Тест по математике ЕГЭ. Вариант 10

Пройдите тренировочный тест по математике ЕГЭ.
Ответы округлять до 2-х знаков после запятой. Пример: 4.44

   Клиент взял в банке кредит 120000 рублей на год под 10% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

   Рассчитаем сколько процентов клиент должен оплатить банку:
    120000 * 10 / 100 = 12000 руб.

   Таким образом, клиент должен вернуть банку:
    120000 + 12000 = 132000 руб.

   Теперь рассчитаем ежемесячный платеж банку:
    132000 / 12 = 11000 руб.
   Ответ: 11000

   На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтале указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 12 июня. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ     

   Наибольшая температура воздуха за указанный период была зафиксирована 12 июня в 15-00 и составила 25 градусов.
   Ответ: 25

   Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (2;1), (5;1), (7;7), (4;7).

Ответ     

   Основание данного параллелограмма равно: а = 5 - 2 = 3 см. Высота h = 7 - 1 = 6 см. Следовательно, площадь параллелограмма равна:
   S_пар. = h a = 6 * 3 = 18 см.²
   Ответ: 18

   Строительный подрядчик планирует купить 14 т облицовочного кирпича у одного из трех поставщиков. Вес одного кирпича 5 кг. Цены и условия доставки приведены в таблице. Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки?

Ответ     

   Рассчитаем, сколько всего требуется кирпича:
n = 14000 / 5 = 2800 кирпичей.

   Рассчитаем, какова будет стоимость поставки для каждого поставщика:
   S_А = 2800 * 46 + 9000 = 137 800 руб.
   S_Б = 2800 * 47 = 131 600 руб.
   S_В = 2800 * 49 + 3250 = 140 450 руб.
   Ответ: 131600

Найдите корень уравнения:

Ответ     

   32 + х = 25
   32 + х > 0

   х = -7
   х > - 32
   Ответ: -7

   В треугольнике ABC угол B = 90°, BC =3, cos A = 0.8. Найдите BH.

Ответ     

   Найдем синус угла А:
   sin² ∠A = 1 - cos² ∠A = 1 - 0.8² = 0.36
   sin ∠A = 0.6

   Найдем тангенс угла А:
   tg ∠A = sin ∠A / cos ∠A = 0.6 / 0.8 = 3 / 4

   Найдем сторону АB:
   tg∠A = BC / AB
   AB = BC / tg∠A = 3 / 3 / 4 = 4

   Из треугольника AHB найдем ВН:
   ВН = AВ * sin ∠A
   BH = 4 * 0.6 = 2.4   
   Ответ: 2.4

   Найдите значение выражения.

   (6x - 12) (6x + 12) - 36 x² + 7x - 21

   при х = 80

Ответ     

   (6x - 12) (6x + 12) - 36 x² + 7x - 21 =
   36x ² - 144 - 36x ² + 7x - 21 =
   7x - 165 = 7 * 80 - 165 = 395
   Ответ: 395

   На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-3; 10). В какой точке отрезка [3;10] функция принимает наименьшее значение.

Ответ     

   Так как значение производной функции f (x) на отрезке [-3; 7] отрицательное, то на этом отрезке функция убывает. А на отрезке [7;10] значение производной положительное. Отсюда следует, что наименьшее значение на отрезке [-3; 10] функция принимает в точке при х = 7.
   Ответ: 7

   В правильной четырехугольной пирамиде SABCD     точка О - центр основания, S - вершина. SA = 15, AС = 24. Найдите длину отрезка SO.

Ответ     

   Найдем АО:
   АО = АС / 2 = 24 / 2 = 12
   По теореме Пифагора найдем SO:
   SO² = SA² - AO² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81
   SO = 9
   Ответ: 9

   Саша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при втором броске выпало 1 очко.

Ответ     

   Всего возможно 4 исхода: 1,4; 4,1; 2,3; 3,2. Следовательно, вероятность нашего события составляет 1 / 4 = 0.25.
   Ответ: 0.25

   Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8. Найдите его объем.

Ответ     

   Так как радиус сферы равен 8, то диаметр равен 16. А следовательно, и сторона параллелепипеда равна 16. Тогда объем параллелепипеда равен:
   V_пар. = АВ * ВС * BB₁ = 16³ = 4096
   Ответ: 4096

   Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой:
y = ax² + bx

где
   а = -1/280 м^-1
   b = 4/7
постоянные параметры,
х - расстояние до камня, считаемое по горизонтали,
y -высота камня над землей.

   На каком наибольшем расстоянии ( в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни перелетали над ней на высоте не менее 1 метра?

Ответ     

   Задача сводится к решению уравнения y (x) > 9 + 1:
   y (x) = -x² / 280 + 4 x / 7 >10
   -x² / 280 + 4 x / 7 - 10 > 0
   -x² + 160 x - 2800 > 0
    (x - 20) (p - 140) < 0
   20 < x <140
   Следовательно, наибольшее расстояние, на которое можно расположить машину, чтобы камни перелетали стену, составляет 140 метров.
   Ответ: 140

   Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 396 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

Ответ     

   Пусть
V - объем резервуара - 396 литров.
p - пропускная способность первой трубы.
p + 4 - пропускная способность второй трубы.
t + 4 - время заполнения резервуара первой трубой.
t - время заполнения резервуара второй трубой.

