответ
|
|
|
|
Решение:
Рассчитаем разницу, на которую была снижена цена:
ΔP = 4000 - 3200 = 800 руб.
Теперь рассчитаем сколько процентов ΔP составляет от первоначальной цены Pп:
ΔP * 100% / Pп = 800 * 100% / 4000 = 20 %.
Ответ: 20
|
|
 |
|
В 2
На рисунке жирными точками показана цена потребительской корзины в магазине "Ромашка" во все месяцы с марта 2008 года по март 2009 года. По горизонтале указаны номера месяцев, по вертикали - стоимость потребительской корзины в рублях. Определите по рисунку, какой была наименьшая цена потребительской корзины (в рублях).
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Наименьшая цена потребительской корзины за указанный период была зафиксирована в 4 и 5 месяцы 2008 года и составила 3100 рублей.
Ответ: 3100
|
|
 |
|
В 3
Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;2), (9;2), (8;7), (3;7).
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Основания данной трапеции равны: b = 9 - 1 = 8 см и a = 8 - 3 = 5 см. Высота равна h = 7 - 2 = 5 см. Следовательно, площадь трапеции равна:
Sтр. = h (a + b) / 2 = 5 * (8 + 5) / 2 = 32.5 см.2
Ответ: 32.5
|
|
 |
|
B 4
Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
Ответ
|
Поставщик |
Цена бруса (руб. за м3) |
Стоимость доставки (руб.) |
Дополнительные условия |
A |
3200 |
9000 |
- |
Б |
3400 |
5500 |
Если стоимость заказа свыше 30 кубометров, доставка бесплатно |
В |
3500 |
3000 |
При заказе на сумму свыше 100000 руб. доставка бесплатно |
|
|
Решение:
Рассчитаем, какова будет стоимость поставки для каждого поставщика:
SА = 3200 * 40 + 9000 = 137 000 руб.
SБ = 3400 * 40 = 136 000 руб.
SВ = 3500 * 40 = 140 000 руб.
Ответ: 136000
|
|
 |
|
В 5
Найдите корень уравнения:
28-x = 128
Ответ
|
|
Решение:
2 8-x = 27
8 - x = 7
x = 1
Ответ: 1
|
|
 |
|
В 6
В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 20, ВС = 16.
Найдите cos ∠A.
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
По теореме Пифагора найдем AС:
AС 2 = АВ 2 - BС 2 = 202 - 162 = 400 - 256 = 144
AС = 12
Найдем косинус угла А:
cos ∠A = АС / АВ = 12 / 20 = 3 / 5
= 0.6
Ответ: 0.6
|
|
 |
|
В 7
Найдите значение выражения.
5626 / 104
Ответ
|
|
Решение:
5626 / 5424 = 56-426-4 = 5222 = 25 * 4 = 100
Ответ: 100
|
|
 |
|
В 8
На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-5; 10). В какой точке отрезка [-2; 8] функция f (x) принимает наименьшее значение?
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Так как значение производной функции f (x) на интервале [-2; 8] отрицательное, то на этом интервале функция убывает. Отсюда следует, что наименьшее значение на интервале [-2; 8] функция принимает в крайней правой точке, т.е. х = 8.
Ответ: 8
|
|
 |
|
В 9
В правильной треугольной пирамиде SABC Q - середина ребра АВ, S - вершина, SQ = 28, а площадь боковой поверхности равна 294. Найдите длину ребра BС.
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Найдем площадь одной боковой грани:
Sб.п. = 3 SASB
SASB = Sб.п. / 3 = 294 / 3 = 98 ед2
Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник. И АВ = ВС = АС, SA = SB = SC. Следовательно, SQ - высота.
Из формулы площади треугольника найдем АВ:
SASB = SQ * AB / 2
AB = 2 SASB / SQ = 2 * 98 / 28 = 98 / 14 = 7
Ответ: 7
|
|
 |
|
В 10
Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?
Ответ
|
|
Решение:
Всего 6 различных комбинации: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Отсюда следует, что данное событие может произойти в 3 случае из 6. Т.е. 3 / 6 = 0.5
Ответ: 0.5
|
|
 |
|
В 11
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Объем многогранника равен разности двух параллелепипедов с измерениями 6;2;6 и 1;2;2. Запишем формулу:
Vмног. = Vп.б. - Vп.м. = 6 * 2 * 6 - 1 * 2 * 2 = 72 - 4 = 68
Ответ: 68
|
|
 |
|
В 12
Операционная прибыль предприятия в краткосрочном периоде вычисляется по формуле: P(q) = q (p - v) - f. Компания продает свою продукцию по цене р = 600 рублей за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 200 рублей за штуку, постоянные расходы предприятия f = 700000 рублей в месяц. Определите наименьший месячный объем производства q (шт.), при котором прибыль предприятия будет не меньше 500000 руб. в месяц.
Ответ
|
|
Решение:
Задача сводится к решению уравнения P(q) > 500 000:
P(q) = q (p - v) - f = q ( 600 - 200) - 700 000 > 500 000
q 400 > 1200 000
q > 3 000
Ответ: 3000
|
|
 |
|
В 13
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ запишите в км/ч.
Ответ
|
|
Решение:
Пусть
S - расстояние от пункта отправления до пункта назначения.
11 + v - скорость лодки по течению.
11 - v - скорость лодки против течения.
