Тест по математике ЕГЭ. Вариант 5

Пройдите тренировочный тест по математике ЕГЭ.
Ответы округлять до 2-х знаков после запятой. Пример: 4.44

   Мобильный телефон стоил 4000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3200 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

   Рассчитаем разницу, на которую была снижена цена:
   ΔP = 4000 - 3200 = 800 руб.
   Теперь рассчитаем сколько процентов ΔP составляет от первоначальной цены P_п:
    ΔP * 100% / P_п = 800 * 100% / 4000 = 20 %.
   Ответ: 20

   На рисунке жирными точками показана цена потребительской корзины в магазине "Ромашка" во все месяцы с марта 2008 года по март 2009 года. По горизонтале указаны номера месяцев, по вертикали - стоимость потребительской корзины в рублях. Определите по рисунку, какой была наименьшая цена потребительской корзины (в рублях).

Ответ     

   Наименьшая цена потребительской корзины за указанный период была зафиксирована в 4 и 5 месяцы 2008 года и составила 3100 рублей.
   Ответ: 3100

   Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;2), (9;2), (8;7), (3;7).

Ответ     

   Основания данной трапеции равны: b = 9 - 1 = 8 см и a = 8 - 3 = 5 см. Высота равна h = 7 - 2 = 5 см. Следовательно, площадь трапеции равна:
   S_тр. = h (a + b) / 2 = 5 * (8 + 5) / 2 = 32.5 см.²
   Ответ: 32.5

   Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Ответ     

   Рассчитаем, какова будет стоимость поставки для каждого поставщика:
   S_А = 3200 * 40 + 9000 = 137 000 руб.
   S_Б = 3400 * 40 = 136 000 руб.
   S_В = 3500 * 40 = 140 000 руб.
   Ответ: 136000

Найдите корень уравнения:

   2^8-x = 128

Ответ     

   2 ^8-x = 2⁷
   8 - x = 7
   x = 1
   Ответ: 1

   В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 20, ВС = 16. Найдите cos ∠A.

Ответ     

   По теореме Пифагора найдем AС:
   AС ² = АВ ² - BС ² = 20² - 16² = 400 - 256 = 144
   AС = 12
   Найдем косинус угла А:
   cos ∠A = АС / АВ = 12 / 20 = 3 / 5 = 0.6
   Ответ: 0.6

   Найдите значение выражения.

   5⁶2⁶ / 10⁴

Ответ     

   5⁶2⁶ / 5⁴2⁴ = 5^6-42^6-4 = 5²2² = 25 * 4 = 100
   Ответ: 100

   На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-5; 10). В какой точке отрезка [-2; 8] функция f (x) принимает наименьшее значение?

Ответ     

   Так как значение производной функции f (x) на интервале [-2; 8] отрицательное, то на этом интервале функция убывает. Отсюда следует, что наименьшее значение на интервале [-2; 8] функция принимает в крайней правой точке, т.е. х = 8.
   Ответ: 8

   В правильной треугольной пирамиде SABC     Q - середина ребра АВ, S - вершина, SQ = 28, а площадь боковой поверхности равна 294. Найдите длину ребра BС.

Ответ     

   Найдем площадь одной боковой грани:
   S_б.п. = 3 S_ASB
   S_ASB = S_б.п. / 3 = 294 / 3 = 98 ед²
   Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник. И АВ = ВС = АС, SA = SB = SC. Следовательно, SQ - высота.
   Из формулы площади треугольника найдем АВ:
   S_ASB = SQ * AB / 2
   AB = 2 S_ASB / SQ = 2 * 98 / 28 = 98 / 14 = 7
   Ответ: 7

   Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?

Ответ     

   Всего 6 различных комбинации: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Отсюда следует, что данное событие может произойти в 3 случае из 6. Т.е. 3 / 6 = 0.5
   Ответ: 0.5

   Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ     

   Объем многогранника равен разности двух параллелепипедов с измерениями 6;2;6 и 1;2;2. Запишем формулу:
   V_мног. = V_п.б. - V_п.м. = 6 * 2 * 6 - 1 * 2 * 2 = 72 - 4 = 68
   Ответ: 68

   Операционная прибыль предприятия в краткосрочном периоде вычисляется по формуле: P(q) = q (p - v) - f. Компания продает свою продукцию по цене р = 600 рублей за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 200 рублей за штуку, постоянные расходы предприятия f = 700000 рублей в месяц. Определите наименьший месячный объем производства q (шт.), при котором прибыль предприятия будет не меньше 500000 руб. в месяц.