Тогда:
V = p (t + 4)
V = (p + 4) t

p (t + 4) = (p + 4) t
Отсюда: t = p

Подставим t в первое уравнение:

396 = p (p + 4)
396 = p² - 4p
p² - 4p - 396 = 0
Отсюда, p₁ = -22; p₂ = 18

Таким образом, пропускная способность первой трубы составляет 18 литров в минуту.
   Ответ: 18

Найдите точку максимума функции.

   y = (3x² - 33x + 33) e ^6-x

Ответ     

   Вычислим производную данной функции:

    y' = ((3x² - 33x + 33) e ^6-x)' = (3x² - 33x + 33)'e ^6-x + (3x² - 33x + 33) (e ^6-x)'
    y' = (6x- 33) e ^6-x - (3x² - 33x + 33) e ^6-x = e ^6-x (6x - 33 - 3x² + 33x - 33) =
    = e ^6-x (- 3x² + 39x - 66) = - 3 e ^6-x (x² - 13x + 22) = - 3 e ^6-x (x - 11) (x - 2)

   Из последнего выражения можно заметить, что производная функции меняет знак с плюса на минус в точке х = 11. Следовательно, она является единственной точкой максимума.


   Ответ: 11

Решите уравнение.

   Корни уравнения запишите по возрастанию.

Ответ x₁; x₂ ; x₃; x₄     

   x / (x² - 6) + x² / (x - 6) + 2 = 0

   x / (x² - 6) + 1 + x² / (x - 6) + 1 = 0
   (x² + x - 6) / (x² - 6) + (x² + x - 6) / (x - 6) = 0
   (x² + x - 6) (1 / (x² - 6) + 1 / (x - 6)) = 0

   x² + x - 6 = 0
   1 / (x² - 6) + 1 / (x - 6) = 0

   (x + 3)(x - 2) = 0
   (x - 6) / (x² - 6) + (x² - 6) / (x - 6) = 0

   (x + 3)(x - 2) = 0
   (x² + x - 12) / ((x² - 6) (x - 6)) = 0

   x = - 3, x = 2
   x² + x - 12 = 0

   x = - 3, x = 2
   x = - 4, x = 3
   Ответ: -4;-3;2;3

   В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка N - середина ребра SB. Найдите расстояние от точки В до плоскости ANC.

Ответ     

С 3

Решите неравенство.

Образец ответа:

(-∞;b₁)ᴜ(b₂;+∞)
(b₁;b₂)ᴜ(b₃;b₄)
(b₁;b₂]ᴜ[b₃;b₄)
(-∞;b₁]ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
(b₁;b₂)
[b₁;b₂]

(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b₁, b₂, b₃, b₄ или только b)

Ответ     

   (x² + 2) / (x² - 1) + 2 < 0
   (x² + 2 + 2x² - 2) / (x² - 1) < 0
   3x² / (x² - 1) < 0
   3x² / ((x - 1)(x + 1)) < 0
   Ответ: (-1;0)ᴜ(0;1)

   В треугольнике ABC ВС = 6. На сторонах АВ и ВС отмечены точки М и N, причем ВМ = BN. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная ВС, а через точку N - прямая, перпендикулярная АВ. Эти прямые пересекаются в точке О. Продолжение отрезка ВО пересекает сторону АС в точке Р и делит ее на отрезки АР = 5 и РС = 4. Найдите ВР?

Ответ:        

Найдите все значения р при каждом из которых множество решений неравенства

   (p - x²) (p + x - 3) < 0

не содержит ни одного решения неравенства x ²≤ 1 .

Образец ответа:

(-∞;b₁)ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ(b₂;+∞)
(-∞;b₁)ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b₁]ᴜ[b₂;+∞)
(-∞;b]
[b;+∞)
(-∞;b)
(b;+∞)
b
(b₁;b₂)
[b₁;b₂]

(Выбрать правильный вариант ответа и подставить числа b₁ и b₂ или только b. Числа округлять до сотых.)

Ответ: р ∈ (=)        

   Решим данный пример методом областей. Построим графики функций p = x² и p = -x + 3.

   Раcставим знаки функций в областях, образованных этими кривыми. Из графика видно, что на отрезке х ∈ [-1;1] cуществует решение данного неравенства р ∈(0;4). А для р ∈ (-∞;0]ᴜ[4;+∞) решений х из отрезка [-1;1] не существует.
   Ответ: (-∞;0]ᴜ[4;+∞)

   В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй - 80; третий - среднее арифметическое очков первых двух; четвертый - среднее арифметическое очков первых трех. Каждый последующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок?

Ответ     

   Найдем количество очков, которое выбил третий стрелок:

   а₃ = (a₁ + a₂) / 2 = (60 + 80) / 2 = 70

   Найдем количество очков, которое выбил четвертый стрелок:

   а₄ = (a₁ + a₂ + a₃) / 3 = (60 + 80 + 70) / 3 = 70

   Пятый стрелок выбил:

   а₅ = (a₁ + a₂ + a₃ + a₄) / 3 = (60 + 80 + 70 + 70) / 4 = 70

   Отсюда можно сделать вывод, что все последующие стрелки выбивают по 70 очков.
   Ответ: 70