| |
Пройдите тренировочный тест по математике ЕГЭ.
Ответы округлять до 2-х знаков после запятой. Пример: 4.44
|
| Варианты |
| |
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
| |
 |
| |
|
В 1
Клиент взял в банке кредит 120000 рублей на год под 10% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
|
| |
| Ответ
|
|
|
| |
Решение:
Рассчитаем сколько процентов клиент должен оплатить банку:
120000 * 10 / 100 = 12000 руб.
Таким образом, клиент должен вернуть банку:
120000 + 12000 = 132000 руб.
Теперь рассчитаем ежемесячный платеж банку:
132000 / 12 = 11000 руб.
Ответ: 11000
|
| |
|
| |
|
В 2
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтале указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 12 июня. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Наибольшая температура воздуха за указанный период была зафиксирована 12 июня в 15-00 и составила 25 градусов.
Ответ: 25
|
| |
|
| |
|
В 3
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (2;1), (5;1), (7;7), (4;7).
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Основание данного параллелограмма равно: а = 5 - 2 = 3 см. Высота h = 7 - 1 = 6 см. Следовательно, площадь параллелограмма равна:
Sпар. = h a = 6 * 3 = 18 см.2
Ответ: 18
|
| |
|
| |
| B 4
Строительный подрядчик планирует купить 14 т облицовочного кирпича у одного из трех поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в таблице. Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки?
Ответ
|
| Поставщик |
Цена кирпича (руб. за шт.) |
Стоимость доставки (руб.) |
Специальные условия |
| A |
46 |
9000 |
Нет |
| Б |
47 |
7500 |
Если стоимость заказа выше 120000 руб., доставка бесплатно |
| В |
49 |
6500 |
При заказе свыше 10 т. доставка со скидкой 50% |
|
| |
Решение:
Рассчитаем, сколько всего требуется кирпича:
n = 14000 / 5 = 2800 кирпичей.
Рассчитаем, какова будет стоимость поставки для каждого поставщика:
SА = 2800 * 46 + 9000 = 137 800 руб.
SБ = 2800 * 47 = 131 600 руб.
SВ = 2800 * 49 + 3250 = 140 450 руб.
Ответ: 131600
|
| |
|
| |
|
В 5
Найдите корень уравнения:
Ответ
|
| |
Решение:
32 + х = 25
32 + х > 0
х = -7
х > - 32
Ответ: -7
|
| |
|
| |
|
В 6
В треугольнике ABC угол B = 90°, BC =3, cos A = 0.8. Найдите BH.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Найдем синус угла А:
sin2 ∠A = 1 - cos2 ∠A = 1 - 0.82 = 0.36
sin ∠A = 0.6
Найдем тангенс угла А:
tg ∠A = sin ∠A / cos ∠A = 0.6 / 0.8 = 3 / 4
Найдем сторону АB:
tg∠A = BC / AB
AB = BC / tg∠A = 3 / 3 / 4 = 4
Из треугольника AHB найдем ВН:
ВН = AВ * sin
∠A
BH = 4 * 0.6 = 2.4
Ответ: 2.4
|
| |
|
| |
| В 7
Найдите значение выражения.
(6x - 12) (6x + 12) - 36 x2 + 7x - 21
при х = 80
Ответ
|
| |
Решение:
(6x - 12) (6x + 12) - 36 x2 + 7x - 21 =
36x 2 - 144 - 36x 2 + 7x - 21 =
7x - 165 = 7 * 80 - 165 = 395
Ответ: 395
|
| |
|
| |
| В 8
На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-3; 10). В какой точке отрезка [3;10] функция принимает наименьшее значение.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Так как значение производной функции f (x) на отрезке [-3; 7] отрицательное, то на этом отрезке функция убывает. А на отрезке [7;10] значение производной положительное. Отсюда следует, что наименьшее значение на отрезке [-3; 10] функция принимает в точке при х = 7.
Ответ: 7
|
| |
|
| |
| В 9
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О - центр основания, S - вершина. SA = 15, AС = 24. Найдите длину отрезка SO.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Найдем АО:
АО = АС / 2 = 24 / 2 = 12
По теореме Пифагора найдем SO:
SO2 = SA2 - AO2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81
SO = 9
Ответ: 9
|
| |
|
| |
| В 10
Саша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при втором броске выпало 1 очко.
