Тест по математике ЕГЭ. Вариант 7

Пройдите тренировочный тест по математике ЕГЭ.
Ответы округлять до 2-х знаков после запятой. Пример: 4.44

   В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю расходуется 1400 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 6 недель?

   Рассчитаем количество листов, которое расходуется за 6 недель:
   N = 1400 * 6 = 8400 листов.
   Теперь рассчитаем наименьшее количество пачек P, которое необходимо купить:
    N / 500 = 8400 / 500 = 16.8 < P = 17.
   Ответ: 17

   На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтале указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 14 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ     

   Наибольшая температура воздуха за указанный период была зафиксирована 14 февраля в 21-00 и составила -2 градуса.
   Ответ: -2

   Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (1;9), (9;2), (9;4).

Ответ     

   Сторона данного параллелограмма равна b = 9 - 7 = 2 см. Высота h = 9 - 1 = 8 см. Следовательно, площадь параллелограмма равна:
   S_тр. = h * b = 8 * 2 = 16 см.²
   Ответ: 16

   Для первозки 5 т груза на 300 км можно воспользоваться услугами одной из трех транспортных компаний. Каждая компания предлагает один вид автомобилей. Сколько рублей будет стоить наиболее дешевый вид перевозки?

Ответ     

   Рассчитаем, какова будет стоимость услуги для каждой транспортной компании, учитывая, что с первой и второй транспортной компаней понадобится 3 автомобиля, а с третьей - 2:
   S_А = 3 * 300 * 9 = 8100 руб.
   S_Б = 3 * 300 * 11 = 9900 руб.
   S_В = 2 * 300 * 12 = 7200 руб.
   Ответ: 7200

Найдите корень уравнения:

   (3x - 8) / (x - 1) = - x

Если уравнение имеет дв корня, укажите меньший из них.

Ответ     

   (3x - 8) / (x - 1) = -x
   3x - 8 = - x² + x
   x² + 2x - 8 = 0
   (x + 4) (x - 2) = 0
   Ответ: -4

   В треугольнике ABC AC = BC, АB = 40, cos A = 0.8 . Найдите высоту CH.

Ответ     

   Найдем синус угла А:
   sin² ∠A = 1 - cos² ∠A = 1 - 0.8² = 0.36
   sin ∠A = 0.6
   Найдем тангенс угла А:
   tg ∠A = sin ∠A / cos ∠A = 0.6 / 0.8 = 3 / 4
   Найдем высоту СН:
   СН = АН * tg ∠A
   СН = 20 * 3 / 4 = 60 / 4 = 15
   Ответ: 15

   Найдите значение выражения.

   log₂ log₆ 36

Ответ     

   log₂ log₆ 6²
   log₂ (2 * log₆ 6)
   log₂ 2 = 1
   Ответ: 1

   На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-5; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = -18

Ответ     

   Прямая y = -18 - параллельна оси Ох, т.е. горизонтальная прямая. Посчитаем количество точек на графике, где касательная к графику функции будет параллельна оси Ох, т.е. количество точек максимума и минимума. Всего 7 точек.
   Ответ: 7

   В правильной четырехугольной пирамиде SABCD     O - центр основания, S - вершина, SО = 9, АC = 24. Найдите боковое ребро SB.

Ответ     

   Найдем AO:
   AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12
   По теореме Пифагора найдем SA:
   SA² = AO² + SO² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225
   SA = SB = 15
   Ответ: 15

   Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Ответ     

   По условию задачи вытекает следующее: в первый день планируется прослушать 30 исполнителей, во второй - 5, в третий - 5. Таким образом, данное событие может произойти в 5 случаях из 40. Т.е. 5 / 40 = 1 / 8 = 0.125
   Ответ: 0.125

   В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1900 см³ воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 24 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см³.

Ответ     

   Найдем площадь основания призмы:
   S_ос. = V / H = 1900 / 20 = 95 см²
   Отсюда, найдем объем детали:
   V_д. = S_осн.ΔH = 95 * (24 - 20) = 380 см³
   Ответ: 380

   В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R = 60 Ом. Параллельно с ними в розетку преполагается подключить электрообогреватель. Определите в Омах наименьшее возможное сопротивление R_y этого обогревателя, если известно, что при параллельном сопротивлении двух проводников с сопротивлениями R_x и R_y их общее сопротивление рассчитывается по формуле:



а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 30 Ом.

