|
Пройдите тренировочный тест по математике ЕГЭ.
Ответы округлять до 2-х знаков после запятой. Пример: 4.44
|
|
Варианты |
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
|
 |
|
В 1
В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю расходуется 1400 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 6 недель?
|
|
Ответ
|
|
|
|
Решение:
Рассчитаем количество листов, которое расходуется за 6 недель:
N = 1400 * 6 = 8400 листов.
Теперь рассчитаем наименьшее количество пачек P, которое необходимо купить:
N / 500 = 8400 / 500 = 16.8 < P = 17.
Ответ: 17
|
|
 |
|
В 2
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтале указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 14 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Наибольшая температура воздуха за указанный период была зафиксирована 14 февраля в 21-00 и составила -2 градуса.
Ответ: -2
|
|
 |
|
В 3
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (1;9), (9;2), (9;4).
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Сторона данного параллелограмма равна b = 9 - 7 = 2 см. Высота h = 9 - 1 = 8 см. Следовательно, площадь параллелограмма равна:
Sтр. = h * b = 8 * 2 = 16 см.2
Ответ: 16
|
|
 |
|
B 4
Для первозки 5 т груза на 300 км можно воспользоваться услугами одной из трех транспортных компаний. Каждая компания предлагает один вид автомобилей. Сколько рублей будет стоить наиболее дешевый вид перевозки?
Ответ
|
Компания перевозчик |
Стоимость перевозки (руб. за 10 км) |
Грузоподъемность автомобилей (т) |
A |
90 |
2.2 |
Б |
110 |
2.4 |
В |
120 |
3.2 |
|
|
Решение:
Рассчитаем, какова будет стоимость услуги для каждой транспортной компании, учитывая, что с первой и второй транспортной компаней понадобится 3 автомобиля, а с третьей - 2:
SА = 3 * 300 * 9 = 8100 руб.
SБ = 3 * 300 * 11 = 9900 руб.
SВ = 2 * 300 * 12 = 7200 руб.
Ответ: 7200
|
|
 |
|
В 5
Найдите корень уравнения:
(3x - 8) / (x - 1) = - x
Если уравнение имеет дв корня, укажите меньший из них.
Ответ
|
|
Решение:
(3x - 8) / (x - 1) = -x
3x - 8 = - x2 + x
x2 + 2x - 8 = 0
(x + 4) (x - 2) = 0
Ответ: -4
|
|
 |
|
В 6
В треугольнике ABC AC = BC, АB = 40, cos A = 0.8 . Найдите высоту CH.
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Найдем синус угла А:
sin2 ∠A = 1 - cos2 ∠A = 1 - 0.82 = 0.36
sin ∠A = 0.6
Найдем тангенс угла А:
tg ∠A = sin ∠A / cos ∠A = 0.6 / 0.8 = 3 / 4
Найдем высоту СН:
СН = АН * tg ∠A
СН = 20 * 3 / 4 = 60 / 4 = 15
Ответ: 15
|
|
 |
|
В 7
Найдите значение выражения.
log2 log6 36
Ответ
|
|
Решение:
log2 log6 62
log2 (2 * log6 6)
log2 2 = 1
Ответ: 1
|
|
 |
|
В 8
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-5; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = -18
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Прямая y = -18 - параллельна оси Ох, т.е. горизонтальная прямая. Посчитаем количество точек на графике, где касательная к графику функции будет параллельна оси Ох, т.е. количество точек максимума и минимума. Всего 7 точек.
Ответ: 7
|
|
 |
|
В 9
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD O - центр основания, S - вершина, SО = 9, АC = 24. Найдите боковое ребро SB.
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Найдем AO:
AO = AC / 2 = 24 / 2
= 12
По теореме Пифагора найдем SA:
SA2 = AO2 + SO2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225
SA = SB = 15
Ответ: 15
|
|
 |
|
В 10
Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
Ответ
|
|
Решение:
По условию задачи вытекает следующее: в первый день планируется прослушать 30 исполнителей, во второй - 5, в третий - 5. Таким образом, данное событие может произойти в 5 случаях из 40. Т.е. 5 / 40 = 1 / 8 = 0.125
Ответ: 0.125
|
|
 |
|
В 11
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1900 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 24 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.
Ответ
|
|
 |
|
Решение:
Найдем площадь основания призмы:
Sос. = V / H = 1900 / 20 = 95 см2
Отсюда, найдем объем детали:
Vд. = Sосн.ΔH
= 95 * (24 - 20) = 380 см3
Ответ: 380
|
|
 |
|
В 12
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R = 60 Ом. Параллельно с ними в розетку преполагается подключить электрообогреватель. Определите в Омах наименьшее возможное сопротивление Ry этого обогревателя, если известно, что при параллельном сопротивлении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление рассчитывается по формуле:
а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.