где v - скорость течения
t - время, за которое лодка прошла до пункта назначения.
t - 6 время, за которое лодка вернулась обратно.
Тогда:
112 = (11 - v) t
112 = (11 + v) (t - 6)
(11 - v) t = (11 + v) (t - 6)
Отсюда, t = 33 / v + 3 и, подставив в первое уравнение, получим:
112 = (11 - v) (33 / v + 3 )
112 v = (11 - v) (33 + 3 v )
112 v = 363 - 3 v2
3 v2 + 112 v - 363 = 0
3 (v - 3)(v + 121/3) = 0
Таким образом, скорость течения равна v = 3 км/ч
Ответ: 3
|
|
 |
|
|
 |
|
B 14
Найдите точку минимума функции.
y = (x + 9) ex-9
Ответ
|
|
Решение:
Вычислим производную данной функции:
y' = (x + 9)' ex-9 + (x + 9) (ex-9)' = ex-9 + (x + 9) ex-9 = ex-9 (x + 10)
Из данного выражения можно заметить, что производная функции равна нулю при х = -10. В этой точке она меняет знак с минуса на плюс, следовательно, она является единственной точкой минимума.
Ответ: -10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Репетитор: Васильев Алексей Александрович |
|
|
|
|
Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.
2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.
|
|
|
|
|
Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru |
|
|
|
 |
|
С 1
Решите уравнение.

Ответ
|
|
Решение:
Пусть (3 x / (x + 2))2 = y. Тогда:
y2 - 8 y - 9 = 0
(y - 9) ( y + 1) = 0
Отсюда, y ≠ - 1, y = (3 x / (x + 2))2 = 9
3 x / (x + 2) = 3
или - 3 x / (x + 2) = 3
3 x = 3 x + 6 или - 3 x = 3 x + 6
0 ≠ 6 тогда, x = - 1
Ответ: -1
|
|
 |
|
С 2
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SAF и SBC.
Ответ
|
|
 |
|
|
|
 |
|
С 3
Решите уравнение.
42/x - 5*41/x + 4 = 0
Ответ
|
|
Решение:
Пусть 41/x = y, тогда:
y2 - 5y + 4 = 0
(y - 4) ( y - 1) = 0
Отсюда, 41/x = 4 или 41/x ≠ 1
1/x = 1 и x = 1
Ответ: 1
|
|
 |
|
С 4
Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 12, 15, и 21. (Ответ округлить до сотых.)
Ответ:
|
|
 |
|
|
|
 |
|
C 5
При каких действительных р уравнение
4x + 2x+2 + 7 = p - 4-x - 2 * 21-x
имеет решение?
Образец ответа:
(-∞;b1)ᴜ(b2;+∞)
(-∞;b1]ᴜ(b2;+∞)
(-∞;b1)ᴜ[b2;+∞)
(-∞;b1]ᴜ[b2;+∞)
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
(b1;b2)
[b1;b2]
(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b1 и b2 или только b)
Ответ: р ∈
|
|
Решение:
4x + 2x+2 + 7 = p - 4-x - 2 * 21-x
22x + 4 * 2x + 7 + 4-x + 2 * 21-x = p
22x + 4 * 2x + 7 + 2-2x + 4 * 2-x = p
22x + 2-2x + 4 * 2x + 4 * 2-x + 7 = p
22x + 2-2x + 4 * (2x + 2-x) + 7 = p
Выражения 22x + 2-2x и (2x + 2-x) имеют минимум равный двум. Поэтому,
2 + 4 * 2 + 7 = 17 = p
Таким образом, p ∈ [17;+∞)
Ответ: [17;+∞)
|
|
 |
|
С 6
Отношение суммы первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии к сумме ее последующих семи членов равно 7:3. Найдите разность прогрессии, если известно, что у нее имеются два соседних члена, произведение которых равно (- 7/4).
Ответ
|
|
Решение:
Найдем сумму первых трех членов:
S1-3 = (2a1 + d(3 - 1)) * 3 / 2 = 3a1 + 3d
Найдем сумму семи последующих членов:
S4-10 = S10 - S3 = (2a1 + d(10 - 1)) * 10 / 2 - (2a1 + d(3 - 1)) * 3 / 2 = 7a1 + 42d
По условию задачи, отношение суммы первых трех членов прогрессии к сумме ее последующих семи членов равно 7:3. Следовательно:
(3a1 + 3d) / (7a1 + 42d) = 7 / 3
9a1 + 9d = 49a1 + 294d
Отсюда, a1 = - 57 d / 8 , d = - 8 a1 / 57
Так как произведение двух соседних членов отрицательно (- 7/4), то между ними находится ноль.
Найдем этот член:
am = a1 + d(m - 1) = 0
am = a1 - 8 a1 (m - 1) / 57 = 0
57 a1 - 8 a1 (m - 1) = 0
Отсюда видно, что m-1 равно 7 или 8, т.е. произведение 8 и 9 членов дает - 7/4. Тогда запишем:
(a1 + 7d) (a1 + 8d) = - 7/4
a12 + 15a1d + 56 d2 = - 7/4
Подставим вместо a1 = - 57 d / 8
(- 57 d / 8)2 + 15 (- 57 d / 8) d + 56 d2 = - 7/4
3249 d2 / 64 - 855 d2 / 8 + 56 d2 = - 7/4
- 7 d2 / 64 = - 7/4
d = 4
Ответ: 4
|
|
 |
|
|
|