Ответ     

   Задача сводится к решению уравнения R(R_y) > 30:
   R(R_y) = R_xR_y / (R_x + R_y ) > 30
   R(R_y) = 60 * R_y / (60 + R_y ) > 30
   60 * R_y > 1800 + 30 R_y
   30 * R_y > 1800
   R_y > 60
   Таким образом, наименьшее возможное сопротивление R_y этого обогревателя должно составлять 60 Ом.
   Ответ: 60

   Заказ на 224 детали первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?

Ответ     

   Пусть
V - объем заказа - 224 детали.
t - время, за которое выполняет заказ первый рабочий.
t + 2 - время, за которое выполняет заказ второй рабочий.
v + 2 - производительность первого рабочего.
v - производительность второго рабочего.


Тогда:
V = t (v + 2) = (t + 2) v
t (v + 2) = (t + 2) v
Отсюда, v = t

Тогда:
V = t (v + 2) = v (v + 2) = v² + 2v
v² + 2v = 224
v² + 2v - 224 = 0
Отсюда, v₁ = -16, v₂ = 14

Таким образом, производительность второго рабочего составляет v = 14 деталей в час.
   Ответ: 14

Найдите наименьшее значение функции

   y = 11 tg x - 11 x + 19

на отрезке [ 0; π/4 ].

Ответ     

   Вычислим производную данной функции:

y' = (11 tg x - 11 x + 19)' = 11 / cos² x - 11

   Из последнего выражения можно заметить, что на отрезке [ 0; π/4 ] производная функции положительна. Следовательно, функция возрастает. А наименьшее значение она принимает в крайней левой точке при х = 0.


   Подставим значение 0 в функцию:
   y = 11 tg x - 11 x + 19 = 11 tg 0 - 11 * 0 + 19 = 19
   Ответ: 19

Решите уравнение.

   arcsin ((5x - 1) / 3) + 2 arccos ((5x - 1) / 3) = 5π / 6

Ответ     

    Сделаем замену: arcsin ((5x - 1) / 3) = π / 2 - arccos ((5x - 1) / 3). тогда:

   π / 2 - arccos ((5x - 1) / 3) + 2 arccos ((5x - 1) / 3) = 5π / 6
    arccos ((5x - 1) / 3) = 5π / 6 - π / 2 = π / 3

    (5x - 1) / 3 = cos π / 3
    (5x - 1) / 3 = 0.5
    5x - 1 = 1.5

   Отсюда, х = 1 / 2 = 0.5.
   Ответ: 0.5

   В правильной шестиугольной призме A...F₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AFF₁ и DEE₁.

Ответ  ^°     

Решите систему неравенств.

Образец ответа:

(-∞;b₁)ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁)ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ[b₂;+∞)
{b₁;b₂}ᴜ[b₃;+∞)
(-∞;b₁)ᴜ(b₂;b₃)
[b₁;b₂]ᴜ[b₃;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ[b₂;b₃]
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
(b₁;b₂)
[b₁;b₂]

где b₁; b₂; b₃ - числа.

(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b; b₁; b₂; b₃)

Ответ     

   Пусть 5^x = y. Тогда:
   25^x - 26 * 5^x + 25 = y² - 26 * y + 25 > 0
   (y - 1)(y - 25) > 0
   y ∈ (-∞;1]ᴜ[25;+∞)

   Следовательно, х ∈ (-∞;0]ᴜ[2;+∞)

   Рассмотрим второе уравнение.
   (2x² - 9x + 10) log₅ (x + 1) > 0
   2(x - 2)(x - 2.5) log₅ (x + 1) > 0

   Следовательно, х ∈ [0;2]ᴜ[2.5;+∞)

   Теперь объединим допустимые значения х:
   Получим: х ∈ {0;2}ᴜ[2.5;+∞)
   Ответ: {0;2}ᴜ[2.5;+∞)

   Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30° и 60°. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции.

   Ответ запишите в виде: а;b;c.