Ответ
|
|
Решение:
Задача сводится к решению уравнения R(Ry) > 30:
R(Ry) = RxRy / (Rx + Ry ) > 30
R(Ry) = 60 * Ry / (60 + Ry ) > 30
60 * Ry > 1800 + 30 Ry
30 * Ry > 1800
Ry > 60
Таким образом, наименьшее возможное сопротивление Ry этого обогревателя должно составлять 60 Ом.
Ответ: 60
|
|
 |
|
В 13
Заказ на 224 детали первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?
Ответ
|
|
Решение:
Пусть
V - объем заказа - 224 детали.
t - время, за которое выполняет заказ первый рабочий.
t + 2 - время, за которое выполняет заказ второй рабочий.
v + 2 - производительность первого рабочего.
v - производительность второго рабочего.
Тогда:
V = t (v + 2) = (t + 2) v
t (v + 2) = (t + 2) v
Отсюда, v = t
Тогда:
V = t (v + 2) = v (v + 2) = v2 + 2v
v2 + 2v = 224
v2 + 2v - 224 = 0
Отсюда, v1 = -16, v2 = 14
Таким образом, производительность второго рабочего составляет v = 14 деталей в час.
Ответ: 14
|
|
 |
|
B 14
Найдите наименьшее значение функции
y = 11 tg x - 11 x + 19
на отрезке [ 0; π/4 ].
Ответ
|
|
Решение:
Вычислим производную данной функции:
y' = (11 tg x - 11 x + 19)' = 11 / cos2 x - 11
Из последнего выражения можно заметить, что на отрезке [ 0; π/4 ] производная функции положительна. Следовательно, функция возрастает. А наименьшее значение она принимает в крайней левой точке при х = 0.
Подставим значение 0 в функцию:
y = 11 tg x - 11 x + 19 = 11 tg 0 - 11 * 0 + 19 = 19
Ответ: 19
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Репетитор: Васильев Алексей Александрович |
|
|
|
|
Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.
2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.
|
|
|
|
|
Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru |
|
|
|
 |
|
С 1
Решите уравнение.
arcsin ((5x - 1) / 3) + 2 arccos ((5x - 1) / 3) = 5π / 6
Ответ
|
|
Решение:
Сделаем замену: arcsin ((5x - 1) / 3) = π / 2 - arccos ((5x - 1) / 3). тогда:
π / 2 - arccos ((5x - 1) / 3) + 2 arccos ((5x - 1) / 3) = 5π / 6
arccos ((5x - 1) / 3) = 5π / 6 - π / 2 = π / 3
(5x - 1) / 3 = cos π / 3
(5x - 1) / 3 = 0.5
5x - 1 = 1.5
Отсюда, х = 1 / 2 = 0.5.
Ответ: 0.5
|
|
 |
|
С 2
В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AFF1 и DEE1.
Ответ
°
|
|
 |
|
Решение:
Плоскость FCC1 параллельна плоскости DEE1. Прямая FF1 является прямой пересечения двух плоскостей AFF1 и FCC1. Прямые AF и FC перпендикулярны прямой FF1. Следовательно, угол AFC и будет являться углом между плоскостями AFF1 и DEE1.
Угол правильного шестиугольника составляет 120°. Отсюда следует, что угол AFC равен 60°.
Ответ: 60
|
|
 |
|
|
 |
|
С 3
Решите систему неравенств.

Образец ответа:
(-∞;b1)ᴜ(b2;+∞)
(-∞;b1]ᴜ(b2;+∞)
(-∞;b1)ᴜ[b2;+∞)
(-∞;b1]ᴜ[b2;+∞)
{b1;b2}ᴜ[b3;+∞)
(-∞;b1)ᴜ(b2;b3)
[b1;b2]ᴜ[b3;+∞)
(-∞;b1]ᴜ[b2;b3]
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
(b1;b2)
[b1;b2]
где b1; b2; b3 - числа.
(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b; b1; b2; b3)
Ответ
|
|
Решение:
Пусть 5x = y. Тогда:
25x - 26 * 5x + 25 = y2 - 26 * y + 25 > 0
(y - 1)(y - 25) > 0
y ∈ (-∞;1]ᴜ[25;+∞)
Следовательно, х ∈ (-∞;0]ᴜ[2;+∞)
Рассмотрим второе уравнение.
(2x2 - 9x + 10) log5 (x + 1) > 0
2(x - 2)(x - 2.5) log5 (x + 1) > 0
Следовательно, х ∈ [0;2]ᴜ[2.5;+∞)
Теперь объединим допустимые значения х:
Получим: х ∈ {0;2}ᴜ[2.5;+∞)
Ответ: {0;2}ᴜ[2.5;+∞)
|
|
 |
|
С 4
Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30° и 60°. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции.
Ответ запишите в виде: а;b;c.
Где
a - меньшее основание,
b - большее основание,
с - меньшая боковая сторона.