Ответ
|
| |
Решение:
Всего возможно 4 исхода: 1,4; 4,1; 2,3; 3,2. Следовательно, вероятность нашего события составляет 1 / 4 = 0.25.
Ответ: 0.25
|
| |
|
| |
| В 11
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8. Найдите его объем.
Ответ
|
|
 |
| |
Решение:
Так как радиус сферы равен 8, то диаметр равен 16. А следовательно, и сторона параллелепипеда равна 16. Тогда объем параллелепипеда равен:
Vпар. = АВ * ВС * BB1 = 163 = 4096
Ответ: 4096
|
| |
|
| |
|
В 12
Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой:
y = ax2 + bx
где
а = -1/280 м-1
b = 4/7
постоянные параметры,
х - расстояние до камня, считаемое по горизонтали,
y -высота камня над землей.
На каком наибольшем расстоянии ( в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни перелетали над ней на высоте не менее 1 метра?
Ответ
|
|
|
| |
Решение:
Задача сводится к решению уравнения y (x) > 9 + 1:
y (x) = -x2 / 280 + 4 x / 7 >10
-x2 / 280 + 4 x / 7 - 10 > 0
-x2 + 160 x - 2800 > 0
(x - 20) (p - 140) < 0
20 < x <140
Следовательно, наибольшее расстояние, на которое можно расположить машину, чтобы камни перелетали стену, составляет 140 метров.
Ответ: 140
|
| |
|
| |
|
В 13
Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 396 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?
Ответ
|
| |
Решение:
Пусть
V - объем резервуара - 396 литров.
p - пропускная способность первой трубы.
p + 4 - пропускная способность второй трубы.
t + 4 - время заполнения резервуара первой трубой.
t - время заполнения резервуара второй трубой.
Тогда:
V = p (t + 4)
V = (p + 4) t
p (t + 4) = (p + 4) t
Отсюда:
t = p
Подставим t в первое уравнение:
396 = p (p + 4)
396 = p2 - 4p
p2 - 4p - 396 = 0
Отсюда, p1 = -22; p2 = 18
Таким образом, пропускная способность первой трубы составляет 18 литров в минуту.
Ответ: 18
|
| |
|
| |
| B 14
Найдите точку максимума функции.
y = (3x2 - 33x + 33) e 6-x
Ответ
|
| |
Решение:
Вычислим производную данной функции:
y' = ((3x2 - 33x + 33) e 6-x)' = (3x2 - 33x + 33)'e 6-x + (3x2 - 33x + 33) (e 6-x)'
y' = (6x- 33) e 6-x - (3x2 - 33x + 33) e 6-x = e 6-x (6x - 33 - 3x2 + 33x - 33) =
= e 6-x (- 3x2 + 39x - 66) = - 3 e 6-x (x2 - 13x + 22) = - 3 e 6-x (x - 11) (x - 2)
Из последнего выражения можно заметить, что производная функции меняет знак с плюса на минус в точке х = 11. Следовательно, она является единственной точкой максимума.
Ответ: 11
|
| |
|
| |
|
С 1
Решите уравнение.
Корни уравнения запишите по возрастанию.
Ответ
x1;
x2 ;
x3;
x4
|
| |
Решение:
x / (x2 - 6) + x2 / (x - 6) + 2 = 0
x / (x2 - 6) + 1 + x2 / (x - 6) + 1 = 0
(x2 + x - 6) / (x2 - 6) + (x2 + x - 6) / (x - 6) = 0
(x2 + x - 6) (1 / (x2 - 6) + 1 / (x - 6)) = 0
x2 + x - 6 = 0
1 / (x2 - 6) + 1 / (x - 6) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
(x - 6) / (x2 - 6) + (x2 - 6) / (x - 6) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
(x2 + x - 12) / ((x2 - 6) (x - 6)) = 0
x = - 3, x = 2
x2 + x - 12 = 0
x = - 3, x = 2
x = - 4, x = 3
Ответ: -4;-3;2;3
|
| |
|
| |
|
С 2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка N - середина ребра SB. Найдите расстояние от точки В до плоскости ANC.