Где
a - меньшее основание,
b - большее основание,
с - меньшая боковая сторона.

Ответ:        

Найдите все значения а, при которых уравнение

   | |x + a| - 2x | - 3x = 7 |x - 1|

имеет не более одного корня?

Образец ответа:

(-∞;b₁)ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁)ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
(b₁;b₂)
[b₁;b₂]

(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b₁ и b₂ или только b)

Ответ: a ∈        

   | |x + a| - 2x | - 3x = 7 |x - 1|
   Пусть
   f (x) = | |x + a| - 2x |
   g (x) = 7 |x - 1| + 3 x

   Рассмотрим функцию g (x) = 7 |x - 1| + 3 x.
   Пусть х < 1. Тогда
   g(x) = 10x - 7
   Пусть х = 1. Тогда g(x) = 3
   Пусть х > 1. Тогда
   g(x) = -4x + 7 (смотреть рисунок)

   Теперь рассмотрим функцию f (x) = | |x + a| - 2x |
   Пусть а < 0.
   Пусть x + а < 0 и -(х+а) - 2х < 0. Тогда a может принимать значения меньше нуля. И:
   f₂ (x) =- (- (x + a) - 2x ) = 3x + a

   Пусть x + а < 0 и -(х+а) - 2х > 0. Тогда a может принимать значения меньше нуля. И:
   f₂ (x) = - (x + a) - 2x = -3x - a


   Пусть x + а > 0 и (х+а - 2х) < 0. Тогда a может принимать значения меньше нуля. И:
   f₂ (x) =- (x + a - 2x ) = x - a

   Пусть x + а > 0 и (х+а - 2х) > 0. Тогда (a > 0 противоречит условию):
   f₂ (x) = x + a - 2x = - x + a

   Пусть а > 0.
   Пусть x + а < 0 и -(х+а) - 2х < 0. Тогда (a < 0 - противоречит условию):
   f₁ (x) =- (- (x + a) - 2x ) = 3x + a

   Пусть x + а < 0 и -(х+а) - 2х > 0. Тогда a может принимать значения больше нуля. И:
   f₁ (x) = - (x + a) - 2x = -3x - a


   Пусть x + а > 0 и х+а - 2х < 0. Тогда a может принимать значения больше нуля. И:
   f₁ (x) = -(x + a - 2x) = x - a


   Пусть x + а > 0 и х+а - 2х > 0. Тогда a может принимать значения больше нуля. И:
   f₁ (x) = x + a - 2x = - x + a

Построим графики функций f (x) и g (x).

   Из графика видно, для того чтобы урвнение имело не более одного решения, необходимо чтобы f (x) < 3 при х = 1. Подставим поочередно части ломаной фунцкии f (x) в неравенство f (x) < 3, при x = 1;
при а < 0.

    -3 - а < 3 и -6 < а
    3 + а < 3 и а < 0
    1 - а < 3 и -2 < а
   Подставляя полученные значения а в первоначальное уравнение, получим, что при:
   а = -6 одно решение;
   а = -2 нет решений;
   а = 0 нет решений;

   Таким образом, -6 < a < 0

при а > 0.

    -3 - а < 3 и -6 < а
    1 - а < 3 и -2 < a
    -1 + а < 3 и a < 4
   Подставляя полученные значения а в первоначальное уравнение, получим, что при:
   а = -6 одно решение;
   а = -2 нет решений;
   а = 4 одно решение;

   Таким образом, 0 < а < 4

   Объединяя полученные результаты, получим: -6 < а < 4
   Ответ: [-6;4]

   Какие значения может принимать НОД (х,х+2), где х - натуральное число? Ответ запишите в виде: a₁;a₂.

Ответ     

   Натуральное число, на которое делится каждое из двух данных чисел является 1. Поэтому первое число, которое входит во множество общих делителей, это 1.

   Пусть d натуральное число больше 1, на которое делится х и х+2. Тогда х:d и x+2:d. Поэтому по свойствам делимости х+2 - х:d, т.е. 2:d. Отсюда следует, что d может быть равно только 2. Подставив любое четное число, НОД может принимать значения 1;2.
   Ответ: 1;2