Ответ:
|
|
Решение:
Продолжим боковые стороны трапеции АВ и CD до их пересечения в точке О. Тогда треугольник АОD прямоугольный. Треугольник HOD - равносторонний и CD = KH = 3. AH = OH = HD, BK = OK = KC.
Пусть ВС = а, AD = b. Тогда,
(a + b) / 2 = 5
a + b = 10 и а = 10 - b
Треугольники BOC и AOD подобны. Следовательно,
b / a = (3 + a/2) / a/2
b / a = 6/a + 1
b = 6 + a
Подставим а = 10 - b:
b = 6 + 10 - b
b = 8, a = 2
Ответ: 8;2;3
|
|
 |
|
|
 |
|
C 5
Найдите все значения а, при которых уравнение
| |x + a| - 2x | - 3x = 7 |x - 1|
имеет не более одного корня?
Образец ответа:
(-∞;b1)ᴜ(b2;+∞)
(-∞;b1]ᴜ(b2;+∞)
(-∞;b1)ᴜ[b2;+∞)
(-∞;b1]ᴜ[b2;+∞)
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
(b1;b2)
[b1;b2]
(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b1 и b2 или только b)
Ответ: a ∈
|
|
Решение:
| |x + a| - 2x | - 3x = 7 |x - 1|
Пусть
f (x) = | |x + a| - 2x |
g (x) = 7 |x - 1| + 3 x
Рассмотрим функцию g (x) = 7 |x - 1| + 3 x.
Пусть х < 1. Тогда
g(x) = 10x - 7
Пусть х = 1. Тогда g(x) = 3
Пусть х > 1. Тогда
g(x) = -4x + 7
(смотреть рисунок)
Теперь рассмотрим функцию f (x) = | |x + a| - 2x |
Пусть а < 0.
Пусть x + а < 0 и -(х+а) - 2х < 0. Тогда a может принимать значения меньше нуля. И:
f2 (x) =- (- (x + a) - 2x ) = 3x + a
Пусть x + а < 0 и -(х+а) - 2х > 0. Тогда a может принимать значения меньше нуля. И:
f2 (x) = - (x + a) - 2x = -3x - a
Пусть x + а > 0 и (х+а - 2х) < 0. Тогда a может принимать значения меньше нуля. И:
f2 (x) =- (x + a - 2x ) = x - a
Пусть x + а > 0 и (х+а - 2х) > 0. Тогда (a > 0 противоречит условию):
f2 (x) = x + a - 2x = - x + a
Пусть а > 0.
Пусть x + а < 0 и -(х+а) - 2х < 0. Тогда (a < 0 - противоречит условию):
f1 (x) =- (- (x + a) - 2x ) = 3x + a
Пусть x + а < 0 и -(х+а) - 2х > 0. Тогда a может принимать значения больше нуля. И:
f1 (x) = - (x + a) - 2x = -3x - a
Пусть x + а > 0 и х+а - 2х < 0. Тогда a может принимать значения больше нуля. И:
f1 (x) = -(x + a - 2x) = x - a
Пусть x + а > 0 и х+а - 2х > 0. Тогда a может принимать значения больше нуля. И:
f1 (x) = x + a - 2x = - x + a
Построим графики функций f (x) и g (x).
Из графика видно, для того чтобы урвнение имело не более одного решения, необходимо чтобы f (x) < 3 при х = 1. Подставим поочередно части ломаной фунцкии f (x) в неравенство f (x) < 3, при x = 1;
при а < 0.
-3 - а < 3 и -6 < а
3 + а < 3 и а < 0
1 - а < 3 и -2 < а
Подставляя полученные значения а в первоначальное уравнение, получим, что при:
а = -6 одно решение;
а = -2 нет решений;
а = 0 нет решений;
Таким образом, -6 < a < 0
при а > 0.
-3 - а < 3 и -6 < а
1 - а < 3 и -2 < a
-1 + а < 3 и a < 4
Подставляя полученные значения а в первоначальное уравнение, получим, что при:
а = -6 одно решение;
а = -2 нет решений;
а = 4 одно решение;
Таким образом, 0 < а < 4
Объединяя полученные результаты, получим: -6 < а < 4
Ответ: [-6;4]
|
|
 |
|
С 6
Какие значения может принимать НОД (х,х+2), где х - натуральное число? Ответ запишите в виде: a1;a2.
Ответ
|
|
Решение:
Натуральное число, на которое делится каждое из двух данных чисел является 1. Поэтому первое число, которое входит во множество общих делителей, это 1.
Пусть d натуральное число больше 1, на которое делится х и х+2. Тогда х:d и x+2:d. Поэтому по свойствам делимости х+2 - х:d, т.е. 2:d. Отсюда следует, что d может быть равно только 2. Подставив любое четное число, НОД может принимать значения 1;2.
Ответ: 1;2
|
|
 |
|
|
|