Ответ     

   Задача сводится к решению уравнения P(q) > 500 000:
   P(q) = q (p - v) - f = q ( 600 - 200) - 700 000 > 500 000
   q 400 > 1200 000
   q > 3 000
   Ответ: 3000

   Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ запишите в км/ч.

Ответ     

Найдите точку минимума функции.

   y = (x + 9) e^x-9

Ответ     

   Вычислим производную данной функции:

y' = (x + 9)' e^x-9 + (x + 9) (e^x-9)' = e^x-9 + (x + 9) e^x-9 = e^x-9 (x + 10)

   Из данного выражения можно заметить, что производная функции равна нулю при х = -10. В этой точке она меняет знак с минуса на плюс, следовательно, она является единственной точкой минимума.


   Ответ: -10

Решите уравнение.

Ответ     

   Пусть (3 x / (x + 2))² = y. Тогда:

    y² - 8 y - 9 = 0
    (y - 9) ( y + 1) = 0
   Отсюда, y ≠ - 1, y = (3 x / (x + 2))² = 9

   3 x / (x + 2) = 3 или - 3 x / (x + 2) = 3
   3 x = 3 x + 6 или - 3 x = 3 x + 6
   0 ≠ 6 тогда, x = - 1
   Ответ: -1

   В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SAF и SBC.

Ответ     

Решите уравнение.

   4^2/x - 5*4^1/x + 4 = 0

Ответ     

   Пусть 4^1/x = y, тогда:
   y² - 5y + 4 = 0
   (y - 4) ( y - 1) = 0
   Отсюда, 4^1/x = 4 или 4^1/x ≠ 1
   1/x = 1 и x = 1
   Ответ: 1

   Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 12, 15, и 21. (Ответ округлить до сотых.)

Ответ:        

При каких действительных р уравнение

   4^x + 2^x+2 + 7 = p - 4^-x - 2 * 2^1-x

имеет решение?

Образец ответа:

(-∞;b₁)ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁)ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
(b₁;b₂)
[b₁;b₂]

(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b₁ и b₂ или только b)

Ответ: р ∈        

   4^x + 2^x+2 + 7 = p - 4^-x - 2 * 2^1-x
   2^2x + 4 * 2^x + 7 + 4^-x + 2 * 2^1-x = p
   2^2x + 4 * 2^x + 7 + 2^-2x + 4 * 2^-x = p
   2^2x + 2^-2x + 4 * 2^x + 4 * 2^-x + 7 = p
   2^2x + 2^-2x + 4 * (2^x + 2^-x) + 7 = p

   Выражения 2^2x + 2^-2x и (2^x + 2^-x) имеют минимум равный двум. Поэтому,
   2 + 4 * 2 + 7 = 17 = p

   Таким образом, p ∈ [17;+∞)
   Ответ: [17;+∞)

   Отношение суммы первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии к сумме ее последующих семи членов равно 7:3. Найдите разность прогрессии, если известно, что у нее имеются два соседних члена, произведение которых равно (- 7/4).

Ответ     

   Найдем сумму первых трех членов:
   S_1-3 = (2a₁ + d(3 - 1)) * 3 / 2 = 3a₁ + 3d

   Найдем сумму семи последующих членов:
   S_4-10 = S₁₀ - S₃ = (2a₁ + d(10 - 1)) * 10 / 2 - (2a₁ + d(3 - 1)) * 3 / 2 = 7a₁ + 42d

   По условию задачи, отношение суммы первых трех членов прогрессии к сумме ее последующих семи членов равно 7:3. Следовательно:
   (3a₁ + 3d) / (7a₁ + 42d) = 7 / 3
   9a₁ + 9d = 49a₁ + 294d
   Отсюда, a₁ = - 57 d / 8 , d = - 8 a₁ / 57

   Так как произведение двух соседних членов отрицательно (- 7/4), то между ними находится ноль.
   Найдем этот член:
   a_m = a₁ + d(m - 1) = 0
   a_m = a₁ - 8 a₁ (m - 1) / 57 = 0
   57 a₁ - 8 a₁ (m - 1) = 0

   Отсюда видно, что m-1 равно 7 или 8, т.е. произведение 8 и 9 членов дает - 7/4. Тогда запишем:
   (a₁ + 7d) (a₁ + 8d) = - 7/4
   a₁² + 15a₁d + 56 d² = - 7/4

   Подставим вместо a₁ = - 57 d / 8
   (- 57 d / 8)² + 15 (- 57 d / 8) d + 56 d² = - 7/4
   3249 d² / 64 - 855 d² / 8 + 56 d² = - 7/4
   - 7 d² / 64 = - 7/4
   d = 4
   Ответ: 4