Тест по математике ЕГЭ. Вариант 9

Пройдите тренировочный тест по математике ЕГЭ.
Ответы округлять до 2-х знаков после запятой. Пример: 4.44

   Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 12% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

   Рассчитаем сколько процентов клиент должен оплатить банку:
    18000 * 12 / 100 = 2160 руб.

   Таким образом, клиент должен вернуть банку:
    18000 + 2160 = 20160 руб.

   Теперь рассчитаем ежемесячный платеж банку:
    20160 / 12 = 1680 руб.
   Ответ: 1680

   На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтале указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 12 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ     

   Наибольшая температура воздуха за указанный период была зафиксирована 12 февраля в 15-00 и составила -4 градуса.
   Ответ: -4

   Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (2;2), (9;2), (9;4), (2;7).

Ответ     

   Основания данной трапеции равны: b = 7 - 2 = 5 см и a = 4 - 2 = 2 см. Высота равна h = 9 - 2 = 7 см. Следовательно, площадь трапеции равна:
   S_тр. = h (a + b) / 2 = 7 * (5 + 2) / 2 = 24.5 см.²
   Ответ: 24.5

   Строительный подрядчик планирует купить 10 т облицовочного кирпича у одного из трех поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в таблице. Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки?

Ответ     

   Рассчитаем, сколько всего требуется кирпича:
n = 10000 / 5 = 2000 кирпичей.

   Рассчитаем, какова будет стоимость поставки для каждого поставщика:
   S_А = 2000 * 48 + 9000 = 105 000 руб.
   S_Б = 2000 * 51 = 102 000 руб.
   S_В = 2000 * 55 + 3250 = 113 250 руб.
   Ответ: 102000

Найдите корень уравнения:

   2^1-4x = 64

Ответ     

   2^1-4x = 64
   2^1-4x = 2⁶
   1 - 4x = 6
   x = -5/4 = - 1.25
   Ответ: -1.25

   В треугольнике ABC угол С = 30°, АС = BC, высота AH = 8. Найдите AC.

Ответ     

   Найдем сторону АС:
   sin∠C = AH / AC
   1/2 = 8 / AC
   AC = 16
   Ответ: 16

   Найдите значение выражения.

   9⁵2⁵ / 18⁴

Ответ     

   9⁵2⁵ / 9⁴2⁴ =
   9^5-42^5-4 =
   9*2 = 18
   Ответ: 18

   На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6.

Ответ     

   Прямая y = 6 - параллельна оси Ох, т.е. горизонтальная прямая. Посчитаем количество точек на графике, где касательная к графику функции будет параллельна оси Ох, т.е. количество точек максимума и минимума. Всего 4 точек.
   Ответ: 4

   В правильной треугольной пирамиде SABC     медианы основания пересекаются в точке N. Объем пирамиды равен 78, NS = 18. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ     

   Из формулы объема пирамиды найдем площадь основания:
   S_пир. = NS * S_осн. / 3
   78 = 18 S_осн. / 3
   S_осн. = 78 * 3 / 18 = 13 ед.²
   Ответ: 13

   В сборнике билетов по химии всего 30 билетов, в 18 из них встречается вопрос о кислотах. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном на экзамене билете школьнику не встретится вопрос о кислотах.

Ответ     

   По условию задачи всего 30 билетов. Шесть билетов содержат вопрос о кислотах. Таким образом, данное событие может произойти в 12 случаях из 30. Т.е. 12 / 30 = 4 / 10 = 0.4
   Ответ: 0.4

   Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ     

   Объем многогранника равен разности двух параллелепипедов с измерениями 3;3;5 и 3;1;2. Запишем формулу:
   V_мног. = V_п.б. - V_п.м. = 3 * 3 * 5 - 3 * 1 * 2 = 45 - 6 = 39
   Ответ: 39

   Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой:
y = ax² + bx

где
   а = -1/25 м^-1
   b = 7/5
постоянные параметры,
х - расстояние до камня, считаемое по горизонтали,
y -высота камня над землей.

   На каком наибольшем расстоянии ( в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни перелетали над ней на высоте не менее 1 метра?

Ответ     

   Задача сводится к решению уравнения y (x) > 9 + 1:
   y (x) = -x² / 25 + 7 x / 5 >10
   -x² / 25 + 7 x / 5 - 10 > 0
   -x² + 35 x - 250 > 0
    (x - 25) (p - 10) < 0
   10 < x < 25
   Следовательно, наибольшее расстояние, на которое можно расположить машину, чтобы камни перелетали стену, составляет 25 метров.
   Ответ: 25

   На изготовление 399 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 420 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Ответ     

   Пусть
V₁ - 399 деталей.
V₂ - 420 деталей.
p + 1 - производительность первого рабочего.
p - производительность второго рабочего.
t - время, которое затрачивает на иготовление 399 деталей первый рабочий.
t + 2 - время, которое затрачивает на изготовление 420 деталей второй рабочий.