Ответ
|
|
 |
| |
|
|
| |
|
| |
С 3
Решите неравенство.
Образец ответа:
(-∞;b1)ᴜ(b2;+∞)
(b1;b2)ᴜ(b3;b4)
(b1;b2]ᴜ[b3;b4)
(-∞;b1]ᴜ[b2;+∞)
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
(b1;b2)
[b1;b2]
(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b1, b2, b3, b4 или только b)
Ответ
|
| |
Решение:
(x2 + 2) / (x2 - 1) + 2 < 0
(x2 + 2 + 2x2 - 2) / (x2 - 1) < 0
3x2 / (x2 - 1) < 0
3x2 / ((x - 1)(x + 1)) < 0
Ответ: (-1;0)ᴜ(0;1)
|
| |
|
| |
|
С 4
В треугольнике ABC ВС = 6. На сторонах АВ и ВС отмечены точки М и N, причем ВМ = BN. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная ВС, а через точку N - прямая, перпендикулярная АВ. Эти прямые пересекаются в точке О. Продолжение отрезка ВО пересекает сторону АС в точке Р и делит ее на отрезки АР = 5 и РС = 4. Найдите ВР?
Ответ:
|
| |
Решение:
Так как ВМ = BN, то треугольники BFN и BMK равны по второму признаку равенства треугольников. Следовательно, BF = BK, MF = NK. Отсюда следует равенство треугольников: ΔMOF = ΔNOK, ΔBOF = ΔBOK. И следовательно, ВР - биссектриса.
Тогда: АВ / АР = ВС / РС. Т.е. АВ / 5 = 6 / 4.
Следовательно, АВ = 15 / 2.
Теперь по теореме косинусов из треугольника AВС найдем косинус угла С:
AВ2 = AC2 + ВC2 - 2 * AC * ВC * cos ∠C
(15 / 2)2 = 92 + 62 - 2 * 9 * 6 * cos ∠C
225 / 4 - 81 - 36 = - 108 * cos ∠C
- 243 / 4 = - 108 * cos ∠C
cos ∠C = 9 / 16
Теперь по теорем косинусов из треугольника ВСР найдем ВР:
ВР2 = РC2 + ВC2 - 2 * РC * ВC * cos ∠C
ВР2 = 42 + 62 - 2 * 4 * 6 * 9 / 16
ВР2 = 25
ВР = 5
Ответ: 5
|
|
 |
|
| |
|
| |
|
C 5
Найдите все значения р при каждом из которых множество решений неравенства
(p - x2) (p + x - 3) < 0
не содержит ни одного решения неравенства x 2≤ 1 .
Образец ответа:
(-∞;b1)ᴜ(b2;+∞)
(-∞;b1]ᴜ(b2;+∞)
(-∞;b1)ᴜ[b2;+∞)
(-∞;b1]ᴜ[b2;+∞)
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
b
(b1;b2)
[b1;b2]
(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b1 и b2 или только b. Числа округлять до сотых.)
Ответ: р ∈ (=)
|
| |
Решение:
Решим данный пример методом областей. Построим графики функций p = x2 и p = -x + 3.
Раcставим знаки функций в областях, образованных этими кривыми. Из графика видно, что на отрезке х ∈ [-1;1] cуществует решение данного неравенства р ∈(0;4). А для р ∈ (-∞;0]ᴜ[4;+∞) решений х из отрезка [-1;1] не существует.
Ответ: (-∞;0]ᴜ[4;+∞)
|
| |
|
| |
|
С 6
В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй - 80; третий - среднее арифметическое очков первых двух; четвертый - среднее арифметическое очков первых трех. Каждый последующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок?
Ответ
|
| |
Решение:
Найдем количество очков, которое выбил третий стрелок:
а3 = (a1 + a2) / 2 = (60 + 80) / 2 = 70
Найдем количество очков, которое выбил четвертый стрелок:
а4 = (a1 + a2 + a3) / 3 = (60 + 80 + 70) / 3 = 70
Пятый стрелок выбил:
а5 = (a1 + a2 + a3 + a4) / 3 = (60 + 80 + 70 + 70) / 4 = 70
Отсюда можно сделать вывод, что все последующие стрелки выбивают по 70 очков.
Ответ: 70
|
| |
|
| |
|
|
| |