Тогда:
V₁ = (p + 1) t
V₂ = p (t + 2)

399 = (p + 1) t
420 = p (t + 2)

Вычтем из второго уравнения первое и получим: t = 2p - 21

Подставим t в первое уравнение:

399 = (p + 1) (2p - 21)
399 = 2p² - 19p - 21
2p² - 19p - 420 = 0
Отсюда, p₁ = -10.5; p₂ = 20
Таким образом, производительность первого рабочего составляет р + 1 = 20 + 1 = 21 деталей / час.
   Ответ: 21

Найдите наибольшее значение функции

   y = x² - 5x + 3 ln x - 13

на отрезке [0.25;1.25]

Ответ     

   Вычислим производную данной функции:

y' = ( x² - 5x + 3 ln x - 13)' = 2 x - 5 + 3 / x

   Приравняем производную функции к нулю:
   2 x - 5 + 3 / x = 0
   2 x² - 5x + 3 = 0
   2 (x - 1) (x - 3/2) = 0
   Из данного выражения можно заметить, что производная функции меняет знак с плюса на минус в точке х = 1, следовательно, на интервале [0.25;1.25] она является единственной точкой максимума.

   Найдем значение функции в этой точке:
   y = x² - 5x + 3 ln x - 13 = 1² - 5 + 0 - 13 = -17
   Ответ: -17

Решите уравнение.

   log ₇ (x² - 12) = log ₇ x

Ответ     

   log ₇ (x² - 12) = log ₇ x

   x² - 12 = x
   x² - 12 > 0
   x > 0

   x² - x - 12 = 0
   x² > 12
   x > 0

   (x - 4)(x + 3) = 0
   x > 2

   x > 2
   х = 4
   Ответ: 4

   В правильной шестиугольной призме A...F₁, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями АВС и BFE₁.

Ответ ^°     

   Проведем прямую BC₁, параллельную прямой FE₁. Тогда прямая BF будет являться прямой пересечения плоскостей АВС и BFE₁. Прямые ВС и ВС₁ перпендикулярны прямой BF. Следователно, угол СВС₁ и будет являться углом между плоскостями АВС и BFE₁. А так как BC₁ диагональ квадрата AB₁C₁C, то угол СВС₁ составляет 45°.
   Ответ: 45

Решите неравенство.

Образец ответа:

a≤x
a≥x
a>x>b
a≤x≤b
x≤a;x≥b

где a; b - числа.

(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа a и b)

Ответ     

   
   Ответ: 0≤x≤5

   В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины угла при основании?

Ответ:        

При каких значениях р уравнение

   6 sin ³ x = p - 5 cos 2x

не имеет корней.

Образец ответа:

(-∞;b₁)ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁)ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
b
(b₁;b₂)
[b₁;b₂]

(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b₁ и b₂ или только b. Числа округлять до сотых.)

Ответ: р ∈ (=)        

   6 sin ³ x = p - 5 cos 2x
   6 sin ³ x = p - 5 (1 - 2 sin² x)
   6 sin ³ x - 10 sin² + 5 = p

   Из последнего выражения можно заметить, что при х = -1 функция достигает минимального значения р = - 11, а при х = 0 - максимального значения р = 5.
   Ответ: (-∞;-11)ᴜ(5;+∞)

   Три положительных числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если среднее из них уменьшить на 40%, то получится геометрическая прогрессия, сумма которой равна 39. Найдите эти числа. Ответ запишите в виде:   а₁;а₂;а₃

Ответ     

   Запишем формулу суммы 3-х членов арифметической прогрессии:

   S₃ = (a₁ + a₃) 3 / 2 = 3 a₂

   Так как по условию задачи, если второй член арифметической прогрессии уменьшить на 40%, то получится второй член геометрической прогрессии, следовательно, сумма трех членов арифметической прогрессии равна 39 + 0.4 a₂.

   Отсюда следует:
   3 a₂ = 39 + 0.4 a₂
   2.6 a₂ = 39
   a₂ = 15
   Следовательно, второй член геометрической прогрессии равен b₂ = 9. Сумма трех членов арифметической прогрессии равна S = 3a₂ = 45.

   Теперь запишем систему уравнений:
   a₁a₃ = a₂² = 81
   a₁ + a₃ = 30
   Решая систему уравнений, получим: a₁ = 3, a₃ = 27.
   Ответ: 3;15;27